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Theorem 2ndcomap 22812
Description: A surjective continuous open map maps second-countable spaces to second-countable spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2ndcomap.2 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
2ndcomap.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 2ndΟ‰)
2ndcomap.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2ndcomap.6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = π‘Œ)
2ndcomap.7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
2ndcomap (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 2ndΟ‰)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐽   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐾
Allowed substitution hint:   π‘Œ(π‘₯)

Proof of Theorem 2ndcomap
Dummy variables π‘˜ π‘š 𝑑 𝑀 𝑧 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2ndcomap.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 cntop2 22595 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
43ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ 𝐾 ∈ Top)
5 simplll 774 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) β†’ πœ‘)
6 bastg 22319 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ TopBases β†’ 𝑏 βŠ† (topGenβ€˜π‘))
76ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ 𝑏 βŠ† (topGenβ€˜π‘))
8 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)
97, 8sseqtrd 3985 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐽)
109sselda 3945 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
11 2ndcomap.7 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐾)
125, 10, 11syl2anc 585 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑏) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐾)
1312fmpttd 7064 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)):π‘βŸΆπΎ)
1413frnd 6677 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝐾)
15 elunii 4871 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ π‘˜ ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾)
16 2ndcomap.2 . . . . . . . . . . 11 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
1715, 16eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ π‘˜ ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
1817ancoms 460 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
1918adantl 483 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜)) β†’ 𝑧 ∈ π‘Œ)
20 2ndcomap.6 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = π‘Œ)
2120ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜)) β†’ ran 𝐹 = π‘Œ)
2219, 21eleqtrrd 2841 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜)) β†’ 𝑧 ∈ ran 𝐹)
23 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2423, 16cnf 22600 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ)
251, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ)
2625ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜)) β†’ 𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ)
27 ffn 6669 . . . . . . . 8 (𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ β†’ 𝐹 Fn βˆͺ 𝐽)
28 fvelrnb 6904 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn βˆͺ 𝐽 β†’ (𝑧 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ βˆͺ 𝐽(πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))
2926, 27, 283syl 18 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜)) β†’ (𝑧 ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ βˆͺ 𝐽(πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))
3022, 29mpbid 231 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ βˆͺ 𝐽(πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧)
311ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
32 simprll 778 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ π‘˜ ∈ 𝐾)
33 cnima 22619 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∈ 𝐽)
3431, 32, 33syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∈ 𝐽)
358adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)
3634, 35eleqtrrd 2841 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∈ (topGenβ€˜π‘))
37 simprrl 780 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽)
38 simprrr 781 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧)
39 simprlr 779 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ π‘˜)
4038, 39eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ π‘˜)
4126ffnd 6670 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜)) β†’ 𝐹 Fn βˆͺ 𝐽)
4241adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ 𝐹 Fn βˆͺ 𝐽)
43 elpreima 7009 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn βˆͺ 𝐽 β†’ (𝑑 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘˜) ↔ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ π‘˜)))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ (𝑑 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘˜) ↔ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ π‘˜)))
4537, 40, 44mpbir2and 712 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ 𝑑 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘˜))
46 tg2 22318 . . . . . . . . 9 (((◑𝐹 β€œ π‘˜) ∈ (topGenβ€˜π‘) ∧ 𝑑 ∈ (◑𝐹 β€œ π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑏 (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))
4736, 45, 46syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝑏 (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))
48 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ π‘š ∈ 𝑏)
49 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 β€œ π‘š) = (𝐹 β€œ π‘š)
50 imaeq2 6010 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘š β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) = (𝐹 β€œ π‘š))
5150rspceeqv 3596 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝐹 β€œ π‘š) = (𝐹 β€œ π‘š)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑏 (𝐹 β€œ π‘š) = (𝐹 β€œ π‘₯))
5248, 49, 51sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑏 (𝐹 β€œ π‘š) = (𝐹 β€œ π‘₯))
5342adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ 𝐹 Fn βˆͺ 𝐽)
54 fnfun 6603 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 Fn βˆͺ 𝐽 β†’ Fun 𝐹)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ Fun 𝐹)
56 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜))
57 funimass2 6585 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹 ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)) β†’ (𝐹 β€œ π‘š) βŠ† π‘˜)
5855, 56, 57syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ (𝐹 β€œ π‘š) βŠ† π‘˜)
59 vex 3450 . . . . . . . . . . . 12 π‘˜ ∈ V
60 ssexg 5281 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 β€œ π‘š) βŠ† π‘˜ ∧ π‘˜ ∈ V) β†’ (𝐹 β€œ π‘š) ∈ V)
6158, 59, 60sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ (𝐹 β€œ π‘š) ∈ V)
62 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))
6362elrnmpt 5912 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β€œ π‘š) ∈ V β†’ ((𝐹 β€œ π‘š) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑏 (𝐹 β€œ π‘š) = (𝐹 β€œ π‘₯)))
6461, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ ((𝐹 β€œ π‘š) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑏 (𝐹 β€œ π‘š) = (𝐹 β€œ π‘₯)))
6552, 64mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ (𝐹 β€œ π‘š) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)))
6638adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧)
67 simprrl 780 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ 𝑑 ∈ π‘š)
68 cnvimass 6034 . . . . . . . . . . . . 13 (◑𝐹 β€œ π‘˜) βŠ† dom 𝐹
6956, 68sstrdi 3957 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ π‘š βŠ† dom 𝐹)
70 funfvima2 7182 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐹 ∧ π‘š βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝑑 ∈ π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (𝐹 β€œ π‘š)))
7155, 69, 70syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ (𝑑 ∈ π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (𝐹 β€œ π‘š)))
7267, 71mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ (𝐹 β€œ π‘š))
7366, 72eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ 𝑧 ∈ (𝐹 β€œ π‘š))
74 eleq2 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (𝐹 β€œ π‘š) β†’ (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ 𝑧 ∈ (𝐹 β€œ π‘š)))
75 sseq1 3970 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (𝐹 β€œ π‘š) β†’ (𝑀 βŠ† π‘˜ ↔ (𝐹 β€œ π‘š) βŠ† π‘˜))
7674, 75anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (𝐹 β€œ π‘š) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† π‘˜) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹 β€œ π‘š) ∧ (𝐹 β€œ π‘š) βŠ† π‘˜)))
7776rspcev 3582 . . . . . . . . 9 (((𝐹 β€œ π‘š) ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) ∧ (𝑧 ∈ (𝐹 β€œ π‘š) ∧ (𝐹 β€œ π‘š) βŠ† π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† π‘˜))
7865, 73, 58, 77syl12anc 836 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) ∧ (π‘š ∈ 𝑏 ∧ (𝑑 ∈ π‘š ∧ π‘š βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘˜)))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† π‘˜))
7947, 78rexlimddv 3159 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† π‘˜))
8079anassrs 469 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜)) ∧ (𝑑 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘‘) = 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† π‘˜))
8130, 80rexlimddv 3159 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† π‘˜))
8281ralrimivva 3198 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ π‘˜ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† π‘˜))
83 basgen2 22342 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) βŠ† 𝐾 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ π‘˜ βˆƒπ‘€ ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† π‘˜)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))) = 𝐾)
844, 14, 82, 83syl3anc 1372 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))) = 𝐾)
8584, 4eqeltrd 2838 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))) ∈ Top)
86 tgclb 22323 . . . . 5 (ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ TopBases ↔ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))) ∈ Top)
8785, 86sylibr 233 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ TopBases)
88 omelon 9583 . . . . . . 7 Ο‰ ∈ On
89 simprl 770 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ 𝑏 β‰Ό Ο‰)
90 ondomen 9974 . . . . . . 7 ((Ο‰ ∈ On ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝑏 ∈ dom card)
9188, 89, 90sylancr 588 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ 𝑏 ∈ dom card)
9213ffnd 6670 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) Fn 𝑏)
93 dffn4 6763 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) Fn 𝑏 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)):𝑏–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)))
9492, 93sylib 217 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)):𝑏–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)))
95 fodomnum 9994 . . . . . 6 (𝑏 ∈ dom card β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)):𝑏–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) β‰Ό 𝑏))
9691, 94, 95sylc 65 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) β‰Ό 𝑏)
97 domtr 8948 . . . . 5 ((ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) β‰Ό 𝑏 ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) β‰Ό Ο‰)
9896, 89, 97syl2anc 585 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) β‰Ό Ο‰)
99 2ndci 22802 . . . 4 ((ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ TopBases ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯)) β‰Ό Ο‰) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))) ∈ 2ndΟ‰)
10087, 98, 99syl2anc 585 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ (topGenβ€˜ran (π‘₯ ∈ 𝑏 ↦ (𝐹 β€œ π‘₯))) ∈ 2ndΟ‰)
10184, 100eqeltrrd 2839 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ TopBases) ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ 𝐾 ∈ 2ndΟ‰)
102 2ndcomap.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 2ndΟ‰)
103 is2ndc 22800 . . 3 (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ ↔ βˆƒπ‘ ∈ TopBases (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽))
104102, 103sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ TopBases (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽))
105101, 104r19.29a 3160 1 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 2ndΟ‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3446   βŠ† wss 3911  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β€œ cima 5637  Oncon0 6318  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Ο‰com 7803   β‰Ό cdom 8882  cardccrd 9872  topGenctg 17320  Topctop 22245  TopBasesctb 22298   Cn ccn 22578  2ndΟ‰c2ndc 22792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-card 9876  df-acn 9879  df-topgen 17326  df-top 22246  df-topon 22263  df-bases 22299  df-cn 22581  df-2ndc 22794
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