MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  php2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem php2 9229
Description: Corollary of Pigeonhole Principle. (Contributed by NM, 31-May-1998.) Avoid ax-pow 5359. (Revised by BTernaryTau, 20-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
php2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem php2
StepHypRef Expression
1 nnfi 9185 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2 pssss 4091 . . 3 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
3 ssdomfi 9217 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
43imp 406 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
51, 2, 4syl2an 595 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
6 php 9228 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
7 ensymfib 9205 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
87biimprd 247 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐴𝐵))
91, 8syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴𝐴𝐵))
109adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵𝐴𝐴𝐵))
116, 10mtod 197 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐵𝐴)
12 brsdom 8989 . 2 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴))
135, 11, 12sylanbrc 582 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wcel 2099  wss 3945  wpss 3946   class class class wbr 5142  ωcom 7864  cen 8954  cdom 8955  csdm 8956  Fincfn 8957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7865  df-1o 8480  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961
This theorem is referenced by:  php3  9230  php4  9231  nndomog  9234  nndomogOLD  9244
  Copyright terms: Public domain W3C validator