Theorem domtriord 9056

Description: Dominance is trichotomous in the restricted case of ordinal numbers. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Oct-2009.)

Assertion

Ref	Expression
domtriord	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Proof of Theorem domtriord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbth 9030	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐵 ≈ 𝐴)
2	1	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ≈ 𝐴))
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ≈ 𝐴)))
4		iman 401	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ≈ 𝐴) ↔ ¬ (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴))
5		brsdom 8916	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 ↔ (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴))
6	4, 5	xchbinxr 335	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ≈ 𝐴) ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
7	3, 6	imbitrdi 251	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
8		onelss 6361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
9		ssdomg 8942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
10	8, 9	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
11	10	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
12	11	con3d 152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
13		ontri1 6353	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
14	13	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
15	12, 14	sylibrd 259	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ⊆ 𝐴))
16		ssdomg 8942	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
18	15, 17	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
19		ensym 8945	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵)
20		endom 8921	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵)
22	21	con3i 154	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
23	18, 22	jca2 513	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)))
24	23, 5	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ≺ 𝐴))
25	24	con1d 145	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐵 ≺ 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝐵))
26	7, 25	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  Oncon0 6319   ≈ cen 8885   ≼ cdom 8886   ≺ csdm 8887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-ord 6322  df-on 6323  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891

This theorem is referenced by:  sdomel  9057  cardsdomel  9893  alephord  9992  alephsucdom  9996  alephdom2  10004