MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domsdomtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domsdomtr 8640
Description: Transitivity of dominance and strict dominance. Theorem 22(ii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
domsdomtr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem domsdomtr
StepHypRef Expression
1 sdomdom 8524 . . 3 (𝐵𝐶𝐵𝐶)
2 domtr 8549 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan2 595 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
4 simpr 488 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
5 ensym 8545 . . . . . 6 (𝐴𝐶𝐶𝐴)
6 simpl 486 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐵)
7 endomtr 8554 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
85, 6, 7syl2anr 599 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶𝐵)
9 domnsym 8631 . . . . 5 (𝐶𝐵 → ¬ 𝐵𝐶)
108, 9syl 17 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → ¬ 𝐵𝐶)
1110ex 416 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → (𝐴𝐶 → ¬ 𝐵𝐶))
124, 11mt2d 138 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → ¬ 𝐴𝐶)
13 brsdom 8519 . 2 (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐶 ∧ ¬ 𝐴𝐶))
143, 12, 13sylanbrc 586 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   class class class wbr 5033  cen 8493  cdom 8494  csdm 8495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499
This theorem is referenced by:  ensdomtr  8641  sdomtr  8643  2pwuninel  8660  card2on  9006  tskwe  9367  harval2  9414  prdom2  9421  infxpenlem  9428  alephsucdom  9494  pwsdompw  9619  infunsdom1  9628  fin34  9805  ondomon  9978  cardmin  9979  konigthlem  9983  gchpwdom  10085  gchina  10114  inar1  10190  tskord  10195  tskuni  10198  tskurn  10204  csdfil  22502  ctbssinf  34818  pibt2  34829
  Copyright terms: Public domain W3C validator