Theorem fidomtri2 9913

Description: Trichotomy of dominance without AC when one set is finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fidomtri2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Proof of Theorem fidomtri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnsym 9035	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
2		sdomdom 8921	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
3	2	con3i 154	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
4		fidomtri 9912	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
5	4	ancoms 460	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
6	3, 5	imbitrrid 248	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
7		ensym 8944	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵)
8		endom 8920	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵)
10	9	con3i 154	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
11	6, 10	jca2 519	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)))
12		brsdom 8915	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 ↔ (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴))
13	11, 12	imbitrrdi 254	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ≺ 𝐴))
14	13	con1d 145	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
15	1, 14	impbid2 228	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075   ≈ cen 8884   ≼ cdom 8885   ≺ csdm 8886  Fincfn 8887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-om 7811  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9858

This theorem is referenced by:  gchdomtri  10547  gchdju1  10574  frgpcyg  21552