Theorem isfin5-2 10390

Description: Alternate definition of V-finite which emphasizes the idempotent behavior of V-infinite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin5-2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))))

Proof of Theorem isfin5-2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nne 2964	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2	1	bicomi 227	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ≠ ∅)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ≠ ∅))
4		djudoml 10184	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
5	4	anidms 577	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
6		brsdom 8977	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ↔ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
7	6	baib 545	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
8	5, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
9	3, 8	orbi12d 932	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴)) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))))
10		isfin5 10298	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
11		ianor 997	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
12	9, 10, 11	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∅c0 4286   class class class wbr 5111   ≈ cen 8946   ≼ cdom 8947   ≺ csdm 8948   ⊔ cdju 9900  Fin^Vcfin5 10281

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-dju 9903  df-fin5 10288

This theorem is used by:  fin45  10391