Theorem domsdomtr 9110

Description: Transitivity of dominance and strict dominance. Theorem 22(ii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domsdomtr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem domsdomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8986	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 9013	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
4		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐵 ≺ 𝐶)
5		ensym 9009	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐶 → 𝐶 ≈ 𝐴)
6		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐵)
7		endomtr 9018	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ≼ 𝐵)
8	5, 6, 7	syl2anr 609	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐶 ≼ 𝐵)
9		domnsym 9101	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶)
11	10	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → (𝐴 ≈ 𝐶 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶))
12	4, 11	mt2d 137	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶)
13		brsdom 8980	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐶 ↔ (𝐴 ≼ 𝐶 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
14	3, 12, 13	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   class class class wbr 5103   ≈ cen 8949   ≼ cdom 8950   ≺ csdm 8951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955

This theorem is used by:  ensdomtr  9111  sdomtr  9113  2pwuninel  9130  card2on  9526  tskwe  9988  harval2  10035  prdom2  10042  infxpenlem  10049  alephsucdom  10115  pwsdompw  10238  infunsdom1  10247  fin34  10425  ondomon  10604  cardmin  10605  konigthlem  10610  gchpwdom  10712  gchina  10741  inar1  10817  tskord  10822  tskuni  10825  tskurn  10831  csdfil  24160  ctbssinf  38243  pibt2  38254