Theorem php2 9231

Description: Corollary of Pigeonhole Principle. (Contributed by NM, 31-May-1998.) Avoid ax-pow 5347. (Revised by BTernaryTau, 20-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
php2	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem php2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnfi 9190	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2		pssss 4080	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
3		ssdomfi 9219	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
4	3	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
5	1, 2, 4	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
6		php 9230	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
7		ensymfib 9207	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))
8	7	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵))
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵))
11	6, 10	mtod 198	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
12		brsdom 8998	. 2 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 ↔ (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴))
13	5, 11, 12	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3933   ⊊ wpss 3934   class class class wbr 5125  ωcom 7870   ≈ cen 8965   ≼ cdom 8966   ≺ csdm 8967  Fincfn 8968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pr 5414  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7871  df-1o 8489  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972

This theorem is referenced by:  php3  9232  php4  9233  nndomog  9236  nndomogOLD  9246