Theorem hashsdom 14346

Description: Strict dominance relation for the size function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashsdom	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

Proof of Theorem hashsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 14321	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2		hashcl 14321	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
3		nn0re 12485	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
4		nn0re 12485	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
5		ltlen 11319	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘𝐵) ≠ (♯‘𝐴))))
6	3, 4, 5	syl2an 595	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘𝐵) ≠ (♯‘𝐴))))
7	1, 2, 6	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘𝐵) ≠ (♯‘𝐴))))
8		hashdom 14344	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
9		eqcom 2733	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) = (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
10		hashen 14312	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
11	9, 10	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
12	11	necon3abid 2971	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) ≠ (♯‘𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
13	8, 12	anbi12d 630	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘𝐵) ≠ (♯‘𝐴)) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
14	7, 13	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
15		brsdom 8973	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
16	14, 15	bitr4di 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537   ≈ cen 8938   ≼ cdom 8939   ≺ csdm 8940  Fincfn 8941  ℝcr 11111   < clt 11252   ≤ cle 11253  ℕ₀cn0 12476  ♯chash 14295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-hash 14296

This theorem is referenced by:  fzsdom2  14393  vdwlem12  16934  odcau  19524  pgpssslw  19534  pgpfaclem2  20004  ppiltx  27064  erdszelem10  34719  rp-isfinite6  42845