MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xbln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xbln0 24425
Description: A ball is nonempty iff the radius is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xbln0 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ≠ ∅ ↔ 0 < 𝑅))

Proof of Theorem xbln0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4352 . . 3 ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
2 elbl 24399 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
3 xmetge0 24355 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑥𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥))
433expa 1118 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥))
543adantl3 1168 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥))
6 0xr 11309 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
7 xmetcl 24342 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑥𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
873expa 1118 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
983adantl3 1168 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
10 simpl3 1193 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
11 xrlelttr 13199 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → ((0 ≤ (𝑃𝐷𝑥) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) → 0 < 𝑅))
126, 9, 10, 11mp3an2i 1467 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑋) → ((0 ≤ (𝑃𝐷𝑥) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) → 0 < 𝑅))
135, 12mpand 695 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 → 0 < 𝑅))
1413expimpd 453 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) → 0 < 𝑅))
152, 14sylbid 240 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) → 0 < 𝑅))
1615exlimdv 1932 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) → 0 < 𝑅))
171, 16biimtrid 242 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ≠ ∅ → 0 < 𝑅))
18 xblcntr 24422 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
1918ne0d 4341 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋 ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ≠ ∅)
20193expa 1118 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ≠ ∅)
2120expr 456 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑅 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ≠ ∅))
22213impa 1109 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑅 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ≠ ∅))
2317, 22impbid 212 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ≠ ∅ ↔ 0 < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wex 1778  wcel 2107  wne 2939  c0 4332   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  *cxr 11295   < clt 11296  cle 11297  ∞Metcxmet 21350  ballcbl 21352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-2 12330  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-bl 21360
This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  24543  blssioo  24817  metdstri  24874  blbnd  37795  prdsbnd2  37803
  Copyright terms: Public domain W3C validator