Theorem iscard5 43525

Description: Two ways to express the property of being a cardinal number. (Contributed by RP, 8-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
iscard5	⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ≈ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem iscard5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscard 9928	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))
2		sdomnen 8952	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≺ 𝐴 → ¬ 𝑥 ≈ 𝐴)
3		onelss 6374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
4		ssdomg 8971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ≼ 𝐴))
5	3, 4	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ≼ 𝐴))
6	5	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≼ 𝐴)
7		brsdom 8946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≺ 𝐴 ↔ (𝑥 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ≈ 𝐴))
8	7	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ≈ 𝐴) → 𝑥 ≺ 𝐴)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ≈ 𝐴) → 𝑥 ≺ 𝐴))
10	6, 9	mpand 695	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑥 ≈ 𝐴 → 𝑥 ≺ 𝐴))
11	2, 10	impbid2 226	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≺ 𝐴 ↔ ¬ 𝑥 ≈ 𝐴))
12	11	ralbidva 3154	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ≈ 𝐴))
13	12	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ≈ 𝐴))
14	1, 13	bitri 275	1 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ≈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  Oncon0 6332  ‘cfv 6511   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916   ≺ csdm 8917  cardccrd 9888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-card 9892

This theorem is referenced by:  elrncard  43526