Theorem blcntr 23265

Description: A ball contains its center. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blcntr	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))

Proof of Theorem blcntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 12560	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ*)
2		rpgt0 12563	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑅)
3	1, 2	jca 515	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅))
4		xblcntr 23263	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
5	3, 4	syl3an3 1167	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5039  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  0cc0 10694  ℝ^*cxr 10831   < clt 10832  ℝ⁺crp 12551  ∞Metcxmet 20302  ballcbl 20304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-map 8488  df-xr 10836  df-rp 12552  df-psmet 20309  df-xmet 20310  df-bl 20312

This theorem is referenced by:  bln0  23267  unirnbl  23272  blssex  23279  neibl  23353  blnei  23354  metss  23360  methaus  23372  met1stc  23373  met2ndci  23374  metrest  23376  prdsxmslem2  23381  metcnp3  23392  tgioo  23647  zdis  23667  metnrmlem2  23711  cnllycmp  23807  nmhmcn  23971  lmmbr  24109  cfilfcls  24125  iscmet3lem2  24143  caubl  24159  caublcls  24160  flimcfil  24165  ellimc3  24730  ulmdvlem1  25246  efopn  25500  logtayl  25502  xrlimcnp  25805  efrlim  25806  lgamucov  25874  cnllysconn  32874  poimirlem30  35493  blbnd  35631  heibor1lem  35653  heibor1  35654  binomcxplemnotnn0  41588  hoiqssbl  43781