Theorem f1ocnvfv2 7297

Description: The value of the converse value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv2	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)) = 𝐶)

Proof of Theorem f1ocnvfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ococnv2 6875	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐹 ∘ ◡𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
2	1	fveq1d 6908	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐵)‘𝐶))
4		f1ocnv 6860	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
5		f1of 6848	. . . 4 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐴)
7		fvco3 7008	. . 3 ⊢ ((◡𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)))
8	6, 7	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘ ◡𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)))
9		fvresi 7193	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (( I ↾ 𝐵)‘𝐶) = 𝐶)
11	3, 8, 10	3eqtr3d 2785	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝐶)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   I cid 5577  ^◡ccnv 5684   ↾ cres 5687   ∘ ccom 5689  ⟶wf 6557  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569

This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  7299  fveqf1o  7322  isocnv  7350  f1oiso2  7372  weniso  7374  dif1enlem  9196  dif1enlemOLD  9197  dif1en  9200  dif1enOLD  9202  ordiso2  9555  cantnfle  9711  cantnfp1lem3  9720  cantnflem1b  9726  cantnflem1d  9728  cantnflem1  9729  cnfcom2lem  9741  cnfcom2  9742  cnfcom3lem  9743  acndom2  10094  iunfictbso  10154  ttukeylem7  10555  fpwwe2lem5  10675  fpwwe2lem6  10676  uzrdglem  13998  uzrdgsuci  14001  fzennn  14009  axdc4uzlem  14024  seqf1olem1  14082  seqf1olem2  14083  hashfz1  14385  seqcoll  14503  seqcoll2  14504  summolem3  15750  summolem2a  15751  ackbijnn  15864  prodmolem3  15969  prodmolem2a  15970  sadcaddlem  16494  sadaddlem  16503  sadasslem  16507  sadeq  16509  phimullem  16816  eulerthlem2  16819  catcisolem  18155  mgmhmf1o  18713  mhmf1o  18809  ghmf1o  19266  f1omvdconj  19464  gsumval3eu  19922  gsumval3  19925  rngisom1  20466  fidomndrnglem  20773  lmhmf1o  21045  basqtop  23719  tgqtop  23720  ordthmeolem  23809  symgtgp  24114  imasf1obl  24501  xrhmeo  24977  ovoliunlem2  25538  vitalilem2  25644  dvcnvlem  26014  dvcnv  26015  dvcnvre  26058  efif1olem4  26587  eff1olem  26590  eflog  26618  dvrelog  26679  dvlog  26693  asinrebnd  26944  sqff1o  27225  lgsqrlem4  27393  noseqrdglem  28311  noseqrdgsuc  28314  cnvmot  28549  f1otrg  28879  f1otrge  28880  axcontlem10  28988  usgrnbcnvfv  29382  wlkiswwlks2lem4  29892  clwlkclwwlklem2a4  30016  cnvunop  31937  unopadj  31938  bracnvbra  32132  ccatws1f1o  32936  mndlactf1o  33035  mndractf1o  33036  abliso  33041  cycpmco2lem4  33149  cycpmco2lem5  33150  cycpmco2lem6  33151  cycpmco2lem7  33152  cycpmco2  33153  mndpluscn  33925  cvmfolem  35284  cvmliftlem6  35295  f1ocan1fv  37733  ismtycnv  37809  ismtyima  37810  ismtybndlem  37813  rngoisocnv  37988  lautcnvle  40091  lautcvr  40094  lautj  40095  lautm  40096  ltrncnvatb  40140  ltrncnvel  40144  ltrncnv  40148  ltrneq2  40150  cdlemg17h  40670  diainN  41059  diasslssN  41061  doca3N  41129  dihcnvid2  41275  dochocss  41368  mapdcnvid2  41659  sticksstones19  42166  rmxyval  42927  isuspgrim0lem  47871  isuspgrim0  47872  uhgrimisgrgriclem  47898  clnbgrgrimlem  47901  uspgrlimlem1  47955  uspgrlimlem2  47956  uspgrlimlem3  47957  uspgrlimlem4  47958  grlicsym  47973