MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xbln0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xbln0 23911
Description: A ball is nonempty iff the radius is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xbln0 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ… ↔ 0 < 𝑅))
Proof of Theorem xbln0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4345 . . 3 ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅))
2 elbl 23885 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
3 xmetge0 23841 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷π‘₯))
433expa 1118 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷π‘₯))
543adantl3 1168 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑃𝐷π‘₯))
6 0xr 11257 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
7 xmetcl 23828 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
873expa 1118 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
983adantl3 1168 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ*)
10 simpl3 1193 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
11 xrlelttr 13131 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((0 ≀ (𝑃𝐷π‘₯) ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅) β†’ 0 < 𝑅))
126, 9, 10, 11mp3an2i 1466 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((0 ≀ (𝑃𝐷π‘₯) ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅) β†’ 0 < 𝑅))
135, 12mpand 693 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅 β†’ 0 < 𝑅))
1413expimpd 454 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅) β†’ 0 < 𝑅))
152, 14sylbid 239 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β†’ 0 < 𝑅))
1615exlimdv 1936 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β†’ 0 < 𝑅))
171, 16biimtrid 241 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ… β†’ 0 < 𝑅))
18 xblcntr 23908 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) β†’ 𝑃 ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅))
1918ne0d 4334 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ…)
20193expa 1118 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ…)
2120expr 457 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (0 < 𝑅 β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ…))
22213impa 1110 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (0 < 𝑅 β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ…))
2317, 22impbid 211 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) β‰  βˆ… ↔ 0 < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245  βˆžMetcxmet 20921  ballcbl 20923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-bl 20931
This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  24029  blssioo  24302  metdstri  24358  blbnd  36643  prdsbnd2  36651
  Copyright terms: Public domain W3C validator