Theorem sdomdomtr 9074

Description: Transitivity of strict dominance and dominance. Theorem 22(iii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sdomdomtr	⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem sdomdomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8951	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 8978	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
4		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐵)
5		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝐶)
6		ensym 8974	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐶 → 𝐶 ≈ 𝐴)
7		domentr 8984	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐶 ≈ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
8	5, 6, 7	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝐴)
9		domnsym 9067	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
11	10	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → (𝐴 ≈ 𝐶 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
12	4, 11	mt2d 136	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶)
13		brsdom 8946	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐶 ↔ (𝐴 ≼ 𝐶 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
14	3, 12, 13	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5107   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916   ≺ csdm 8917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921

This theorem is referenced by:  sdomentr  9075  infsdomnnOLD  9250  fodomfibOLD  9282  marypha1lem  9384  r1sdom  9727  infxpenlem  9966  infunsdom1  10165  fin56  10346  fodomb  10479  pwcfsdom  10536  cfpwsdom  10537  canthp1lem2  10606  gchpwdom  10623  gchhar  10632  gchina  10652  tsksdom  10709  tskpr  10723  tskcard  10734  gruina  10771  domalom  37392  lindsenlbs  37609