MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomdomtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomdomtr 8502
Description: Transitivity of strict dominance and dominance. Theorem 22(iii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sdomdomtr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem sdomdomtr
StepHypRef Expression
1 sdomdom 8390 . . 3 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
2 domtr 8415 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan 580 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
4 simpl 483 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐵)
5 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
6 ensym 8411 . . . . . 6 (𝐴𝐶𝐶𝐴)
7 domentr 8421 . . . . . 6 ((𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐵𝐴)
85, 6, 7syl2an 595 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐵𝐴)
9 domnsym 8495 . . . . 5 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵)
108, 9syl 17 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → ¬ 𝐴𝐵)
1110ex 413 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → (𝐴𝐶 → ¬ 𝐴𝐵))
124, 11mt2d 138 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → ¬ 𝐴𝐶)
13 brsdom 8385 . 2 (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐶 ∧ ¬ 𝐴𝐶))
143, 12, 13sylanbrc 583 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   class class class wbr 4966  cen 8359  cdom 8360  csdm 8361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-op 4483  df-uni 4750  df-br 4967  df-opab 5029  df-id 5353  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365
This theorem is referenced by:  sdomentr  8503  sucdom  8566  infsdomnn  8630  fodomfib  8649  marypha1lem  8748  r1sdom  9054  infxpenlem  9290  infunsdom1  9486  fin56  9666  fodomb  9799  pwcfsdom  9856  cfpwsdom  9857  canthp1lem2  9926  gchpwdom  9943  gchhar  9952  gchina  9972  tsksdom  10029  tskpr  10043  tskcard  10054  gruina  10091  domalom  34242  lindsenlbs  34444
  Copyright terms: Public domain W3C validator