Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iscard5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscard5 41815
Description: Two ways to express the property of being a cardinal number. (Contributed by RP, 8-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
iscard5 ((cardβ€˜π΄) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ β‰ˆ 𝐴))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴

Proof of Theorem iscard5
StepHypRef Expression
1 iscard 9912 . 2 ((cardβ€˜π΄) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ β‰Ί 𝐴))
2 sdomnen 8922 . . . . 5 (π‘₯ β‰Ί 𝐴 β†’ Β¬ π‘₯ β‰ˆ 𝐴)
3 onelss 6360 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ On β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ βŠ† 𝐴))
4 ssdomg 8941 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ On β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐴 β†’ π‘₯ β‰Ό 𝐴))
53, 4syld 47 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ β‰Ό 𝐴))
65imp 408 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ β‰Ό 𝐴)
7 brsdom 8916 . . . . . . . 8 (π‘₯ β‰Ί 𝐴 ↔ (π‘₯ β‰Ό 𝐴 ∧ Β¬ π‘₯ β‰ˆ 𝐴))
87biimpri 227 . . . . . . 7 ((π‘₯ β‰Ό 𝐴 ∧ Β¬ π‘₯ β‰ˆ 𝐴) β†’ π‘₯ β‰Ί 𝐴)
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ β‰Ό 𝐴 ∧ Β¬ π‘₯ β‰ˆ 𝐴) β†’ π‘₯ β‰Ί 𝐴))
106, 9mpand 694 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘₯ β‰ˆ 𝐴 β†’ π‘₯ β‰Ί 𝐴))
112, 10impbid2 225 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ β‰Ί 𝐴 ↔ Β¬ π‘₯ β‰ˆ 𝐴))
1211ralbidva 3173 . . 3 (𝐴 ∈ On β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ β‰Ί 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ β‰ˆ 𝐴))
1312pm5.32i 576 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ β‰Ί 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ β‰ˆ 𝐴))
141, 13bitri 275 1 ((cardβ€˜π΄) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 Β¬ π‘₯ β‰ˆ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  Oncon0 6318  β€˜cfv 6497   β‰ˆ cen 8881   β‰Ό cdom 8882   β‰Ί csdm 8883  cardccrd 9872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-card 9876
This theorem is referenced by:  elrncard  41816
  Copyright terms: Public domain W3C validator