Theorem blf 23014

Description: Mapping of a ball. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
blf	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)

Proof of Theorem blf

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4007	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ⊆ 𝑋
2		elfvdm 6677	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3		elpw2g 5211	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ dom ∞Met → ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋 ↔ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ⊆ 𝑋))
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ({𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋 ↔ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ⊆ 𝑋))
5	1, 4	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋)
6	5	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋))
7	6	ralrimivv 3155	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ* {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋)
8		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟})
9	8	fmpo 7748	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ* {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟} ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
10	7, 9	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
11		blfval 22991	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}))
12	11	feq1d 6472	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < 𝑟}):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋))
13	10, 12	mpbird 260	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  {crab 3110   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497   class class class wbr 5030   × cxp 5517  dom cdm 5519  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664  ∞Metcxmet 20076  ballcbl 20078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-map 8391  df-xr 10668  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-bl 20086

This theorem is referenced by:  blrn  23016  blelrn  23024  blssm  23025  unirnbl  23027  blin2  23036  imasf1oxms  23096  iscau2  23881  ismtyhmeolem  35242