MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetpsmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmetpsmet 24209
Description: An extended metric is a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
xmetpsmet (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))

Proof of Theorem xmetpsmet
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetf 24190 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
2 xmet0 24203 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷π‘₯) = 0)
3 3anrot 1097 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋))
4 xmettri2 24201 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
53, 4sylan2br 594 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
653anassrs 1357 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
76ralrimiva 3140 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
87ralrimiva 3140 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
92, 8jca 511 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝐷π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
109ralrimiva 3140 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
11 elfvex 6923 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ V)
12 ispsmet 24165 . . 3 (𝑋 ∈ V β†’ (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
1311, 12syl 17 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((π‘₯𝐷π‘₯) = 0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
141, 10, 13mpbir2and 710 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253   +𝑒 cxad 13096  PsMetcpsmet 21224  βˆžMetcxmet 21225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8824  df-xr 11256  df-psmet 21232  df-xmet 21233
This theorem is referenced by:  blfval  24245  xmetutop  24432  xmsusp  24433  cfilucfil3  25203  cmetcusp  25237  cnflduss  25239  reust  25264  qqhucn  33502  sitmcl  33880  heicant  37036  metpsmet  44355  ioorrnopnlem  45592
  Copyright terms: Public domain W3C validator