MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomtri2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fidomtri2 9610
Description: Trichotomy of dominance without AC when one set is finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fidomtri2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem fidomtri2
StepHypRef Expression
1 domnsym 8772 . 2 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
2 sdomdom 8656 . . . . . . 7 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
32con3i 157 . . . . . 6 𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)
4 fidomtri 9609 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑉) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
54ancoms 462 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
63, 5syl5ibr 249 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐴𝐵𝐵𝐴))
7 ensym 8677 . . . . . . 7 (𝐵𝐴𝐴𝐵)
8 endom 8655 . . . . . . 7 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (𝐵𝐴𝐴𝐵)
109con3i 157 . . . . 5 𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
116, 10jca2 517 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐴𝐵 → (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)))
12 brsdom 8651 . . . 4 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴))
1311, 12syl6ibr 255 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐴𝐵𝐵𝐴))
1413con1d 147 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin) → (¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵))
151, 14impbid2 229 1 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2110   class class class wbr 5053  cen 8623  cdom 8624  csdm 8625  Fincfn 8626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-om 7645  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-card 9555
This theorem is referenced by:  gchdomtri  10243  gchdju1  10270  frgpcyg  20538
  Copyright terms: Public domain W3C validator