MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin5-2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfin5-2 10428
Description: Alternate definition of V-finite which emphasizes the idempotent behavior of V-infinite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin5-2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴))))

Proof of Theorem isfin5-2
StepHypRef Expression
1 nne 2941 . . . . 5 𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
21bicomi 224 . . . 4 (𝐴 = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ≠ ∅)
32a1i 11 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ≠ ∅))
4 djudoml 10222 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐴𝑉) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
54anidms 566 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ≼ (𝐴𝐴))
6 brsdom 9013 . . . . 5 (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ↔ (𝐴 ≼ (𝐴𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)))
76baib 535 . . . 4 (𝐴 ≼ (𝐴𝐴) → (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)))
85, 7syl 17 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴 ≺ (𝐴𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)))
93, 8orbi12d 918 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴𝐴)) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴))))
10 isfin5 10336 . 2 (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴𝐴)))
11 ianor 983 . 2 (¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴)))
129, 10, 113bitr4g 314 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  c0 4338   class class class wbr 5147  cen 8980  cdom 8981  csdm 8982  cdju 9935  FinVcfin5 10319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-dju 9938  df-fin5 10326
This theorem is referenced by:  fin45  10429
  Copyright terms: Public domain W3C validator