MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomdomtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomdomtr 9149
Description: Transitivity of strict dominance and dominance. Theorem 22(iii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sdomdomtr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem sdomdomtr
StepHypRef Expression
1 sdomdom 9019 . . 3 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
2 domtr 9046 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan 580 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
4 simpl 482 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐵)
5 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
6 ensym 9042 . . . . . 6 (𝐴𝐶𝐶𝐴)
7 domentr 9052 . . . . . 6 ((𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐵𝐴)
85, 6, 7syl2an 596 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐵𝐴)
9 domnsym 9138 . . . . 5 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵)
108, 9syl 17 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → ¬ 𝐴𝐵)
1110ex 412 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → (𝐴𝐶 → ¬ 𝐴𝐵))
124, 11mt2d 136 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → ¬ 𝐴𝐶)
13 brsdom 9014 . 2 (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐶 ∧ ¬ 𝐴𝐶))
143, 12, 13sylanbrc 583 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   class class class wbr 5148  cen 8981  cdom 8982  csdm 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987
This theorem is referenced by:  sdomentr  9150  sucdomOLD  9270  infsdomnnOLD  9337  fodomfibOLD  9369  marypha1lem  9471  r1sdom  9812  infxpenlem  10051  infunsdom1  10250  fin56  10431  fodomb  10564  pwcfsdom  10621  cfpwsdom  10622  canthp1lem2  10691  gchpwdom  10708  gchhar  10717  gchina  10737  tsksdom  10794  tskpr  10808  tskcard  10819  gruina  10856  domalom  37387  lindsenlbs  37602
  Copyright terms: Public domain W3C validator