Theorem f1ocnvfv2 7313

Description: The value of the converse value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv2	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)) = 𝐶)

Proof of Theorem f1ocnvfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ococnv2 6889	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
2	1	fveq1d 6922	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
4		f1ocnv 6874	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
5		f1of 6862	. . . 4 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
7		fvco3 7021	. . 3 ⊢ ((◡𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)))
8	6, 7	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)))
9		fvresi 7207	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
11	3, 8, 10	3eqtr3d 2788	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   I cid 5592  ^◡ccnv 5699   ↾ cres 5702   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581

This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  7315  fveqf1o  7338  isocnv  7366  f1oiso2  7388  weniso  7390  dif1enlem  9222  dif1enlemOLD  9223  dif1en  9226  dif1enOLD  9228  ordiso2  9584  cantnfle  9740  cantnfp1lem3  9749  cantnflem1b  9755  cantnflem1d  9757  cantnflem1  9758  cnfcom2lem  9770  cnfcom2  9771  cnfcom3lem  9772  acndom2  10123  iunfictbso  10183  ttukeylem7  10584  fpwwe2lem5  10704  fpwwe2lem6  10705  uzrdglem  14008  uzrdgsuci  14011  fzennn  14019  axdc4uzlem  14034  seqf1olem1  14092  seqf1olem2  14093  hashfz1  14395  seqcoll  14513  seqcoll2  14514  summolem3  15762  summolem2a  15763  ackbijnn  15876  prodmolem3  15981  prodmolem2a  15982  sadcaddlem  16503  sadaddlem  16512  sadasslem  16516  sadeq  16518  phimullem  16826  eulerthlem2  16829  catcisolem  18177  mgmhmf1o  18738  mhmf1o  18831  ghmf1o  19288  f1omvdconj  19488  gsumval3eu  19946  gsumval3  19949  rngisom1  20492  fidomndrnglem  20795  lmhmf1o  21068  basqtop  23740  tgqtop  23741  ordthmeolem  23830  symgtgp  24135  imasf1obl  24522  xrhmeo  24996  ovoliunlem2  25557  vitalilem2  25663  dvcnvlem  26034  dvcnv  26035  dvcnvre  26078  efif1olem4  26605  eff1olem  26608  eflog  26636  dvrelog  26697  dvlog  26711  asinrebnd  26962  sqff1o  27243  lgsqrlem4  27411  noseqrdglem  28329  noseqrdgsuc  28332  cnvmot  28567  f1otrg  28897  f1otrge  28898  axcontlem10  29006  usgrnbcnvfv  29400  wlkiswwlks2lem4  29905  clwlkclwwlklem2a4  30029  cnvunop  31950  unopadj  31951  bracnvbra  32145  ccatws1f1o  32918  mndlactf1o  33016  mndractf1o  33017  abliso  33022  cycpmco2lem4  33122  cycpmco2lem5  33123  cycpmco2lem6  33124  cycpmco2lem7  33125  cycpmco2  33126  mndpluscn  33872  cvmfolem  35247  cvmliftlem6  35258  f1ocan1fv  37686  ismtycnv  37762  ismtyima  37763  ismtybndlem  37766  rngoisocnv  37941  lautcnvle  40046  lautcvr  40049  lautj  40050  lautm  40051  ltrncnvatb  40095  ltrncnvel  40099  ltrncnv  40103  ltrneq2  40105  cdlemg17h  40625  diainN  41014  diasslssN  41016  doca3N  41084  dihcnvid2  41230  dochocss  41323  mapdcnvid2  41614  sticksstones19  42122  rmxyval  42872  isuspgrim0lem  47755  isuspgrim0  47756  uhgrimisgrgriclem  47782  clnbgrgrimlem  47785  uspgrlimlem1  47812  uspgrlimlem2  47813  uspgrlimlem3  47814  uspgrlimlem4  47815  grlicsym  47830