MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin5-2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfin5-2 9662
Description: Alternate definition of V-finite which emphasizes the idempotent behavior of V-infinite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin5-2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴))))

Proof of Theorem isfin5-2
StepHypRef Expression
1 nne 2987 . . . . 5 𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
21bicomi 225 . . . 4 (𝐴 = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ≠ ∅)
32a1i 11 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ≠ ∅))
4 djudoml 9459 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐴𝑉) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
54anidms 567 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
6 brsdom 8383 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ↔ (𝐴 ≼ (𝐴𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)))
76baib 536 . . . 4 (𝐴 ≼ (𝐴𝐴) → (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)))
85, 7syl 17 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)))
93, 8orbi12d 913 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴𝐴)) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴))))
10 isfin5 9570 . 2 (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴𝐴)))
11 ianor 976 . 2 (¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)))
129, 10, 113bitr4g 315 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842   = wceq 1522  wcel 2080  wne 2983  c0 4213   class class class wbr 4964  cen 8357  cdom 8358  csdm 8359  cdju 9176  FinVcfin5 9553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-ral 3109  df-rex 3110  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-ord 6072  df-on 6073  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-1o 7956  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-dju 9179  df-fin5 9560
This theorem is referenced by:  fin45  9663
  Copyright terms: Public domain W3C validator