MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ocnvfv2 6725
Description: The value of the converse value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfv2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)

Proof of Theorem f1ocnvfv2
StepHypRef Expression
1 f1ococnv2 6346 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
21fveq1d 6377 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
32adantr 472 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
4 f1ocnv 6332 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
5 f1of 6320 . . . 4 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹:𝐵𝐴)
64, 5syl 17 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵𝐴)
7 fvco3 6464 . . 3 ((𝐹:𝐵𝐴𝐶𝐵) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
86, 7sylan 575 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
9 fvresi 6632 . . 3 (𝐶𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
109adantl 473 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
113, 8, 103eqtr3d 2807 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155   I cid 5184  ccnv 5276  cres 5279  ccom 5281  wf 6064  1-1-ontowf1o 6067  cfv 6068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076
This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  6727  fveqf1o  6749  isocnv  6772  f1oiso2  6794  weniso  6796  ordiso2  8627  cantnfle  8783  cantnfp1lem3  8792  cantnflem1b  8798  cantnflem1d  8800  cantnflem1  8801  cnfcom2lem  8813  cnfcom2  8814  cnfcom3lem  8815  acndom2  9128  iunfictbso  9188  ttukeylem7  9590  fpwwe2lem6  9710  fpwwe2lem7  9711  uzrdglem  12964  uzrdgsuci  12967  fzennn  12975  axdc4uzlem  12990  seqf1olem1  13047  seqf1olem2  13048  hashfz1  13338  seqcoll  13449  seqcoll2  13450  summolem3  14732  summolem2a  14733  ackbijnn  14846  prodmolem3  14948  prodmolem2a  14949  sadcaddlem  15462  sadaddlem  15471  sadasslem  15475  sadeq  15477  phimullem  15765  eulerthlem2  15768  catcisolem  17023  mhmf1o  17613  ghmf1o  17956  f1omvdconj  18131  gsumval3eu  18571  gsumval3  18574  lmhmf1o  19318  fidomndrnglem  19580  basqtop  21794  tgqtop  21795  ordthmeolem  21884  symgtgp  22184  imasf1obl  22572  xrhmeo  23024  ovoliunlem2  23561  vitalilem2  23667  dvcnvlem  24030  dvcnv  24031  dvcnvre  24073  efif1olem4  24583  eff1olem  24586  eflog  24614  dvrelog  24674  dvlog  24688  asinrebnd  24919  sqff1o  25199  lgsqrlem4  25365  cnvmot  25727  f1otrg  26042  f1otrge  26043  axcontlem10  26144  usgrnbcnvfv  26545  wlkiswwlks2lem4  27062  clwlkclwwlklem2a4  27203  cnvunop  29168  unopadj  29169  bracnvbra  29363  abliso  30078  mndpluscn  30354  cvmfolem  31641  cvmliftlem6  31652  f1ocan1fv  33876  ismtycnv  33955  ismtyima  33956  ismtybndlem  33959  rngoisocnv  34134  lautcnvle  35977  lautcvr  35980  lautj  35981  lautm  35982  ltrncnvatb  36026  ltrncnvel  36030  ltrncnv  36034  ltrneq2  36036  cdlemg17h  36556  diainN  36945  diasslssN  36947  doca3N  37015  dihcnvid2  37161  dochocss  37254  mapdcnvid2  37545  rmxyval  38089  mgmhmf1o  42388
  Copyright terms: Public domain W3C validator