Theorem isfin5-2 10363

Description: Alternate definition of V-finite which emphasizes the idempotent behavior of V-infinite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin5-2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))))

Proof of Theorem isfin5-2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nne 2964	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2	1	bicomi 227	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ≠ ∅)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ≠ ∅))
4		djudoml 10156	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
5	4	anidms 576	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
6		brsdom 8959	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ↔ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
7	6	baib 544	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
8	5, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
9	3, 8	orbi12d 931	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴)) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))))
10		isfin5 10271	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinV ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
11		ianor 997	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
12	9, 10, 11	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 𝐴))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∅c0 4288   class class class wbr 5104   ≈ cen 8928   ≼ cdom 8929   ≺ csdm 8930   ⊔ cdju 9872  Fin^Vcfin5 10254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6352  df-on 6353  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-dju 9875  df-fin5 10261

This theorem is referenced by:  fin45  10364