MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ocnvfv2 6899
Description: The value of the converse value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfv2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)

Proof of Theorem f1ocnvfv2
StepHypRef Expression
1 f1ococnv2 6509 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
21fveq1d 6540 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
32adantr 481 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
4 f1ocnv 6495 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
5 f1of 6483 . . . 4 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹:𝐵𝐴)
64, 5syl 17 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵𝐴)
7 fvco3 6627 . . 3 ((𝐹:𝐵𝐴𝐶𝐵) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
86, 7sylan 580 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
9 fvresi 6798 . . 3 (𝐶𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
109adantl 482 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
113, 8, 103eqtr3d 2839 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081   I cid 5347  ccnv 5442  cres 5445  ccom 5447  wf 6221  1-1-ontowf1o 6224  cfv 6225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233
This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  6901  fveqf1o  6923  isocnv  6946  f1oiso2  6968  weniso  6970  ordiso2  8825  cantnfle  8980  cantnfp1lem3  8989  cantnflem1b  8995  cantnflem1d  8997  cantnflem1  8998  cnfcom2lem  9010  cnfcom2  9011  cnfcom3lem  9012  acndom2  9326  iunfictbso  9386  ttukeylem7  9783  fpwwe2lem6  9903  fpwwe2lem7  9904  uzrdglem  13175  uzrdgsuci  13178  fzennn  13186  axdc4uzlem  13201  seqf1olem1  13259  seqf1olem2  13260  hashfz1  13556  seqcoll  13670  seqcoll2  13671  summolem3  14904  summolem2a  14905  ackbijnn  15016  prodmolem3  15120  prodmolem2a  15121  sadcaddlem  15639  sadaddlem  15648  sadasslem  15652  sadeq  15654  phimullem  15945  eulerthlem2  15948  catcisolem  17195  mhmf1o  17784  ghmf1o  18129  f1omvdconj  18305  gsumval3eu  18745  gsumval3  18748  lmhmf1o  19508  fidomndrnglem  19768  basqtop  22003  tgqtop  22004  ordthmeolem  22093  symgtgp  22393  imasf1obl  22781  xrhmeo  23233  ovoliunlem2  23787  vitalilem2  23893  dvcnvlem  24256  dvcnv  24257  dvcnvre  24299  efif1olem4  24810  eff1olem  24813  eflog  24841  dvrelog  24901  dvlog  24915  asinrebnd  25160  sqff1o  25441  lgsqrlem4  25607  cnvmot  26009  f1otrg  26340  f1otrge  26341  axcontlem10  26442  usgrnbcnvfv  26830  wlkiswwlks2lem4  27337  clwlkclwwlklem2a4  27462  cnvunop  29386  unopadj  29387  bracnvbra  29581  abliso  30357  mndpluscn  30786  cvmfolem  32135  cvmliftlem6  32146  f1ocan1fv  34552  ismtycnv  34631  ismtyima  34632  ismtybndlem  34635  rngoisocnv  34810  lautcnvle  36775  lautcvr  36778  lautj  36779  lautm  36780  ltrncnvatb  36824  ltrncnvel  36828  ltrncnv  36832  ltrneq2  36834  cdlemg17h  37354  diainN  37743  diasslssN  37745  doca3N  37813  dihcnvid2  37959  dochocss  38052  mapdcnvid2  38343  rmxyval  39016  isomgrsym  43503  mgmhmf1o  43556
  Copyright terms: Public domain W3C validator