Theorem blfval 24696

Description: The value of the ball function. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
blfval	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑦,𝐷   𝑋,𝑟,𝑥,𝑦

Proof of Theorem blfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetpsmet 24660	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
2		blfvalps 24695	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (ball‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ∈ cmpo 7420  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336  PsMetcpsmet 21655  ∞Metcxmet 21656  ballcbl 21658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-map 8842  df-xr 11340  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-bl 21666

This theorem is used by:  blval  24698  blf  24719