Theorem isfin5-2 10388

Description: Alternate definition of V-finite which emphasizes the idempotent behavior of V-infinite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin5-2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))))

Proof of Theorem isfin5-2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nne 2938	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2	1	bicomi 223	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ≠ ∅)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ≠ ∅))
4		djudoml 10181	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
5	4	anidms 566	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
6		brsdom 8973	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ↔ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
7	6	baib 535	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
9	3, 8	orbi12d 915	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴)) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))))
10		isfin5 10296	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
11		ianor 978	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
12	9, 10, 11	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∅c0 4317   class class class wbr 5141   ≈ cen 8938   ≼ cdom 8939   ≺ csdm 8940   ⊔ cdju 9895  Fin^Vcfin5 10279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-dju 9898  df-fin5 10286

This theorem is referenced by:  fin45  10389