MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomdomtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomdomtr 8634
Description: Transitivity of strict dominance and dominance. Theorem 22(iii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sdomdomtr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem sdomdomtr
StepHypRef Expression
1 sdomdom 8520 . . 3 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
2 domtr 8545 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan 583 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
4 simpl 486 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐵)
5 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
6 ensym 8541 . . . . . 6 (𝐴𝐶𝐶𝐴)
7 domentr 8551 . . . . . 6 ((𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐵𝐴)
85, 6, 7syl2an 598 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐵𝐴)
9 domnsym 8627 . . . . 5 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵)
108, 9syl 17 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → ¬ 𝐴𝐵)
1110ex 416 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → (𝐴𝐶 → ¬ 𝐴𝐵))
124, 11mt2d 138 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → ¬ 𝐴𝐶)
13 brsdom 8515 . 2 (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐶 ∧ ¬ 𝐴𝐶))
143, 12, 13sylanbrc 586 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   class class class wbr 5030  cen 8489  cdom 8490  csdm 8491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495
This theorem is referenced by:  sdomentr  8635  sucdom  8699  infsdomnn  8763  fodomfib  8782  marypha1lem  8881  r1sdom  9187  infxpenlem  9424  infunsdom1  9624  fin56  9804  fodomb  9937  pwcfsdom  9994  cfpwsdom  9995  canthp1lem2  10064  gchpwdom  10081  gchhar  10090  gchina  10110  tsksdom  10167  tskpr  10181  tskcard  10192  gruina  10229  domalom  34818  lindsenlbs  35049
  Copyright terms: Public domain W3C validator