MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  php3OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem php3OLD 9227
Description: Obsolete version of php3 9215 as of 26-Nov-2024. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
php3OLD ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem php3OLD
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 8975 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
2 relen 8947 . . . . . . . . 9 Rel ≈
32brrelex1i 5732 . . . . . . . 8 (𝐴𝑥𝐴 ∈ V)
4 pssss 4095 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
5 ssdomg 8999 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
65imp 406 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
73, 4, 6syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝐴𝑥𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
87adantll 711 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
9 bren 8952 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑥 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝑥)
10 imass2 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵𝐴 → (𝑓𝐵) ⊆ (𝑓𝐴))
114, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵𝐴 → (𝑓𝐵) ⊆ (𝑓𝐴))
1211adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴) → (𝑓𝐵) ⊆ (𝑓𝐴))
13 pssnel 4470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵𝐴 → ∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵))
14 eldif 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵))
15 f1ofn 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑓 Fn 𝐴)
16 difss 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
17 fnfvima 7237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑓 Fn 𝐴 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴𝑦 ∈ (𝐴𝐵)) → (𝑓𝑦) ∈ (𝑓 “ (𝐴𝐵)))
18173expia 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑓 Fn 𝐴 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝑦 ∈ (𝐴𝐵) → (𝑓𝑦) ∈ (𝑓 “ (𝐴𝐵))))
1915, 16, 18sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → (𝑦 ∈ (𝐴𝐵) → (𝑓𝑦) ∈ (𝑓 “ (𝐴𝐵))))
20 dff1o3 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 ↔ (𝑓:𝐴onto𝑥 ∧ Fun 𝑓))
21 imadif 6632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Fun 𝑓 → (𝑓 “ (𝐴𝐵)) = ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵)))
2220, 21simplbiim 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → (𝑓 “ (𝐴𝐵)) = ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵)))
2322eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → ((𝑓𝑦) ∈ (𝑓 “ (𝐴𝐵)) ↔ (𝑓𝑦) ∈ ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵))))
2419, 23sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → (𝑦 ∈ (𝐴𝐵) → (𝑓𝑦) ∈ ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵))))
25 n0i 4333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓𝑦) ∈ ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵)) → ¬ ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵)) = ∅)
2624, 25syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → (𝑦 ∈ (𝐴𝐵) → ¬ ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵)) = ∅))
2714, 26biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵) → ¬ ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵)) = ∅))
2827exlimdv 1935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → (∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵) → ¬ ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵)) = ∅))
2928imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 ∧ ∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵)) → ¬ ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵)) = ∅)
3013, 29sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴) → ¬ ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵)) = ∅)
31 ssdif0 4363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓𝐴) ⊆ (𝑓𝐵) ↔ ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵)) = ∅)
3230, 31sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴) → ¬ (𝑓𝐴) ⊆ (𝑓𝐵))
33 dfpss3 4086 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓𝐵) ⊊ (𝑓𝐴) ↔ ((𝑓𝐵) ⊆ (𝑓𝐴) ∧ ¬ (𝑓𝐴) ⊆ (𝑓𝐵)))
3412, 32, 33sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴) → (𝑓𝐵) ⊊ (𝑓𝐴))
35 imadmrn 6069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 “ dom 𝑓) = ran 𝑓
36 f1odm 6837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → dom 𝑓 = 𝐴)
3736imaeq2d 6059 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → (𝑓 “ dom 𝑓) = (𝑓𝐴))
38 f1ofo 6840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑓:𝐴onto𝑥)
39 forn 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐴onto𝑥 → ran 𝑓 = 𝑥)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → ran 𝑓 = 𝑥)
4135, 37, 403eqtr3a 2795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → (𝑓𝐴) = 𝑥)
4241psseq2d 4093 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → ((𝑓𝐵) ⊊ (𝑓𝐴) ↔ (𝑓𝐵) ⊊ 𝑥))
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴) → ((𝑓𝐵) ⊊ (𝑓𝐴) ↔ (𝑓𝐵) ⊊ 𝑥))
4434, 43mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴) → (𝑓𝐵) ⊊ 𝑥)
45 php 9213 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ω ∧ (𝑓𝐵) ⊊ 𝑥) → ¬ 𝑥 ≈ (𝑓𝐵))
4644, 45sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ω ∧ (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴)) → ¬ 𝑥 ≈ (𝑓𝐵))
47 f1of1 6832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑓:𝐴1-1𝑥)
48 f1ores 6847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:𝐴1-1𝑥𝐵𝐴) → (𝑓𝐵):𝐵1-1-onto→(𝑓𝐵))
4947, 4, 48syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴) → (𝑓𝐵):𝐵1-1-onto→(𝑓𝐵))
50 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑓 ∈ V
5150resex 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓𝐵) ∈ V
52 f1oeq1 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑓𝐵) → (𝑦:𝐵1-1-onto→(𝑓𝐵) ↔ (𝑓𝐵):𝐵1-1-onto→(𝑓𝐵)))
5351, 52spcev 3596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓𝐵):𝐵1-1-onto→(𝑓𝐵) → ∃𝑦 𝑦:𝐵1-1-onto→(𝑓𝐵))
54 bren 8952 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ≈ (𝑓𝐵) ↔ ∃𝑦 𝑦:𝐵1-1-onto→(𝑓𝐵))
5553, 54sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓𝐵):𝐵1-1-onto→(𝑓𝐵) → 𝐵 ≈ (𝑓𝐵))
5649, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴) → 𝐵 ≈ (𝑓𝐵))
57 entr 9005 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐵𝐵 ≈ (𝑓𝐵)) → 𝑥 ≈ (𝑓𝐵))
5857expcom 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ≈ (𝑓𝐵) → (𝑥𝐵𝑥 ≈ (𝑓𝐵)))
5956, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴) → (𝑥𝐵𝑥 ≈ (𝑓𝐵)))
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ω ∧ (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴)) → (𝑥𝐵𝑥 ≈ (𝑓𝐵)))
6146, 60mtod 197 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ω ∧ (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴)) → ¬ 𝑥𝐵)
6261exp32 420 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ω → (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → (𝐵𝐴 → ¬ 𝑥𝐵)))
6362exlimdv 1935 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ω → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → (𝐵𝐴 → ¬ 𝑥𝐵)))
649, 63biimtrid 241 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ω → (𝐴𝑥 → (𝐵𝐴 → ¬ 𝑥𝐵)))
6564imp31 417 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝑥𝐵)
66 entr 9005 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝐴𝐴𝑥) → 𝐵𝑥)
6766ex 412 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴 → (𝐴𝑥𝐵𝑥))
68 ensym 9002 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑥𝑥𝐵)
6967, 68syl6com 37 . . . . . . . 8 (𝐴𝑥 → (𝐵𝐴𝑥𝐵))
7069ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵𝐴𝑥𝐵))
7165, 70mtod 197 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐵𝐴)
72 brsdom 8974 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴))
738, 71, 72sylanbrc 582 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
7473exp31 419 . . . 4 (𝑥 ∈ ω → (𝐴𝑥 → (𝐵𝐴𝐵𝐴)))
7574rexlimiv 3147 . . 3 (∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥 → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
761, 75sylbi 216 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
7776imp 406 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wex 1780  wcel 2105  wrex 3069  Vcvv 3473  cdif 3945  wss 3948  wpss 3949  c0 4322   class class class wbr 5148  ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677  cres 5678  cima 5679  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  1-1wf1 6540  ontowfo 6541  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543  ωcom 7858  cen 8939  cdom 8940  csdm 8941  Fincfn 8942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7859  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator