Theorem blcntr 24366

Description: A ball contains its center. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blcntr	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))

Proof of Theorem blcntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 12941	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ*)
2		rpgt0 12944	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑅)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅))
4		xblcntr 24364	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
5	3, 4	syl3an3 1166	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5074  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  0cc0 11027  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168  ℝ⁺crp 12931  ∞Metcxmet 21326  ballcbl 21328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-fv 6495  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-map 8764  df-xr 11172  df-rp 12932  df-psmet 21333  df-xmet 21334  df-bl 21336

This theorem is referenced by:  bln0  24368  unirnbl  24373  blssex  24380  neibl  24454  blnei  24455  metss  24461  methaus  24473  met1stc  24474  met2ndci  24475  metrest  24477  prdsxmslem2  24482  metcnp3  24493  tgioo  24749  zdis  24770  metnrmlem2  24814  cnllycmp  24911  nmhmcn  25075  lmmbr  25213  cfilfcls  25229  iscmet3lem2  25247  caubl  25263  caublcls  25264  flimcfil  25269  ellimc3  25834  ulmdvlem1  26353  efopn  26610  logtayl  26612  xrlimcnp  26920  efrlim  26921  lgamucov  26989  cnllysconn  35415  poimirlem30  37959  blbnd  38096  heibor1lem  38118  heibor1  38119  binomcxplemnotnn0  44771  hoiqssbl  47041