MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetpsmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmetpsmet 22892
Description: An extended metric is a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
xmetpsmet (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))

Proof of Theorem xmetpsmet
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetf 22873 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2 xmet0 22886 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
3 3anrot 1094 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) ↔ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋))
4 xmettri2 22884 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
53, 4sylan2br 594 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
653anassrs 1354 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
76ralrimiva 3187 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
87ralrimiva 3187 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
92, 8jca 512 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥𝐷𝑥) = 0 ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
109ralrimiva 3187 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐷𝑥) = 0 ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
11 elfvex 6702 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
12 ispsmet 22848 . . 3 (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐷𝑥) = 0 ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
1311, 12syl 17 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐷𝑥) = 0 ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
141, 10, 13mpbir2and 709 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  Vcvv 3500   class class class wbr 5063   × cxp 5552  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  0cc0 10531  *cxr 10668  cle 10670   +𝑒 cxad 12500  PsMetcpsmet 20464  ∞Metcxmet 20465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-fv 6362  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-map 8403  df-xr 10673  df-psmet 20472  df-xmet 20473
This theorem is referenced by:  blfval  22928  xmetutop  23112  xmsusp  23113  cfilucfil3  23857  cmetcusp  23891  cnflduss  23893  reust  23918  qqhucn  31138  sitmcl  31514  heicant  34813  metpsmet  41241  ioorrnopnlem  42474
  Copyright terms: Public domain W3C validator