Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iscard5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscard5 40237
Description: Two ways to express the property of being a cardinal number. (Contributed by RP, 8-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
iscard5 ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem iscard5
StepHypRef Expression
1 iscard 9388 . 2 ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐴))
2 sdomnen 8521 . . . . 5 (𝑥𝐴 → ¬ 𝑥𝐴)
3 onelss 6201 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ On → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
4 ssdomg 8538 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ On → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
53, 4syld 47 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
65imp 410 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
7 brsdom 8515 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐴))
87biimpri 231 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴))
106, 9mpand 694 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 𝑥𝐴𝑥𝐴))
112, 10impbid2 229 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐴 ↔ ¬ 𝑥𝐴))
1211ralbidva 3161 . . 3 (𝐴 ∈ On → (∀𝑥𝐴 𝑥𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝐴))
1312pm5.32i 578 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐴) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝐴))
141, 13bitri 278 1 ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wral 3106  wss 3881   class class class wbr 5030  Oncon0 6159  cfv 6324  cen 8489  cdom 8490  csdm 8491  cardccrd 9348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-card 9352
This theorem is referenced by:  elrncard  40238
  Copyright terms: Public domain W3C validator