Theorem nnsdomg 9299

Description: Omega strictly dominates a natural number. Example 3 of [Enderton] p. 146. In order to avoid the Axiom of Infinity, we include it as part of the antecedent. See nnsdom 9662 for the version without this sethood requirement. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.) Avoid ax-pow 5327. (Revised by BTernaryTau, 7-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nnsdomg	⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ≺ ω)

Proof of Theorem nnsdomg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7891	. . . . . 6 ⊢ Ord ω
2		ordelss 6381	. . . . . 6 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
3	1, 2	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ V) → 𝐴 ⊆ ω)
5		nnfi 9191	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
6		ssdomfi2 9220	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ω ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ω) → 𝐴 ≼ ω)
7	5, 6	syl3an1 1181	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ω) → 𝐴 ≼ ω)
8	4, 7	mpd3an3 1491	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ V) → 𝐴 ≼ ω)
9	8	ancoms 464	. 2 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ≼ ω)
10		ominf 9263	. . . 4 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
11		ensymfib 9207	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ ω ↔ ω ≈ 𝐴))
12	5, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≈ ω ↔ ω ≈ 𝐴))
13		breq2 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (ω ≈ 𝑥 ↔ ω ≈ 𝐴))
14	13	rspcev 3576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥)
15		isfi 9010	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥)
16	14, 15	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝐴) → ω ∈ Fin)
17	16	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (ω ≈ 𝐴 → ω ∈ Fin))
18	12, 17	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≈ ω → ω ∈ Fin))
19	10, 18	mtoi 202	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ≈ ω)
20	19	adantl 487	. 2 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → ¬ 𝐴 ≈ ω)
21		brsdom 9009	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ ω ↔ (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≈ ω))
22	9, 20, 21	sylanbrc 595	1 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ≺ ω)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   class class class wbr 5102  Ord word 6364  ωcom 7881   ≈ cen 8978   ≼ cdom 8979   ≺ csdm 8980  Fincfn 8981

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7882  df-1o 8484  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985

This theorem is used by:  isfiniteg  9300  infsdomnn  9301  nnsdom  9662