Theorem domsdomtr 9113

Description: Transitivity of dominance and strict dominance. Theorem 22(ii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domsdomtr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem domsdomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8989	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 9016	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
4		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐵 ≺ 𝐶)
5		ensym 9012	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐶 → 𝐶 ≈ 𝐴)
6		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐵)
7		endomtr 9021	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ≼ 𝐵)
8	5, 6, 7	syl2anr 609	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐶 ≼ 𝐵)
9		domnsym 9104	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶)
11	10	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → (𝐴 ≈ 𝐶 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶))
12	4, 11	mt2d 137	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶)
13		brsdom 8983	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐶 ↔ (𝐴 ≼ 𝐶 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
14	3, 12, 13	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   class class class wbr 5107   ≈ cen 8952   ≼ cdom 8953   ≺ csdm 8954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958

This theorem is used by:  ensdomtr  9114  sdomtr  9116  2pwuninel  9133  card2on  9529  tskwe  9958  harval2  10005  prdom2  10012  infxpenlem  10019  alephsucdom  10085  pwsdompw  10208  infunsdom1  10217  fin34  10395  ondomon  10574  cardmin  10575  konigthlem  10580  gchpwdom  10682  gchina  10711  inar1  10787  tskord  10792  tskuni  10795  tskurn  10801  csdfil  24121  ctbssinf  38147  pibt2  38158