Theorem hashsdom 14382

Description: Strict dominance relation for the size function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashsdom	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

Proof of Theorem hashsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 14357	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2		hashcl 14357	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
3		nn0re 12521	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
4		nn0re 12521	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
5		ltlen 11355	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘𝐵) ≠ (♯‘𝐴))))
6	3, 4, 5	syl2an 594	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘𝐵) ≠ (♯‘𝐴))))
7	1, 2, 6	syl2an 594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘𝐵) ≠ (♯‘𝐴))))
8		hashdom 14380	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
9		eqcom 2735	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) = (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
10		hashen 14348	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
11	9, 10	bitrid 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
12	11	necon3abid 2974	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐵) ≠ (♯‘𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
13	8, 12	anbi12d 630	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ∧ (♯‘𝐵) ≠ (♯‘𝐴)) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
14	7, 13	bitrd 278	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
15		brsdom 9004	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
16	14, 15	bitr4di 288	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) < (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553   ≈ cen 8969   ≼ cdom 8970   ≺ csdm 8971  Fincfn 8972  ℝcr 11147   < clt 11288   ≤ cle 11289  ℕ₀cn0 12512  ♯chash 14331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-oadd 8499  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-hash 14332

This theorem is referenced by:  fzsdom2  14429  vdwlem12  16970  odcau  19573  pgpssslw  19583  pgpfaclem2  20053  ppiltx  27137  erdszelem10  34851  rp-isfinite6  42997