Theorem f1dom 8326

Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1dom.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
f1dom	⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)

Proof of Theorem f1dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1dom.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		f1domg 8324	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2051  Vcvv 3408   class class class wbr 4925  –1-1→wf1 6182   ≼ cdom 8302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pr 5182  ax-un 7277

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-dom 8306

This theorem is referenced by:  dominf  9663  dominfac  9791  lgsqrlem4  25642