Theorem nnsdomg 9003

Description: Omega strictly dominates a natural number. Example 3 of [Enderton] p. 146. In order to avoid the Axiom of infinity, we include it as a hypothesis. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
nnsdomg	⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ≺ ω)

Proof of Theorem nnsdomg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdomg 8741	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ⊆ ω → 𝐴 ≼ ω))
2		ordom 7697	. . . 4 ⊢ Ord ω
3		ordelss 6267	. . . 4 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
4	2, 3	mpan 686	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
5	1, 4	impel 505	. 2 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ≼ ω)
6		ominf 8964	. . . 4 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
7		ensym 8744	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ ω → ω ≈ 𝐴)
8		breq2 5074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (ω ≈ 𝑥 ↔ ω ≈ 𝐴))
9	8	rspcev 3552	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥)
10		isfi 8719	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥)
11	9, 10	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝐴) → ω ∈ Fin)
12	11	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (ω ≈ 𝐴 → ω ∈ Fin))
13	7, 12	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≈ ω → ω ∈ Fin))
14	6, 13	mtoi 198	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ≈ ω)
15	14	adantl 481	. 2 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → ¬ 𝐴 ≈ ω)
16		brsdom 8718	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ ω ↔ (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≈ ω))
17	5, 15, 16	sylanbrc 582	1 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ≺ ω)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  Ord word 6250  ωcom 7687   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689   ≺ csdm 8690  Fincfn 8691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-om 7688  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695

This theorem is referenced by:  isfiniteg  9004  infsdomnn  9005  nnsdom  9342