Theorem sdomdomtr 8897

Description: Transitivity of strict dominance and dominance. Theorem 22(iii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sdomdomtr	⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem sdomdomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8768	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 8793	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
4		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐵)
5		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝐶)
6		ensym 8789	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐶 → 𝐶 ≈ 𝐴)
7		domentr 8799	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐶 ≈ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
8	5, 6, 7	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝐴)
9		domnsym 8886	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
11	10	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → (𝐴 ≈ 𝐶 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
12	4, 11	mt2d 136	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶)
13		brsdom 8763	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐶 ↔ (𝐴 ≼ 𝐶 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
14	3, 12, 13	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   class class class wbr 5074   ≈ cen 8730   ≼ cdom 8731   ≺ csdm 8732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736

This theorem is referenced by:  sdomentr  8898  sucdomOLD  9019  infsdomnn  9075  fodomfib  9093  marypha1lem  9192  r1sdom  9532  infxpenlem  9769  infunsdom1  9969  fin56  10149  fodomb  10282  pwcfsdom  10339  cfpwsdom  10340  canthp1lem2  10409  gchpwdom  10426  gchhar  10435  gchina  10455  tsksdom  10512  tskpr  10526  tskcard  10537  gruina  10574  domalom  35575  lindsenlbs  35772