MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetpsmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmetpsmet 24374
Description: An extended metric is a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
xmetpsmet (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))

Proof of Theorem xmetpsmet
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetf 24355 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2 xmet0 24368 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
3 3anrot 1099 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) ↔ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋))
4 xmettri2 24366 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
53, 4sylan2br 595 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
653anassrs 1359 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
76ralrimiva 3144 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ∀𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
87ralrimiva 3144 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
92, 8jca 511 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥𝐷𝑥) = 0 ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
109ralrimiva 3144 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐷𝑥) = 0 ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
11 elfvex 6945 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
12 ispsmet 24330 . . 3 (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐷𝑥) = 0 ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
1311, 12syl 17 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐷𝑥) = 0 ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
141, 10, 13mpbir2and 713 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478   class class class wbr 5148   × cxp 5687  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  *cxr 11292  cle 11294   +𝑒 cxad 13150  PsMetcpsmet 21366  ∞Metcxmet 21367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-xr 11297  df-psmet 21374  df-xmet 21375
This theorem is referenced by:  blfval  24410  xmetutop  24597  xmsusp  24598  cfilucfil3  25368  cmetcusp  25402  cnflduss  25404  reust  25429  qqhucn  33955  sitmcl  34333  heicant  37642  metpsmet  45031  ioorrnopnlem  46260
  Copyright terms: Public domain W3C validator