MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ocnvfv2 7224
Description: The value of the converse value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfv2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)

Proof of Theorem f1ocnvfv2
StepHypRef Expression
1 f1ococnv2 6812 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
21fveq1d 6845 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
32adantr 482 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
4 f1ocnv 6797 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
5 f1of 6785 . . . 4 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹:𝐵𝐴)
64, 5syl 17 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵𝐴)
7 fvco3 6941 . . 3 ((𝐹:𝐵𝐴𝐶𝐵) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
86, 7sylan 581 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
9 fvresi 7120 . . 3 (𝐶𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
109adantl 483 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
113, 8, 103eqtr3d 2781 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107   I cid 5531  ccnv 5633  cres 5636  ccom 5638  wf 6493  1-1-ontowf1o 6496  cfv 6497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505
This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  7226  fveqf1o  7250  isocnv  7276  f1oiso2  7298  weniso  7300  dif1enlem  9103  dif1enlemOLD  9104  dif1en  9107  dif1enOLD  9109  ordiso2  9456  cantnfle  9612  cantnfp1lem3  9621  cantnflem1b  9627  cantnflem1d  9629  cantnflem1  9630  cnfcom2lem  9642  cnfcom2  9643  cnfcom3lem  9644  acndom2  9995  iunfictbso  10055  ttukeylem7  10456  fpwwe2lem5  10576  fpwwe2lem6  10577  uzrdglem  13868  uzrdgsuci  13871  fzennn  13879  axdc4uzlem  13894  seqf1olem1  13953  seqf1olem2  13954  hashfz1  14252  seqcoll  14369  seqcoll2  14370  summolem3  15604  summolem2a  15605  ackbijnn  15718  prodmolem3  15821  prodmolem2a  15822  sadcaddlem  16342  sadaddlem  16351  sadasslem  16355  sadeq  16357  phimullem  16656  eulerthlem2  16659  catcisolem  18001  mhmf1o  18617  ghmf1o  19043  f1omvdconj  19233  gsumval3eu  19686  gsumval3  19689  lmhmf1o  20522  fidomndrnglem  20793  basqtop  23078  tgqtop  23079  ordthmeolem  23168  symgtgp  23473  imasf1obl  23860  xrhmeo  24325  ovoliunlem2  24883  vitalilem2  24989  dvcnvlem  25356  dvcnv  25357  dvcnvre  25399  efif1olem4  25917  eff1olem  25920  eflog  25948  dvrelog  26008  dvlog  26022  asinrebnd  26267  sqff1o  26547  lgsqrlem4  26713  cnvmot  27525  f1otrg  27855  f1otrge  27856  axcontlem10  27964  usgrnbcnvfv  28355  wlkiswwlks2lem4  28859  clwlkclwwlklem2a4  28983  cnvunop  30902  unopadj  30903  bracnvbra  31097  abliso  31936  cycpmco2lem4  32027  cycpmco2lem5  32028  cycpmco2lem6  32029  cycpmco2lem7  32030  cycpmco2  32031  mndpluscn  32564  cvmfolem  33930  cvmliftlem6  33941  f1ocan1fv  36231  ismtycnv  36307  ismtyima  36308  ismtybndlem  36311  rngoisocnv  36486  lautcnvle  38598  lautcvr  38601  lautj  38602  lautm  38603  ltrncnvatb  38647  ltrncnvel  38651  ltrncnv  38655  ltrneq2  38657  cdlemg17h  39177  diainN  39566  diasslssN  39568  doca3N  39636  dihcnvid2  39782  dochocss  39875  mapdcnvid2  40166  sticksstones19  40619  rmxyval  41282  isomgrsym  46114  mgmhmf1o  46167
  Copyright terms: Public domain W3C validator