MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomdomtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomdomtr 9114
Description: Transitivity of strict dominance and dominance. Theorem 22(iii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sdomdomtr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem sdomdomtr
StepHypRef Expression
1 sdomdom 8980 . . 3 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
2 domtr 9007 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan 579 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
4 simpl 482 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐵)
5 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
6 ensym 9003 . . . . . 6 (𝐴𝐶𝐶𝐴)
7 domentr 9013 . . . . . 6 ((𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐵𝐴)
85, 6, 7syl2an 595 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐵𝐴)
9 domnsym 9103 . . . . 5 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵)
108, 9syl 17 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → ¬ 𝐴𝐵)
1110ex 412 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → (𝐴𝐶 → ¬ 𝐴𝐵))
124, 11mt2d 136 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → ¬ 𝐴𝐶)
13 brsdom 8975 . 2 (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐶 ∧ ¬ 𝐴𝐶))
143, 12, 13sylanbrc 582 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   class class class wbr 5148  cen 8940  cdom 8941  csdm 8942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946
This theorem is referenced by:  sdomentr  9115  sucdomOLD  9240  infsdomnnOLD  9310  fodomfib  9330  marypha1lem  9432  r1sdom  9773  infxpenlem  10012  infunsdom1  10212  fin56  10392  fodomb  10525  pwcfsdom  10582  cfpwsdom  10583  canthp1lem2  10652  gchpwdom  10669  gchhar  10678  gchina  10698  tsksdom  10755  tskpr  10769  tskcard  10780  gruina  10817  domalom  36589  lindsenlbs  36787
  Copyright terms: Public domain W3C validator