Theorem xbln0 24397

Description: A ball is nonempty iff the radius is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xbln0	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ≠ ∅ ↔ 0 < 𝑅))

Proof of Theorem xbln0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4281	. . 3 ⊢ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
2		elbl 24371	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
3		xmetge0 24327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥))
4	3	3expa 1124	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥))
5	4	3adantl3 1175	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥))
6		0xr 11183	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7		xmetcl 24314	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
8	7	3expa 1124	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
9	8	3adantl3 1175	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
10		simpl3 1200	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
11		xrlelttr 13098	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((0 ≤ (𝑃𝐷𝑥) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) → 0 < 𝑅))
12	6, 9, 10, 11	mp3an2i 1474	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0 ≤ (𝑃𝐷𝑥) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) → 0 < 𝑅))
13	5, 12	mpand 701	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 → 0 < 𝑅))
14	13	expimpd 454	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) → 0 < 𝑅))
15	2, 14	sylbid 241	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) → 0 < 𝑅))
16	15	exlimdv 1940	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) → 0 < 𝑅))
17	1, 16	biimtrid 243	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ≠ ∅ → 0 < 𝑅))
18		xblcntr 24394	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
19	18	ne0d 4270	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ≠ ∅)
20	19	3expa 1124	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ≠ ∅)
21	20	expr 457	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑅 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ≠ ∅))
22	21	3impa 1115	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑅 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ≠ ∅))
23	17, 22	impbid 213	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ≠ ∅ ↔ 0 < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∅c0 4261   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  ∞Metcxmet 21332  ballcbl 21334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-2 12235  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-bl 21342

This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  24512  blssioo  24778  metdstri  24835  blbnd  38154  prdsbnd2  38162