Theorem f1dom 9012

Description: The domain of a one-to-one function is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1dom.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
f1dom	⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)

Proof of Theorem f1dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1dom.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		f1domg 9010	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477   class class class wbr 5147  –1-1→wf1 6559   ≼ cdom 8981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-dom 8985

This theorem is referenced by:  dominf  10482  dominfac  10610  lgsqrlem4  27407  fimgmcyc  42520