MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xbln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xbln0 23770
Description: A ball is nonempty iff the radius is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xbln0 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ… ↔ 0 < 𝑅))

Proof of Theorem xbln0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4307 . . 3 ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅))
2 elbl 23744 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
3 xmetge0 23700 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷π‘₯))
433expa 1119 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷π‘₯))
543adantl3 1169 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷π‘₯))
6 0xr 11203 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
7 xmetcl 23687 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
873expa 1119 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
983adantl3 1169 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
10 simpl3 1194 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
11 xrlelttr 13076 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((0 ≀ (𝑃𝐷π‘₯) ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅) β†’ 0 < 𝑅))
126, 9, 10, 11mp3an2i 1467 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((0 ≀ (𝑃𝐷π‘₯) ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅) β†’ 0 < 𝑅))
135, 12mpand 694 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 β†’ 0 < 𝑅))
1413expimpd 455 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅) β†’ 0 < 𝑅))
152, 14sylbid 239 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β†’ 0 < 𝑅))
1615exlimdv 1937 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β†’ 0 < 𝑅))
171, 16biimtrid 241 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ… β†’ 0 < 𝑅))
18 xblcntr 23767 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) β†’ 𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅))
1918ne0d 4296 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ…)
20193expa 1119 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ…)
2120expr 458 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (0 < 𝑅 β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ…))
22213impa 1111 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (0 < 𝑅 β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ…))
2317, 22impbid 211 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ… ↔ 0 < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ…c0 4283   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11052  β„*cxr 11189   < clt 11190   ≀ cle 11191  βˆžMetcxmet 20784  ballcbl 20786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-2 12217  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-bl 20794
This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  23888  blssioo  24161  metdstri  24217  blbnd  36249  prdsbnd2  36257
  Copyright terms: Public domain W3C validator