Theorem fidomtri2 9999

Description: Trichotomy of dominance without AC when one set is finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fidomtri2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Proof of Theorem fidomtri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnsym 9101	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
2		sdomdom 8986	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
3	2	con3i 155	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
4		fidomtri 9998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
5	4	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
6	3, 5	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
7		ensym 9009	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵)
8		endom 8985	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
9	7, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵)
10	9	con3i 155	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
11	6, 10	jca2 523	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)))
12		brsdom 8980	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 ↔ (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴))
13	11, 12	imbitrrdi 255	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ≺ 𝐴))
14	13	con1d 146	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
15	1, 14	impbid2 229	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114   ≈ cen 8949   ≼ cdom 8950   ≺ csdm 8951  Fincfn 8952

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7872  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944

This theorem is used by:  gchdomtri  10632  gchdju1  10659  frgpcyg  21760