Theorem domtriord 8770

Description: Dominance is trichotomous in the restricted case of ordinal numbers. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Oct-2009.)

Assertion

Ref	Expression
domtriord	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Proof of Theorem domtriord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbth 8744	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
2	1	expcom 417	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ≈ 𝐴))
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ≈ 𝐴)))
4		iman 405	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ≈ 𝐴) ↔ ¬ (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴))
5		brsdom 8629	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 ↔ (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴))
6	4, 5	xchbinxr 338	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ≈ 𝐴) ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
7	3, 6	syl6ib 254	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
8		onelss 6233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
9		ssdomg 8652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
10	8, 9	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
11	10	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
12	11	con3d 155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
13		ontri1 6225	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
14	13	ancoms 462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
15	12, 14	sylibrd 262	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ⊆ 𝐴))
16		ssdomg 8652	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
17	16	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
18	15, 17	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
19		ensym 8655	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵)
20		endom 8633	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵)
22	21	con3i 157	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
23	18, 22	jca2 517	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)))
24	23, 5	syl6ibr 255	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ≺ 𝐴))
25	24	con1d 147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
26	7, 25	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3853   class class class wbr 5039  Oncon0 6191   ≈ cen 8601   ≼ cdom 8602   ≺ csdm 8603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-ord 6194  df-on 6195  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607

This theorem is referenced by:  sdomel  8771  cardsdomel  9555  alephord  9654  alephsucdom  9658  alephdom2  9666