MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bln0 23028
Description: A ball is not empty. (Contributed by NM, 6-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bln0 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ≠ ∅)

Proof of Theorem bln0
StepHypRef Expression
1 blcntr 23026 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
21ne0d 4284 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084  wcel 2115  wne 3014  c0 4276  cfv 6343  (class class class)co 7149  +crp 12386  ∞Metcxmet 20083  ballcbl 20085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-map 8404  df-xr 10677  df-rp 12387  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-bl 20093
This theorem is referenced by:  bcthlem5  23938
  Copyright terms: Public domain W3C validator