Theorem domtriord 9164

Description: Dominance is trichotomous in the restricted case of ordinal numbers. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Oct-2009.)

Assertion

Ref	Expression
domtriord	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Proof of Theorem domtriord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbth 9134	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
2	1	expcom 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ≈ 𝐴))
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ≈ 𝐴)))
4		iman 400	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ≈ 𝐴) ↔ ¬ (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴))
5		brsdom 9010	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 ↔ (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴))
6	4, 5	xchbinxr 334	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ≈ 𝐴) ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
7	3, 6	imbitrdi 250	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
8		onelss 6420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
9		ssdomg 9035	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
10	8, 9	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
11	10	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
12	11	con3d 152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
13		ontri1 6412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
14	13	ancoms 457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
15	12, 14	sylibrd 258	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ⊆ 𝐴))
16		ssdomg 9035	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
17	16	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
18	15, 17	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
19		ensym 9038	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵)
20		endom 9014	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵)
22	21	con3i 154	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
23	18, 22	jca2 512	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)))
24	23, 5	imbitrrdi 251	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ≺ 𝐴))
25	24	con1d 145	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
26	7, 25	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2100   ⊆ wss 3958   class class class wbr 5154  Oncon0 6378   ≈ cen 8975   ≼ cdom 8976   ≺ csdm 8977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5305  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rab 3429  df-v 3474  df-dif 3961  df-un 3963  df-in 3965  df-ss 3975  df-pss 3978  df-nul 4334  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4917  df-br 5155  df-opab 5217  df-tr 5272  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6381  df-on 6382  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-er 8738  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981

This theorem is referenced by:  sdomel  9165  cardsdomel  10018  alephord  10119  alephsucdom  10123  alephdom2  10131