Theorem isfin5-2 9501

Description: Alternate definition of V-finite which emphasizes the idempotent behavior of V-infinite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin5-2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴))))

Proof of Theorem isfin5-2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nne 2975	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2	1	bicomi 216	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ≠ ∅)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ≠ ∅))
4		cdadom3 9298	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
5	4	anidms 563	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
6		brsdom 8218	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ↔ (𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
7	6	baib 532	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) → (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
9	3, 8	orbi12d 943	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴)) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴))))
10		isfin5 9409	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
11		ianor 1005	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
12	9, 10, 11	3bitr4g 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∨ wo 874   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971  ∅c0 4115   class class class wbr 4843  (class class class)co 6878   ≈ cen 8192   ≼ cdom 8193   ≺ csdm 8194   +_𝑐 ccda 9277  Fin^Vcfin5 9392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-ord 5944  df-on 5945  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1o 7799  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-cda 9278  df-fin5 9399

This theorem is referenced by:  fin45  9502