Theorem hashsdom 14323

Description: Strict dominance relation for the size function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashsdom	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

Proof of Theorem hashsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 14298	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2		hashcl 14298	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
3		nn0re 12463	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
4		nn0re 12463	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
5		ltlen 11297	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘𝐵) ≠ (♯‘𝐴))))
6	3, 4, 5	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘𝐵) ≠ (♯‘𝐴))))
7	1, 2, 6	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘𝐵) ≠ (♯‘𝐴))))
8		hashdom 14321	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
9		eqcom 2738	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) = (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
10		hashen 14289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
11	9, 10	bitrid 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
12	11	necon3abid 2976	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) ≠ (♯‘𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
13	8, 12	anbi12d 631	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘𝐵) ≠ (♯‘𝐴)) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
14	7, 13	bitrd 278	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
15		brsdom 8954	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
16	14, 15	bitr4di 288	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   class class class wbr 5141  ‘cfv 6532   ≈ cen 8919   ≼ cdom 8920   ≺ csdm 8921  Fincfn 8922  ℝcr 11091   < clt 11230   ≤ cle 11231  ℕ₀cn0 12454  ♯chash 14272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-oadd 8452  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-n0 12455  df-xnn0 12527  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-hash 14273

This theorem is referenced by:  fzsdom2  14370  vdwlem12  16907  odcau  19436  pgpssslw  19446  pgpfaclem2  19911  ppiltx  26608  erdszelem10  34022  rp-isfinite6  42040