MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcthlem5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bcthlem5 25076
Description: Lemma for bcth 25077. The proof makes essential use of the Axiom of Dependent Choice axdc4uz 13953, which in the form used here accepts a "selection" function 𝐹 from each element of 𝐾 to a nonempty subset of 𝐾, and the result function 𝑔 maps 𝑔(𝑛 + 1) to an element of 𝐹(𝑛, 𝑔(𝑛)). The trick here is thus in the choice of 𝐹 and 𝐾: we let 𝐾 be the set of all tagged nonempty open sets (tagged here meaning that we have a point and an open set, in an ordered pair), and 𝐹(π‘˜, ⟨π‘₯, π‘§βŸ©) gives the set of all balls of size less than 1 / π‘˜, tagged by their centers, whose closures fit within the given open set 𝑧 and miss 𝑀(π‘˜).

Since 𝑀(π‘˜) is closed, 𝑧 βˆ– 𝑀(π‘˜) is open and also nonempty, since 𝑧 is nonempty and 𝑀(π‘˜) has empty interior. Then there is some ball contained in it, and hence our function 𝐹 is valid (it never maps to the empty set). Now starting at a point in the interior of βˆͺ ran 𝑀, DC gives us the function 𝑔 all whose elements are constrained by 𝐹 acting on the previous value. (This is all proven in this lemma.) Now 𝑔 is a sequence of tagged open balls, forming an inclusion chain (see bcthlem2 25073) and whose sizes tend to zero, since they are bounded above by 1 / π‘˜. Thus, the centers of these balls form a Cauchy sequence, and converge to a point π‘₯ (see bcthlem4 25075). Since the inclusion chain also ensures the closure of each ball is in the previous ball, the point π‘₯ must be in all these balls (see bcthlem3 25074) and hence misses each 𝑀(π‘˜), contradicting the fact that π‘₯ is in the interior of βˆͺ ran 𝑀 (which was the starting point). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2014.)

Hypotheses
Ref Expression
bcth.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
bcthlem.4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
bcthlem.5 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„•, 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ↦ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))})
bcthlem.6 (πœ‘ β†’ 𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½))
bcthlem5.7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = βˆ…)
Assertion
Ref Expression
bcthlem5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) = βˆ…)
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧,𝐷   π‘˜,𝐹,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   π‘˜,𝐽,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   π‘˜,𝑀,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   πœ‘,π‘˜,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   π‘˜,𝑋,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧
Proof of Theorem bcthlem5
Dummy variables 𝑛 𝑔 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcthlem.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
2 cmetmet 25034 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
3 metxmet 24060 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
41, 2, 33syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
5 bcth.2 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
65mopntop 24166 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
74, 6syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
8 bcthlem.6 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½))
98frnd 6724 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝑀 βŠ† (Clsdβ€˜π½))
10 eqid 2730 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1110cldss2 22754 . . . . . . . 8 (Clsdβ€˜π½) βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝐽
129, 11sstrdi 3993 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝑀 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝐽)
13 sspwuni 5102 . . . . . . 7 (ran 𝑀 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝐽 ↔ βˆͺ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽)
1412, 13sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽)
1510ntropn 22773 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ βˆͺ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∈ 𝐽)
167, 14, 15syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∈ 𝐽)
174, 16jca 510 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∈ 𝐽))
185mopni2 24222 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∈ 𝐽 ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ ℝ+ (𝑛(ballβ€˜π·)π‘š) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀))
19183expa 1116 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∈ 𝐽) ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ ℝ+ (𝑛(ballβ€˜π·)π‘š) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀))
2017, 19sylan 578 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ ℝ+ (𝑛(ballβ€˜π·)π‘š) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀))
215mopnuni 24167 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
224, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
2310topopn 22628 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ 𝐽)
247, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ 𝐽)
2522, 24eqeltrd 2831 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
26 reex 11203 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
27 rpssre 12985 . . . . . . . . . . 11 ℝ+ βŠ† ℝ
2826, 27ssexi 5321 . . . . . . . . . 10 ℝ+ ∈ V
29 xpexg 7739 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ℝ+ ∈ V) β†’ (𝑋 Γ— ℝ+) ∈ V)
3025, 28, 29sylancl 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— ℝ+) ∈ V)
31303ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (𝑋 Γ— ℝ+) ∈ V)
3210ntrss3 22784 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ βˆͺ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) βŠ† βˆͺ 𝐽)
337, 14, 32syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) βŠ† βˆͺ 𝐽)
3433, 22sseqtrrd 4022 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) βŠ† 𝑋)
35343ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) βŠ† 𝑋)
36 simp2 1135 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀))
3735, 36sseldd 3982 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ 𝑛 ∈ 𝑋)
38 simp3 1136 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
3937, 38opelxpd 5714 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ βŸ¨π‘›, π‘šβŸ© ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))
40 opabssxp 5767 . . . . . . . . . . . . 13 {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))} βŠ† (𝑋 Γ— ℝ+)
41 elpw2g 5343 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 Γ— ℝ+) ∈ V β†’ ({⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))} ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— ℝ+) ↔ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))} βŠ† (𝑋 Γ— ℝ+)))
4230, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ({⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))} ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— ℝ+) ↔ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))} βŠ† (𝑋 Γ— ℝ+)))
4342adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ ({⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))} ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— ℝ+) ↔ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))} βŠ† (𝑋 Γ— ℝ+)))
4440, 43mpbiri 257 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))} ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— ℝ+))
45 bcthlem5.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = βˆ…)
46 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
47 rspa 3243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = βˆ… ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = βˆ…)
4845, 46, 47syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = βˆ…)
49 ssdif0 4362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βŠ† (π‘€β€˜π‘˜) ↔ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) = βˆ…)
50 1st2nd2 8016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ 𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩)
5150ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ 𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩)
5251fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ ((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) = ((ballβ€˜π·)β€˜βŸ¨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩))
53 df-ov 7414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1st β€˜π‘§)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜π‘§)) = ((ballβ€˜π·)β€˜βŸ¨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩)
5452, 53eqtr4di 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ ((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) = ((1st β€˜π‘§)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜π‘§)))
554adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
56 xp1st 8009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ (1st β€˜π‘§) ∈ 𝑋)
5756ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (1st β€˜π‘§) ∈ 𝑋)
58 xp2nd 8010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) β†’ (2nd β€˜π‘§) ∈ ℝ+)
5958ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (2nd β€˜π‘§) ∈ ℝ+)
60 bln0 24141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ ℝ+) β†’ ((1st β€˜π‘§)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜π‘§)) β‰  βˆ…)
6155, 57, 59, 60syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ ((1st β€˜π‘§)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜π‘§)) β‰  βˆ…)
6254, 61eqnetrd 3006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ ((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) β‰  βˆ…)
637adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
64 ffvelcdm 7082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ (Clsdβ€˜π½))
658, 46, 64syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ (Clsdβ€˜π½))
6610cldss 22753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘€β€˜π‘˜) ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝐽)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝐽)
6859rpxrd 13021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (2nd β€˜π‘§) ∈ ℝ*)
695blopn 24229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ ℝ*) β†’ ((1st β€˜π‘§)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜π‘§)) ∈ 𝐽)
7055, 57, 68, 69syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ ((1st β€˜π‘§)(ballβ€˜π·)(2nd β€˜π‘§)) ∈ 𝐽)
7154, 70eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ ((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) ∈ 𝐽)
7210ssntr 22782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐽 ∈ Top ∧ (π‘€β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝐽) ∧ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) ∈ 𝐽 ∧ ((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βŠ† (π‘€β€˜π‘˜))) β†’ ((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)))
7372expr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 ∈ Top ∧ (π‘€β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝐽) ∧ ((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) ∈ 𝐽) β†’ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βŠ† (π‘€β€˜π‘˜) β†’ ((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜))))
7463, 67, 71, 73syl21anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βŠ† (π‘€β€˜π‘˜) β†’ ((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜))))
75 ssn0 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) ∧ ((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) β‰  βˆ…) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…)
7675expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) β‰  βˆ… β†’ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…))
7762, 74, 76sylsyld 61 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βŠ† (π‘€β€˜π‘˜) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…))
7849, 77biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ ((((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) = βˆ… β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…))
7978necon2d 2961 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = βˆ… β†’ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…))
8048, 79mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…)
81 n0 4345 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
8243ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
8310difopn 22758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) ∈ 𝐽 ∧ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) ∈ 𝐽)
8471, 65, 83syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) ∈ 𝐽)
85843adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) β†’ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) ∈ 𝐽)
86 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) β†’ π‘₯ ∈ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
87 simp2l 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
88 nnrp 12989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
8988rpreccld 13030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ+)
9087, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ+)
915mopni3 24223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) ∧ (1 / π‘˜) ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ℝ+ (𝑛 < (1 / π‘˜) ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑛) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))
9282, 85, 86, 90, 91syl31anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ℝ+ (𝑛 < (1 / π‘˜) ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑛) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))
93 simp1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) β†’ πœ‘)
94 elssuni 4940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) ∈ 𝐽 β†’ ((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βŠ† βˆͺ 𝐽)
9571, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ ((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βŠ† βˆͺ 𝐽)
9622adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
9795, 96sseqtrrd 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ ((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βŠ† 𝑋)
9897ssdifssd 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) βŠ† 𝑋)
9998sseld 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (π‘₯ ∈ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋))
100993impia 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
101 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+)))
102 rphalfcl 13005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (𝑛 / 2) ∈ ℝ+)
103 rphalflt 13007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (𝑛 / 2) < 𝑛)
104 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘Ÿ = (𝑛 / 2) β†’ (π‘Ÿ < 𝑛 ↔ (𝑛 / 2) < 𝑛))
105104rspcev 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑛 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 / 2) < 𝑛) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ π‘Ÿ < 𝑛)
106102, 103, 105syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ π‘Ÿ < 𝑛)
107106ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 < (1 / π‘˜) ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑛) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ π‘Ÿ < 𝑛)
108 df-rex 3069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ π‘Ÿ < 𝑛 ↔ βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘Ÿ < 𝑛))
109 simpr3 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘Ÿ < 𝑛 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
110109rpred 13020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘Ÿ < 𝑛 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
111 simpr1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘Ÿ < 𝑛 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
112111rpred 13020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘Ÿ < 𝑛 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
113 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘Ÿ < 𝑛 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
114113nnrecred 12267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘Ÿ < 𝑛 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
115 simpr2 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘Ÿ < 𝑛 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ < 𝑛)
116 lttr 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (1 / π‘˜) ∈ ℝ) β†’ ((π‘Ÿ < 𝑛 ∧ 𝑛 < (1 / π‘˜)) β†’ π‘Ÿ < (1 / π‘˜)))
117116expdimp 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (1 / π‘˜) ∈ ℝ) ∧ π‘Ÿ < 𝑛) β†’ (𝑛 < (1 / π‘˜) β†’ π‘Ÿ < (1 / π‘˜)))
118110, 112, 114, 115, 117syl31anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘Ÿ < 𝑛 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑛 < (1 / π‘˜) β†’ π‘Ÿ < (1 / π‘˜)))
1194anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋))
120119adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋))
121 rpxr 12987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
122 rpxr 12987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ 𝑛 ∈ ℝ*)
123 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘Ÿ < 𝑛 β†’ π‘Ÿ < 𝑛)
124121, 122, 1233anim123i 1149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘Ÿ < 𝑛) β†’ (π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑛 ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ < 𝑛))
1251243coml 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘Ÿ < 𝑛 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑛 ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ < 𝑛))
1265blsscls 24236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑛 ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ < 𝑛)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑛))
127120, 125, 126syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘Ÿ < 𝑛 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑛))
128 sstr2 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑛) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)𝑛) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘Ÿ < 𝑛 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)𝑛) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))
130118, 129anim12d 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘Ÿ < 𝑛 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((𝑛 < (1 / π‘˜) ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑛) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) β†’ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))))
131 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘Ÿ < 𝑛 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
132131, 109jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘Ÿ < 𝑛 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+))
133130, 132jctild 524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘Ÿ < 𝑛 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((𝑛 < (1 / π‘˜) ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑛) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))))
1341333exp2 1352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ < 𝑛 β†’ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ ((𝑛 < (1 / π‘˜) ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑛) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))))))))
135134com35 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ ((𝑛 < (1 / π‘˜) ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑛) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) β†’ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (π‘Ÿ < 𝑛 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))))))))
136135imp5d 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 < (1 / π‘˜) ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑛) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))) β†’ ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘Ÿ < 𝑛) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))))
137136eximdv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 < (1 / π‘˜) ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑛) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ π‘Ÿ < 𝑛) β†’ βˆƒπ‘Ÿ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))))
138108, 137biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 < (1 / π‘˜) ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑛) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ π‘Ÿ < 𝑛 β†’ βˆƒπ‘Ÿ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))))
139107, 138mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 < (1 / π‘˜) ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑛) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))))
140139rexlimdva2 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ ℝ+ (𝑛 < (1 / π‘˜) ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑛) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))))
14193, 100, 101, 140syl21anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ ℝ+ (𝑛 < (1 / π‘˜) ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑛) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))))
14292, 141mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+)) ∧ π‘₯ ∈ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))))
1431423expia 1119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (π‘₯ ∈ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))))
144143eximdv 1918 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘Ÿ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))))
14581, 144biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ ((((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘Ÿ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))))
14680, 145mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘Ÿ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))))
147 opabn0 5552 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘Ÿ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))))
148146, 147sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))} β‰  βˆ…)
149 eldifsn 4789 . . . . . . . . . . . 12 ({⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))} ∈ (𝒫 (𝑋 Γ— ℝ+) βˆ– {βˆ…}) ↔ ({⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))} ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))} β‰  βˆ…))
15044, 148, 149sylanbrc 581 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+))) β†’ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))} ∈ (𝒫 (𝑋 Γ— ℝ+) βˆ– {βˆ…}))
151150ralrimivva 3198 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• βˆ€π‘§ ∈ (𝑋 Γ— ℝ+){⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))} ∈ (𝒫 (𝑋 Γ— ℝ+) βˆ– {βˆ…}))
152 bcthlem.5 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (π‘˜ ∈ β„•, 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ↦ {⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))})
153152fmpo 8056 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• βˆ€π‘§ ∈ (𝑋 Γ— ℝ+){⟨π‘₯, π‘ŸβŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ÿ < (1 / π‘˜) ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) βŠ† (((ballβ€˜π·)β€˜π‘§) βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))} ∈ (𝒫 (𝑋 Γ— ℝ+) βˆ– {βˆ…}) ↔ 𝐹:(β„• Γ— (𝑋 Γ— ℝ+))⟢(𝒫 (𝑋 Γ— ℝ+) βˆ– {βˆ…}))
154151, 153sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:(β„• Γ— (𝑋 Γ— ℝ+))⟢(𝒫 (𝑋 Γ— ℝ+) βˆ– {βˆ…}))
1551543ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:(β„• Γ— (𝑋 Γ— ℝ+))⟢(𝒫 (𝑋 Γ— ℝ+) βˆ– {βˆ…}))
156 1z 12596 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„€
157 nnuz 12869 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
158156, 157axdc4uz 13953 . . . . . . . 8 (((𝑋 Γ— ℝ+) ∈ V ∧ βŸ¨π‘›, π‘šβŸ© ∈ (𝑋 Γ— ℝ+) ∧ 𝐹:(β„• Γ— (𝑋 Γ— ℝ+))⟢(𝒫 (𝑋 Γ— ℝ+) βˆ– {βˆ…})) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆ(𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (π‘”β€˜1) = βŸ¨π‘›, π‘šβŸ© ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(π‘”β€˜π‘›))))
15931, 39, 155, 158syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:β„•βŸΆ(𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (π‘”β€˜1) = βŸ¨π‘›, π‘šβŸ© ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(π‘”β€˜π‘›))))
160 simpl1 1189 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ (𝑔:β„•βŸΆ(𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (π‘”β€˜1) = βŸ¨π‘›, π‘šβŸ© ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(π‘”β€˜π‘›)))) β†’ πœ‘)
161160, 1syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ (𝑔:β„•βŸΆ(𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (π‘”β€˜1) = βŸ¨π‘›, π‘šβŸ© ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(π‘”β€˜π‘›)))) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
162160, 8syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ (𝑔:β„•βŸΆ(𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (π‘”β€˜1) = βŸ¨π‘›, π‘šβŸ© ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(π‘”β€˜π‘›)))) β†’ 𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½))
163 simpl3 1191 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ (𝑔:β„•βŸΆ(𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (π‘”β€˜1) = βŸ¨π‘›, π‘šβŸ© ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(π‘”β€˜π‘›)))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
16437adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ (𝑔:β„•βŸΆ(𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (π‘”β€˜1) = βŸ¨π‘›, π‘šβŸ© ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(π‘”β€˜π‘›)))) β†’ 𝑛 ∈ 𝑋)
165 simpr1 1192 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ (𝑔:β„•βŸΆ(𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (π‘”β€˜1) = βŸ¨π‘›, π‘šβŸ© ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(π‘”β€˜π‘›)))) β†’ 𝑔:β„•βŸΆ(𝑋 Γ— ℝ+))
166 simpr2 1193 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ (𝑔:β„•βŸΆ(𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (π‘”β€˜1) = βŸ¨π‘›, π‘šβŸ© ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(π‘”β€˜π‘›)))) β†’ (π‘”β€˜1) = βŸ¨π‘›, π‘šβŸ©)
167 simpr3 1194 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ (𝑔:β„•βŸΆ(𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (π‘”β€˜1) = βŸ¨π‘›, π‘šβŸ© ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(π‘”β€˜π‘›)))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(π‘”β€˜π‘›)))
168 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘”β€˜(𝑛 + 1)) = (π‘”β€˜(π‘˜ + 1)))
169 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ 𝑛 = π‘˜)
170 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘”β€˜π‘›) = (π‘”β€˜π‘˜))
171169, 170oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛𝐹(π‘”β€˜π‘›)) = (π‘˜πΉ(π‘”β€˜π‘˜)))
172168, 171eleq12d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((π‘”β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(π‘”β€˜π‘›)) ↔ (π‘”β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ (π‘˜πΉ(π‘”β€˜π‘˜))))
173172cbvralvw 3232 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(π‘”β€˜π‘›)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘”β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ (π‘˜πΉ(π‘”β€˜π‘˜)))
174167, 173sylib 217 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ (𝑔:β„•βŸΆ(𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (π‘”β€˜1) = βŸ¨π‘›, π‘šβŸ© ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(π‘”β€˜π‘›)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘”β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ (π‘˜πΉ(π‘”β€˜π‘˜)))
1755, 161, 152, 162, 163, 164, 165, 166, 174bcthlem4 25075 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∧ π‘š ∈ ℝ+) ∧ (𝑔:β„•βŸΆ(𝑋 Γ— ℝ+) ∧ (π‘”β€˜1) = βŸ¨π‘›, π‘šβŸ© ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜(𝑛 + 1)) ∈ (𝑛𝐹(π‘”β€˜π‘›)))) β†’ ((𝑛(ballβ€˜π·)π‘š) βˆ– βˆͺ ran 𝑀) β‰  βˆ…)
176159, 175exlimddv 1936 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ ((𝑛(ballβ€˜π·)π‘š) βˆ– βˆͺ ran 𝑀) β‰  βˆ…)
17710ntrss2 22781 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ βˆͺ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) βŠ† βˆͺ ran 𝑀)
1787, 14, 177syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) βŠ† βˆͺ ran 𝑀)
179 sstr2 3988 . . . . . . . . . 10 ((𝑛(ballβ€˜π·)π‘š) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) βŠ† βˆͺ ran 𝑀 β†’ (𝑛(ballβ€˜π·)π‘š) βŠ† βˆͺ ran 𝑀))
180178, 179syl5com 31 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑛(ballβ€˜π·)π‘š) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) β†’ (𝑛(ballβ€˜π·)π‘š) βŠ† βˆͺ ran 𝑀))
181 ssdif0 4362 . . . . . . . . 9 ((𝑛(ballβ€˜π·)π‘š) βŠ† βˆͺ ran 𝑀 ↔ ((𝑛(ballβ€˜π·)π‘š) βˆ– βˆͺ ran 𝑀) = βˆ…)
182180, 181imbitrdi 250 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑛(ballβ€˜π·)π‘š) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) β†’ ((𝑛(ballβ€˜π·)π‘š) βˆ– βˆͺ ran 𝑀) = βˆ…))
183182necon3ad 2951 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝑛(ballβ€˜π·)π‘š) βˆ– βˆͺ ran 𝑀) β‰  βˆ… β†’ Β¬ (𝑛(ballβ€˜π·)π‘š) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀)))
1841833ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (((𝑛(ballβ€˜π·)π‘š) βˆ– βˆͺ ran 𝑀) β‰  βˆ… β†’ Β¬ (𝑛(ballβ€˜π·)π‘š) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀)))
185176, 184mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ Β¬ (𝑛(ballβ€˜π·)π‘š) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀))
1861853expa 1116 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀)) ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ Β¬ (𝑛(ballβ€˜π·)π‘š) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀))
187186nrexdv 3147 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀)) β†’ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ ℝ+ (𝑛(ballβ€˜π·)π‘š) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀))
18820, 187pm2.65da 813 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑛 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀))
189188eq0rdv 4403 1 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627  βŸ¨cop 4633  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  {copab 5209   Γ— cxp 5673  ran crn 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115  β„*cxr 11251   < clt 11252   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„+crp 12978  βˆžMetcxmet 21129  Metcmet 21130  ballcbl 21131  MetOpencmopn 21134  Topctop 22615  Clsdccld 22740  intcnt 22741  clsccl 22742  CMetccmet 25002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-dc 10443  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ico 13334  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lm 22953  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-cfil 25003  df-cau 25004  df-cmet 25005
This theorem is referenced by:  bcth  25077
  Copyright terms: Public domain W3C validator