Theorem sdomdomtr 9096

Description: Transitivity of strict dominance and dominance. Theorem 22(iii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sdomdomtr	⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem sdomdomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8975	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 9002	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
4		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐵)
5		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝐶)
6		ensym 8998	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐶 → 𝐶 ≈ 𝐴)
7		domentr 9008	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐶 ≈ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
8	5, 6, 7	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝐴)
9		domnsym 9089	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
11	10	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → (𝐴 ≈ 𝐶 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
12	4, 11	mt2d 137	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶)
13		brsdom 8969	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐶 ↔ (𝐴 ≼ 𝐶 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
14	3, 12, 13	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   class class class wbr 5108   ≈ cen 8938   ≼ cdom 8939   ≺ csdm 8940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944

This theorem is used by:  sdomentr  9097  marypha1lem  9391  r1sdom  9744  infxpenlem  10004  infunsdom1  10202  fin56  10383  fodomb  10516  pwcfsdom  10574  cfpwsdom  10575  canthp1lem2  10644  gchpwdom  10661  gchhar  10670  gchina  10690  tsksdom  10747  tskpr  10761  tskcard  10772  gruina  10809  domalom  38078  lindsenlbs  38294