Theorem hashsdom 14077

Description: Strict dominance relation for the size function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashsdom	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

Proof of Theorem hashsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 14052	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2		hashcl 14052	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
3		nn0re 12225	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
4		nn0re 12225	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
5		ltlen 11059	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘𝐵) ≠ (♯‘𝐴))))
6	3, 4, 5	syl2an 595	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘𝐵) ≠ (♯‘𝐴))))
7	1, 2, 6	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘𝐵) ≠ (♯‘𝐴))))
8		hashdom 14075	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
9		eqcom 2746	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) = (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
10		hashen 14042	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
11	9, 10	syl5bb 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
12	11	necon3abid 2981	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) ≠ (♯‘𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
13	8, 12	anbi12d 630	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘𝐵) ≠ (♯‘𝐴)) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
14	7, 13	bitrd 278	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
15		brsdom 8734	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
16	14, 15	bitr4di 288	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944   class class class wbr 5078  ‘cfv 6430   ≈ cen 8704   ≼ cdom 8705   ≺ csdm 8706  Fincfn 8707  ℝcr 10854   < clt 10993   ≤ cle 10994  ℕ₀cn0 12216  ♯chash 14025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-oadd 8285  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-n0 12217  df-xnn0 12289  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222  df-hash 14026

This theorem is referenced by:  fzsdom2  14124  vdwlem12  16674  odcau  19190  pgpssslw  19200  pgpfaclem2  19666  ppiltx  26307  erdszelem10  33141  rp-isfinite6  41087