Theorem php2 8686

Description: Corollary of Pigeonhole Principle. (Contributed by NM, 31-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
php2	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem php2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2877	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
2		psseq2 4016	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ⊊ 𝑥 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐴))
3	1, 2	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝑥) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴)))
4		breq2 5034	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ≺ 𝑥 ↔ 𝐵 ≺ 𝐴))
5	3, 4	imbi12d 348	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝑥) → 𝐵 ≺ 𝑥) ↔ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)))
6		vex 3444	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
7		pssss 4023	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝑥 → 𝐵 ⊆ 𝑥)
8		ssdomg 8538	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝐵 ⊆ 𝑥 → 𝐵 ≼ 𝑥))
9	6, 7, 8	mpsyl 68	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝑥 → 𝐵 ≼ 𝑥)
10	9	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝑥) → 𝐵 ≼ 𝑥)
11		php 8685	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝑥) → ¬ 𝑥 ≈ 𝐵)
12		ensym 8541	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≈ 𝑥 → 𝑥 ≈ 𝐵)
13	11, 12	nsyl 142	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝑥) → ¬ 𝐵 ≈ 𝑥)
14		brsdom 8515	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝑥 ↔ (𝐵 ≼ 𝑥 ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝑥))
15	10, 13, 14	sylanbrc 586	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝑥) → 𝐵 ≺ 𝑥)
16	5, 15	vtoclg 3515	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴))
17	16	anabsi5 668	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881   ⊊ wpss 3882   class class class wbr 5030  ωcom 7560   ≈ cen 8489   ≼ cdom 8490   ≺ csdm 8491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7561  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495

This theorem is referenced by:  php4  8688  nndomog  8692