Theorem domsdomtr 9107

Description: Transitivity of dominance and strict dominance. Theorem 22(ii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domsdomtr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem domsdomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8971	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 8998	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
4		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐵 ≺ 𝐶)
5		ensym 8994	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐶 → 𝐶 ≈ 𝐴)
6		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐵)
7		endomtr 9003	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ≼ 𝐵)
8	5, 6, 7	syl2anr 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐶 ≼ 𝐵)
9		domnsym 9094	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶)
11	10	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → (𝐴 ≈ 𝐶 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶))
12	4, 11	mt2d 136	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶)
13		brsdom 8966	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐶 ↔ (𝐴 ≼ 𝐶 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
14	3, 12, 13	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5138   ≈ cen 8931   ≼ cdom 8932   ≺ csdm 8933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937

This theorem is referenced by:  ensdomtr  9108  sdomtr  9110  2pwuninel  9127  card2on  9544  tskwe  9940  harval2  9987  prdom2  9996  infxpenlem  10003  alephsucdom  10069  pwsdompw  10194  infunsdom1  10203  fin34  10380  ondomon  10553  cardmin  10554  konigthlem  10558  gchpwdom  10660  gchina  10689  inar1  10765  tskord  10770  tskuni  10773  tskurn  10779  csdfil  23708  ctbssinf  36743  pibt2  36754