Theorem domsdomtr 9040

Description: Transitivity of dominance and strict dominance. Theorem 22(ii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domsdomtr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem domsdomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8917	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 8944	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
4		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐵 ≺ 𝐶)
5		ensym 8940	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐶 → 𝐶 ≈ 𝐴)
6		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐵)
7		endomtr 8949	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ≼ 𝐵)
8	5, 6, 7	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐶 ≼ 𝐵)
9		domnsym 9031	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶)
11	10	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → (𝐴 ≈ 𝐶 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶))
12	4, 11	mt2d 136	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶)
13		brsdom 8911	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐶 ↔ (𝐴 ≼ 𝐶 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
14	3, 12, 13	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5098   ≈ cen 8880   ≼ cdom 8881   ≺ csdm 8882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886

This theorem is referenced by:  ensdomtr  9041  sdomtr  9043  2pwuninel  9060  card2on  9459  tskwe  9862  harval2  9909  prdom2  9916  infxpenlem  9923  alephsucdom  9989  pwsdompw  10113  infunsdom1  10122  fin34  10300  ondomon  10473  cardmin  10474  konigthlem  10479  gchpwdom  10581  gchina  10610  inar1  10686  tskord  10691  tskuni  10694  tskurn  10700  csdfil  23838  ctbssinf  37611  pibt2  37622