MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin5-2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfin5-2 10431
Description: Alternate definition of V-finite which emphasizes the idempotent behavior of V-infinite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin5-2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴))))

Proof of Theorem isfin5-2
StepHypRef Expression
1 nne 2944 . . . . 5 𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
21bicomi 224 . . . 4 (𝐴 = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ≠ ∅)
32a1i 11 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ≠ ∅))
4 djudoml 10225 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐴𝑉) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
54anidms 566 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
6 brsdom 9015 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ↔ (𝐴 ≼ (𝐴𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)))
76baib 535 . . . 4 (𝐴 ≼ (𝐴𝐴) → (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)))
85, 7syl 17 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)))
93, 8orbi12d 919 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴𝐴)) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴))))
10 isfin5 10339 . 2 (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴𝐴)))
11 ianor 984 . 2 (¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)))
129, 10, 113bitr4g 314 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  c0 4333   class class class wbr 5143  cen 8982  cdom 8983  csdm 8984  cdju 9938  FinVcfin5 10322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-dju 9941  df-fin5 10329
This theorem is referenced by:  fin45  10432
  Copyright terms: Public domain W3C validator