Theorem blcntr 23919

Description: A ball contains its center. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blcntr	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))

Proof of Theorem blcntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 12983	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ*)
2		rpgt0 12986	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑅)
3	1, 2	jca 513	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅))
4		xblcntr 23917	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
5	3, 4	syl3an3 1166	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248  ℝ⁺crp 12974  ∞Metcxmet 20929  ballcbl 20931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822  df-xr 11252  df-rp 12975  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-bl 20939

This theorem is referenced by:  bln0  23921  unirnbl  23926  blssex  23933  neibl  24010  blnei  24011  metss  24017  methaus  24029  met1stc  24030  met2ndci  24031  metrest  24033  prdsxmslem2  24038  metcnp3  24049  tgioo  24312  zdis  24332  metnrmlem2  24376  cnllycmp  24472  nmhmcn  24636  lmmbr  24775  cfilfcls  24791  iscmet3lem2  24809  caubl  24825  caublcls  24826  flimcfil  24831  ellimc3  25396  ulmdvlem1  25912  efopn  26166  logtayl  26168  xrlimcnp  26473  efrlim  26474  lgamucov  26542  cnllysconn  34267  poimirlem30  36566  blbnd  36703  heibor1lem  36725  heibor1  36726  binomcxplemnotnn0  43163  hoiqssbl  45389