Theorem fidomtri2 9916

Description: Trichotomy of dominance without AC when one set is finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fidomtri2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Proof of Theorem fidomtri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnsym 9038	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
2		sdomdom 8924	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
3	2	con3i 154	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
4		fidomtri 9915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
5	4	ancoms 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
6	3, 5	imbitrrid 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
7		ensym 8947	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵)
8		endom 8923	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵)
10	9	con3i 154	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
11	6, 10	jca2 518	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)))
12		brsdom 8918	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 ↔ (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴))
13	11, 12	imbitrrdi 253	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ≺ 𝐴))
14	13	con1d 145	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
15	1, 14	impbid2 227	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079   ≈ cen 8887   ≼ cdom 8888   ≺ csdm 8889  Fincfn 8890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7814  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9861

This theorem is referenced by:  gchdomtri  10550  gchdju1  10577  frgpcyg  21555