Theorem fidomtri2 9909

Description: Trichotomy of dominance without AC when one set is finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fidomtri2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Proof of Theorem fidomtri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnsym 9034	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
2		sdomdom 8920	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
3	2	con3i 154	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
4		fidomtri 9908	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
5	4	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
6	3, 5	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
7		ensym 8943	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵)
8		endom 8919	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵)
10	9	con3i 154	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
11	6, 10	jca2 513	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)))
12		brsdom 8914	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 ↔ (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴))
13	11, 12	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ≺ 𝐴))
14	13	con1d 145	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
15	1, 14	impbid2 226	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086   ≈ cen 8883   ≼ cdom 8884   ≺ csdm 8885  Fincfn 8886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7811  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854

This theorem is referenced by:  gchdomtri  10543  gchdju1  10570  frgpcyg  21563