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Theorem 2ndcomap 23390
Description: A surjective continuous open map maps second-countable spaces to second-countable spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2ndcomap.2 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
2ndcomap.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 2ndΟ‰)
2ndcomap.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2ndcomap.6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = π‘Œ)
2ndcomap.7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
2ndcomap (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 2ndΟ‰)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐽   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐾
Allowed substitution hint:   π‘Œ(π‘₯)

Proof of Theorem 2ndcomap
Dummy variables π‘˜ π‘š 𝑑 𝑀 𝑧 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2ndcomap.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 cntop2 23173 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
43ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ 𝐾 ∈ Top)
5 simplll 773 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) β†’ πœ‘)
6 bastg 22897 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ TopBases β†’ 𝑏 βŠ† (topGenβ€˜π‘))
76ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ 𝑏 βŠ† (topGenβ€˜π‘))
8 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)
97, 8sseqtrd 4022 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐽)
109sselda 3982 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
11 2ndcomap.7 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐾)
125, 10, 11syl2anc 582 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐾)
1312fmpttd 7130 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)):π‘βŸΆπΎ)
1413frnd 6735 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝐾)
15 elunii 4917 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ π‘˜ ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾)
16 2ndcomap.2 . . . . . . . . . . 11 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
1715, 16eleqtrrdi 2840 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ π‘˜ ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
1817ancoms 457 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
1918adantl 480 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜)) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
20 2ndcomap.6 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = π‘Œ)
2120ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜)) β†’ ran 𝐹 = π‘Œ)
2219, 21eleqtrrd 2832 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜)) β†’ 𝑧 ∈ ran 𝐹)
23 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2423, 16cnf 23178 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ)
251, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ)
2625ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜)) β†’ 𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ)
27 ffn 6727 . . . . . . . 8 (𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ β†’ 𝐹 Fn βˆͺ 𝐽)
28 fvelrnb 6964 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn βˆͺ 𝐽 β†’ (𝑧 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ βˆͺ 𝐽(πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))
2926, 27, 283syl 18 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜)) β†’ (𝑧 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ βˆͺ 𝐽(πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))
3022, 29mpbid 231 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ βˆͺ 𝐽(πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧)
311ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
32 simprll 777 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ π‘˜ ∈ 𝐾)
33 cnima 23197 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∈ 𝐽)
3431, 32, 33syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∈ 𝐽)
358adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)
3634, 35eleqtrrd 2832 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∈ (topGenβ€˜π‘))
37 simprrl 779 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽)
38 simprrr 780 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧)
39 simprlr 778 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ π‘˜)
4038, 39eqeltrd 2829 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ π‘˜)
4126ffnd 6728 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜)) β†’ 𝐹 Fn βˆͺ 𝐽)
4241adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ 𝐹 Fn βˆͺ 𝐽)
43 elpreima 7072 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn βˆͺ 𝐽 β†’ (𝑑 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘˜) ↔ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ π‘˜)))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ (𝑑 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘˜) ↔ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ π‘˜)))
4537, 40, 44mpbir2and 711 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ 𝑑 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘˜))
46 tg2 22896 . . . . . . . . 9 (((◑𝐹 β€œ π‘˜) ∈ (topGenβ€˜π‘) ∧ 𝑑 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑏 (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))
4736, 45, 46syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑏 (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))
48 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ π‘š ∈ 𝑏)
49 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 β€œ π‘š) = (𝐹 β€œ π‘š)
50 imaeq2 6064 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘š β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) = (𝐹 β€œ π‘š))
5150rspceeqv 3633 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝐹 β€œ π‘š) = (𝐹 β€œ π‘š)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑏 (𝐹 β€œ π‘š) = (𝐹 β€œ π‘₯))
5248, 49, 51sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑏 (𝐹 β€œ π‘š) = (𝐹 β€œ π‘₯))
5342adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ 𝐹 Fn βˆͺ 𝐽)
54 fnfun 6659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 Fn βˆͺ 𝐽 β†’ Fun 𝐹)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ Fun 𝐹)
56 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜))
57 funimass2 6641 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹 ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)) β†’ (𝐹 β€œ π‘š) βŠ† π‘˜)
5855, 56, 57syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ (𝐹 β€œ π‘š) βŠ† π‘˜)
59 vex 3477 . . . . . . . . . . . 12 π‘˜ ∈ V
60 ssexg 5327 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 β€œ π‘š) βŠ† π‘˜ ∧ π‘˜ ∈ V) β†’ (𝐹 β€œ π‘š) ∈ V)
6158, 59, 60sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ (𝐹 β€œ π‘š) ∈ V)
62 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))
6362elrnmpt 5962 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β€œ π‘š) ∈ V β†’ ((𝐹 β€œ π‘š) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑏 (𝐹 β€œ π‘š) = (𝐹 β€œ π‘₯)))
6461, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ ((𝐹 β€œ π‘š) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑏 (𝐹 β€œ π‘š) = (𝐹 β€œ π‘₯)))
6552, 64mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ (𝐹 β€œ π‘š) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)))
6638adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧)
67 simprrl 779 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ 𝑑 ∈ π‘š)
68 cnvimass 6090 . . . . . . . . . . . . 13 (◑𝐹 β€œ π‘˜) βŠ† dom 𝐹
6956, 68sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ π‘š βŠ† dom 𝐹)
70 funfvima2 7249 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐹 ∧ π‘š βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝑑 ∈ π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (𝐹 β€œ π‘š)))
7155, 69, 70syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ (𝑑 ∈ π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (𝐹 β€œ π‘š)))
7267, 71mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (𝐹 β€œ π‘š))
7366, 72eqeltrrd 2830 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ 𝑧 ∈ (𝐹 β€œ π‘š))
74 eleq2 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (𝐹 β€œ π‘š) β†’ (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ 𝑧 ∈ (𝐹 β€œ π‘š)))
75 sseq1 4007 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (𝐹 β€œ π‘š) β†’ (𝑀 βŠ† π‘˜ ↔ (𝐹 β€œ π‘š) βŠ† π‘˜))
7674, 75anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (𝐹 β€œ π‘š) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† π‘˜) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹 β€œ π‘š) ∧ (𝐹 β€œ π‘š) βŠ† π‘˜)))
7776rspcev 3611 . . . . . . . . 9 (((𝐹 β€œ π‘š) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) ∧ (𝑧 ∈ (𝐹 β€œ π‘š) ∧ (𝐹 β€œ π‘š) βŠ† π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† π‘˜))
7865, 73, 58, 77syl12anc 835 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† π‘˜))
7947, 78rexlimddv 3158 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† π‘˜))
8079anassrs 466 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜)) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† π‘˜))
8130, 80rexlimddv 3158 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† π‘˜))
8281ralrimivva 3198 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ π‘˜ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† π‘˜))
83 basgen2 22920 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝐾 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ π‘˜ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† π‘˜)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))) = 𝐾)
844, 14, 82, 83syl3anc 1368 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))) = 𝐾)
8584, 4eqeltrd 2829 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))) ∈ Top)
86 tgclb 22901 . . . . 5 (ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ TopBases ↔ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))) ∈ Top)
8785, 86sylibr 233 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ TopBases)
88 omelon 9679 . . . . . . 7 Ο‰ ∈ On
89 simprl 769 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ 𝑏 β‰Ό Ο‰)
90 ondomen 10070 . . . . . . 7 ((Ο‰ ∈ On ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝑏 ∈ dom card)
9188, 89, 90sylancr 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ 𝑏 ∈ dom card)
9213ffnd 6728 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) Fn 𝑏)
93 dffn4 6822 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) Fn 𝑏 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)):𝑏–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)))
9492, 93sylib 217 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)):𝑏–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)))
95 fodomnum 10090 . . . . . 6 (𝑏 ∈ dom card β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)):𝑏–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) β‰Ό 𝑏))
9691, 94, 95sylc 65 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) β‰Ό 𝑏)
97 domtr 9036 . . . . 5 ((ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) β‰Ό 𝑏 ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) β‰Ό Ο‰)
9896, 89, 97syl2anc 582 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) β‰Ό Ο‰)
99 2ndci 23380 . . . 4 ((ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ TopBases ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) β‰Ό Ο‰) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))) ∈ 2ndΟ‰)
10087, 98, 99syl2anc 582 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))) ∈ 2ndΟ‰)
10184, 100eqeltrrd 2830 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ 𝐾 ∈ 2ndΟ‰)
102 2ndcomap.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 2ndΟ‰)
103 is2ndc 23378 . . 3 (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ ↔ βˆƒπ‘ ∈ TopBases (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽))
104102, 103sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ TopBases (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽))
105101, 104r19.29a 3159 1 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 2ndΟ‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4912   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  β—‘ccnv 5681  dom cdm 5682  ran crn 5683   β€œ cima 5685  Oncon0 6374  Fun wfun 6547   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€“ontoβ†’wfo 6551  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Ο‰com 7878   β‰Ό cdom 8970  cardccrd 9968  topGenctg 17428  Topctop 22823  TopBasesctb 22876   Cn ccn 23156  2ndΟ‰c2ndc 23370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-card 9972  df-acn 9975  df-topgen 17434  df-top 22824  df-topon 22841  df-bases 22877  df-cn 23159  df-2ndc 23372
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