MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xbln0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xbln0 24333
Description: A ball is nonempty iff the radius is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xbln0 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ… ↔ 0 < 𝑅))
Proof of Theorem xbln0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4347 . . 3 ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅))
2 elbl 24307 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
3 xmetge0 24263 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷π‘₯))
433expa 1116 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷π‘₯))
543adantl3 1166 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷π‘₯))
6 0xr 11292 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
7 xmetcl 24250 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
873expa 1116 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
983adantl3 1166 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
10 simpl3 1191 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
11 xrlelttr 13168 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((0 ≀ (𝑃𝐷π‘₯) ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅) β†’ 0 < 𝑅))
126, 9, 10, 11mp3an2i 1463 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((0 ≀ (𝑃𝐷π‘₯) ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅) β†’ 0 < 𝑅))
135, 12mpand 694 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 β†’ 0 < 𝑅))
1413expimpd 453 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅) β†’ 0 < 𝑅))
152, 14sylbid 239 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β†’ 0 < 𝑅))
1615exlimdv 1929 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β†’ 0 < 𝑅))
171, 16biimtrid 241 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ… β†’ 0 < 𝑅))
18 xblcntr 24330 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) β†’ 𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅))
1918ne0d 4336 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ…)
20193expa 1116 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ…)
2120expr 456 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (0 < 𝑅 β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ…))
22213impa 1108 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (0 < 𝑅 β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ…))
2317, 22impbid 211 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ… ↔ 0 < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  0cc0 11139  β„*cxr 11278   < clt 11279   ≀ cle 11280  βˆžMetcxmet 21264  ballcbl 21266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-2 12306  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-bl 21274
This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  24451  blssioo  24724  metdstri  24780  blbnd  37260  prdsbnd2  37268
  Copyright terms: Public domain W3C validator