MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blcntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blcntr 23024
Description: A ball contains its center. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blcntr ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))

Proof of Theorem blcntr
StepHypRef Expression
1 rpxr 12390 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ*)
2 rpgt0 12393 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑅)
31, 2jca 515 . 2 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅))
4 xblcntr 23022 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
53, 4syl3an3 1162 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084  wcel 2112   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  0cc0 10530  *cxr 10667   < clt 10668  +crp 12381  ∞Metcxmet 20080  ballcbl 20082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-map 8395  df-xr 10672  df-rp 12382  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-bl 20090
This theorem is referenced by:  bln0  23026  unirnbl  23031  blssex  23038  neibl  23112  blnei  23113  metss  23119  methaus  23131  met1stc  23132  met2ndci  23133  metrest  23135  prdsxmslem2  23140  metcnp3  23151  tgioo  23405  zdis  23425  metnrmlem2  23469  cnllycmp  23565  nmhmcn  23729  lmmbr  23866  cfilfcls  23882  iscmet3lem2  23900  caubl  23916  caublcls  23917  flimcfil  23922  ellimc3  24486  ulmdvlem1  24999  efopn  25253  logtayl  25255  xrlimcnp  25558  efrlim  25559  lgamucov  25627  cnllysconn  32606  poimirlem30  35086  blbnd  35224  heibor1lem  35246  heibor1  35247  binomcxplemnotnn0  41053  hoiqssbl  43257
  Copyright terms: Public domain W3C validator