Theorem f1ocnvfv2 7273

Description: The value of the converse value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv2	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)) = 𝐶)

Proof of Theorem f1ocnvfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ococnv2 6846	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
2	1	fveq1d 6881	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
3	2	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
4		f1ocnv 6831	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
5		f1of 6818	. . . 4 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
7		fvco3 6979	. . 3 ⊢ ((◡𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)))
8	6, 7	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)))
9		fvresi 7169	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
10	9	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
11	3, 8, 10	3eqtr3d 2812	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   I cid 5553  ^◡ccnv 5658   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6530  –1-1-onto→wf1o 6533  ‘cfv 6534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542

This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  7275  fveqf1o  7298  isocnv  7326  f1oiso2  7348  weniso  7350  dif1enlem  9140  dif1en  9142  ordiso2  9473  cantnfle  9636  cantnfp1lem3  9645  cantnflem1b  9651  cantnflem1d  9653  cantnflem1  9654  cnfcom2lem  9666  cnfcom2  9667  cnfcom3lem  9668  acndom2  10034  iunfictbso  10094  ttukeylem7  10495  fpwwe2lem5  10616  fpwwe2lem6  10617  uzrdglem  13989  uzrdgsuci  13992  fzennn  14000  axdc4uzlem  14015  seqf1olem1  14073  seqf1olem2  14074  hashfz1  14378  seqcoll  14497  seqcoll2  14498  summolem3  15761  summolem2a  15762  ackbijnn  15878  prodmolem3  15983  prodmolem2a  15984  sadcaddlem  16511  sadaddlem  16520  sadasslem  16524  sadeq  16526  phimullem  16834  eulerthlem2  16837  catcisolem  18163  mgmhmf1o  18754  mhmf1o  18850  ghmf1o  19314  f1omvdconj  19512  gsumval3eu  19970  gsumval3  19973  rngisom1  20544  fidomndrnglem  20850  lmhmf1o  21141  basqtop  23833  tgqtop  23834  ordthmeolem  23923  symgtgp  24228  imasf1obl  24610  xrhmeo  25070  ovoliunlem2  25627  vitalilem2  25733  dvcnvlem  26100  dvcnv  26101  dvcnvre  26143  efif1olem4  26672  eff1olem  26675  eflog  26703  dvrelog  26764  dvlog  26778  asinrebnd  27028  sqff1o  27308  lgsqrlem4  27475  addonbday  28434  noseqrdglem  28460  noseqrdgsuc  28463  bdayfinlem  28641  cnvmot  28772  f1otrg  29157  f1otrge  29158  axcontlem10  29260  usgrnbcnvfv  29652  wlkiswwlks2lem4  30158  clwlkclwwlklem2a4  30285  cnvunop  32207  unopadj  32208  bracnvbra  32402  ccatws1f1o  33208  mndlactf1o  33287  mndractf1o  33288  abliso  33292  cycpmco2lem4  33386  cycpmco2lem5  33387  cycpmco2lem6  33388  cycpmco2lem7  33389  cycpmco2  33390  mndpluscn  34257  vonf1oonfo  35494  cvmfolem  35666  cvmliftlem6  35677  f1ocan1fv  38260  ismtycnv  38336  ismtyima  38337  ismtybndlem  38340  rngoisocnv  38515  lautcnvle  40748  lautcvr  40751  lautj  40752  lautm  40753  ltrncnvatb  40797  ltrncnvel  40801  ltrncnv  40805  ltrneq2  40807  cdlemg17h  41327  diainN  41716  diasslssN  41718  doca3N  41786  dihcnvid2  41932  dochocss  42025  mapdcnvid2  42316  sticksstones19  42817  rmxyval  43529  brpermmodelcnv  45600  permaxrep  45602  isuspgrim0lem  48542  isuspgrim0  48543  upgrimwlklem3  48548  uhgrimisgrgriclem  48579  clnbgrgrimlem  48582  uspgrlimlem1  48637  uspgrlimlem2  48638  uspgrlimlem3  48639  uspgrlimlem4  48640  grlicsym  48662  imaf1homlem  49765  uptrar  49874