Theorem f1ocnvfv2 7275

Description: The value of the converse value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv2	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)) = 𝐶)

Proof of Theorem f1ocnvfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ococnv2 6861	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
2	1	fveq1d 6894	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
3	2	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
4		f1ocnv 6846	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
5		f1of 6834	. . . 4 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
7		fvco3 6991	. . 3 ⊢ ((◡𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)))
8	6, 7	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)))
9		fvresi 7171	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
10	9	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
11	3, 8, 10	3eqtr3d 2781	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   I cid 5574  ^◡ccnv 5676   ↾ cres 5679   ∘ ccom 5681  ⟶wf 6540  –1-1-onto→wf1o 6543  ‘cfv 6544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552

This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  7277  fveqf1o  7301  isocnv  7327  f1oiso2  7349  weniso  7351  dif1enlem  9156  dif1enlemOLD  9157  dif1en  9160  dif1enOLD  9162  ordiso2  9510  cantnfle  9666  cantnfp1lem3  9675  cantnflem1b  9681  cantnflem1d  9683  cantnflem1  9684  cnfcom2lem  9696  cnfcom2  9697  cnfcom3lem  9698  acndom2  10049  iunfictbso  10109  ttukeylem7  10510  fpwwe2lem5  10630  fpwwe2lem6  10631  uzrdglem  13922  uzrdgsuci  13925  fzennn  13933  axdc4uzlem  13948  seqf1olem1  14007  seqf1olem2  14008  hashfz1  14306  seqcoll  14425  seqcoll2  14426  summolem3  15660  summolem2a  15661  ackbijnn  15774  prodmolem3  15877  prodmolem2a  15878  sadcaddlem  16398  sadaddlem  16407  sadasslem  16411  sadeq  16413  phimullem  16712  eulerthlem2  16715  catcisolem  18060  mhmf1o  18682  ghmf1o  19122  f1omvdconj  19314  gsumval3eu  19772  gsumval3  19775  lmhmf1o  20657  fidomndrnglem  20925  basqtop  23215  tgqtop  23216  ordthmeolem  23305  symgtgp  23610  imasf1obl  23997  xrhmeo  24462  ovoliunlem2  25020  vitalilem2  25126  dvcnvlem  25493  dvcnv  25494  dvcnvre  25536  efif1olem4  26054  eff1olem  26057  eflog  26085  dvrelog  26145  dvlog  26159  asinrebnd  26406  sqff1o  26686  lgsqrlem4  26852  cnvmot  27792  f1otrg  28122  f1otrge  28123  axcontlem10  28231  usgrnbcnvfv  28622  wlkiswwlks2lem4  29126  clwlkclwwlklem2a4  29250  cnvunop  31171  unopadj  31172  bracnvbra  31366  abliso  32197  cycpmco2lem4  32288  cycpmco2lem5  32289  cycpmco2lem6  32290  cycpmco2lem7  32291  cycpmco2  32292  mndpluscn  32906  cvmfolem  34270  cvmliftlem6  34281  f1ocan1fv  36594  ismtycnv  36670  ismtyima  36671  ismtybndlem  36674  rngoisocnv  36849  lautcnvle  38960  lautcvr  38963  lautj  38964  lautm  38965  ltrncnvatb  39009  ltrncnvel  39013  ltrncnv  39017  ltrneq2  39019  cdlemg17h  39539  diainN  39928  diasslssN  39930  doca3N  39998  dihcnvid2  40144  dochocss  40237  mapdcnvid2  40528  sticksstones19  40981  rmxyval  41654  isomgrsym  46504  mgmhmf1o  46557  rngisom1  46718