Theorem nnsdomg 8623

Description: Omega strictly dominates a natural number. Example 3 of [Enderton] p. 146. In order to avoid the Axiom of infinity, we include it as a hypothesis. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
nnsdomg	⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ≺ ω)

Proof of Theorem nnsdomg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdomg 8403	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ⊆ ω → 𝐴 ≼ ω))
2		ordom 7445	. . . 4 ⊢ Ord ω
3		ordelss 6082	. . . 4 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
4	2, 3	mpan 686	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
5	1, 4	impel 506	. 2 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ≼ ω)
6		ominf 8576	. . . 4 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
7		ensym 8406	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ ω → ω ≈ 𝐴)
8		breq2 4966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (ω ≈ 𝑥 ↔ ω ≈ 𝐴))
9	8	rspcev 3559	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥)
10		isfi 8381	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥)
11	9, 10	sylibr 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝐴) → ω ∈ Fin)
12	11	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (ω ≈ 𝐴 → ω ∈ Fin))
13	7, 12	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≈ ω → ω ∈ Fin))
14	6, 13	mtoi 200	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ≈ ω)
15	14	adantl 482	. 2 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → ¬ 𝐴 ≈ ω)
16		brsdom 8380	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ ω ↔ (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≈ ω))
17	5, 15, 16	sylanbrc 583	1 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ≺ ω)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2081  ∃wrex 3106  Vcvv 3437   ⊆ wss 3859   class class class wbr 4962  Ord word 6065  ωcom 7436   ≈ cen 8354   ≼ cdom 8355   ≺ csdm 8356  Fincfn 8357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-om 7437  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361

This theorem is referenced by:  isfiniteg  8624  infsdomnn  8625  nnsdom  8963