Theorem sdomdomtr 9112

Description: Transitivity of strict dominance and dominance. Theorem 22(iii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sdomdomtr	⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem sdomdomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8978	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 9005	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
4		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐵)
5		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝐶)
6		ensym 9001	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐶 → 𝐶 ≈ 𝐴)
7		domentr 9011	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐶 ≈ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
8	5, 6, 7	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝐴)
9		domnsym 9101	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
11	10	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → (𝐴 ≈ 𝐶 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
12	4, 11	mt2d 136	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶)
13		brsdom 8973	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐶 ↔ (𝐴 ≼ 𝐶 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
14	3, 12, 13	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   class class class wbr 5148   ≈ cen 8938   ≼ cdom 8939   ≺ csdm 8940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944

This theorem is referenced by:  sdomentr  9113  sucdomOLD  9238  infsdomnnOLD  9308  fodomfib  9328  marypha1lem  9430  r1sdom  9771  infxpenlem  10010  infunsdom1  10210  fin56  10390  fodomb  10523  pwcfsdom  10580  cfpwsdom  10581  canthp1lem2  10650  gchpwdom  10667  gchhar  10676  gchina  10696  tsksdom  10753  tskpr  10767  tskcard  10778  gruina  10815  domalom  36371  lindsenlbs  36569