Theorem domsdomtr 9098

Description: Transitivity of dominance and strict dominance. Theorem 22(ii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domsdomtr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem domsdomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8975	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 9002	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 604	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
4		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐵 ≺ 𝐶)
5		ensym 8998	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐶 → 𝐶 ≈ 𝐴)
6		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐵)
7		endomtr 9007	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ≼ 𝐵)
8	5, 6, 7	syl2anr 608	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐶 ≼ 𝐵)
9		domnsym 9089	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶)
11	10	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → (𝐴 ≈ 𝐶 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶))
12	4, 11	mt2d 137	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶)
13		brsdom 8969	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐶 ↔ (𝐴 ≼ 𝐶 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
14	3, 12, 13	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   class class class wbr 5108   ≈ cen 8938   ≼ cdom 8939   ≺ csdm 8940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944

This theorem is used by:  ensdomtr  9099  sdomtr  9101  2pwuninel  9118  card2on  9514  tskwe  9943  harval2  9990  prdom2  9997  infxpenlem  10004  alephsucdom  10070  pwsdompw  10193  infunsdom1  10202  fin34  10380  ondomon  10553  cardmin  10554  konigthlem  10559  gchpwdom  10661  gchina  10690  inar1  10766  tskord  10771  tskuni  10774  tskurn  10780  csdfil  24062  ctbssinf  38080  pibt2  38091