Theorem iscard5 43892

Description: Two ways to express the property of being a cardinal number. (Contributed by RP, 8-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
iscard5	⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ≈ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem iscard5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscard 9899	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))
2		sdomnen 8930	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≺ 𝐴 → ¬ 𝑥 ≈ 𝐴)
3		onelss 6367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
4		ssdomg 8949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ≼ 𝐴))
5	3, 4	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ≼ 𝐴))
6	5	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≼ 𝐴)
7		brsdom 8923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≺ 𝐴 ↔ (𝑥 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ≈ 𝐴))
8	7	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ≈ 𝐴) → 𝑥 ≺ 𝐴)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ≈ 𝐴) → 𝑥 ≺ 𝐴))
10	6, 9	mpand 696	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑥 ≈ 𝐴 → 𝑥 ≺ 𝐴))
11	2, 10	impbid2 226	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≺ 𝐴 ↔ ¬ 𝑥 ≈ 𝐴))
12	11	ralbidva 3159	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ≈ 𝐴))
13	12	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ≈ 𝐴))
14	1, 13	bitri 275	1 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ≈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  Oncon0 6325  ‘cfv 6500   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893   ≺ csdm 8894  cardccrd 9859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-card 9863

This theorem is referenced by:  elrncard  43893