Theorem isfin5-2 10285

Description: Alternate definition of V-finite which emphasizes the idempotent behavior of V-infinite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin5-2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))))

Proof of Theorem isfin5-2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nne 2929	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2	1	bicomi 224	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ≠ ∅)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ≠ ∅))
4		djudoml 10079	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
5	4	anidms 566	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
6		brsdom 8900	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ↔ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
7	6	baib 535	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
9	3, 8	orbi12d 918	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴)) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))))
10		isfin5 10193	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
11		ianor 983	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
12	9, 10, 11	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4284   class class class wbr 5092   ≈ cen 8869   ≼ cdom 8870   ≺ csdm 8871   ⊔ cdju 9794  Fin^Vcfin5 10176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-dju 9797  df-fin5 10183

This theorem is referenced by:  fin45  10286