MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtriord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domtriord 9146
Description: Dominance is trichotomous in the restricted case of ordinal numbers. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Oct-2009.)
Assertion
Ref Expression
domtriord ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem domtriord
StepHypRef Expression
1 sbth 9116 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
21expcom 412 . . . 4 (𝐴𝐵 → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
32a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 → (𝐵𝐴𝐵𝐴)))
4 iman 400 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐵𝐴) ↔ ¬ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴))
5 brsdom 8994 . . . 4 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴))
64, 5xchbinxr 334 . . 3 ((𝐵𝐴𝐵𝐴) ↔ ¬ 𝐵𝐴)
73, 6imbitrdi 250 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴))
8 onelss 6406 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ On → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
9 ssdomg 9019 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ On → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
108, 9syld 47 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ On → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
1110adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
1211con3d 152 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵))
13 ontri1 6398 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
1413ancoms 457 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
1512, 14sylibrd 258 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴𝐵𝐵𝐴))
16 ssdomg 9019 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
1716adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
1815, 17syld 47 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴𝐵𝐵𝐴))
19 ensym 9022 . . . . . . 7 (𝐵𝐴𝐴𝐵)
20 endom 8998 . . . . . . 7 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝐵𝐴𝐴𝐵)
2221con3i 154 . . . . 5 𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
2318, 22jca2 512 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴𝐵 → (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)))
2423, 5imbitrrdi 251 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴𝐵𝐵𝐴))
2524con1d 145 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵))
267, 25impbid 211 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2098  wss 3939   class class class wbr 5143  Oncon0 6364  cen 8959  cdom 8960  csdm 8961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965
This theorem is referenced by:  sdomel  9147  cardsdomel  9997  alephord  10098  alephsucdom  10102  alephdom2  10110
  Copyright terms: Public domain W3C validator