MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  php2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem php2 9270
Description: Corollary of Pigeonhole Principle. (Contributed by NM, 31-May-1998.) Avoid ax-pow 5386. (Revised by BTernaryTau, 20-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
php2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem php2
StepHypRef Expression
1 nnfi 9229 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2 pssss 4115 . . 3 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
3 ssdomfi 9258 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
43imp 406 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
51, 2, 4syl2an 595 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
6 php 9269 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
7 ensymfib 9246 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
87biimprd 248 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐴𝐵))
91, 8syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴𝐴𝐵))
109adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵𝐴𝐴𝐵))
116, 10mtod 198 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐵𝐴)
12 brsdom 9031 . 2 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴))
135, 11, 12sylanbrc 582 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wcel 2103  wss 3970  wpss 3971   class class class wbr 5169  ωcom 7899  cen 8996  cdom 8997  csdm 8998  Fincfn 8999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pr 5450  ax-un 7766
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-om 7900  df-1o 8518  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003
This theorem is referenced by:  php3  9271  php4  9272  nndomog  9275  nndomogOLD  9285
  Copyright terms: Public domain W3C validator