MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  php2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem php2 8387
Description: Corollary of Pigeonhole Principle. (Contributed by NM, 31-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
php2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem php2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2866 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
2 psseq2 3892 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵𝑥𝐵𝐴))
31, 2anbi12d 625 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴)))
4 breq2 4847 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵𝑥𝐵𝐴))
53, 4imbi12d 336 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) → 𝐵𝑥) ↔ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)))
6 vex 3388 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
7 pssss 3899 . . . . . 6 (𝐵𝑥𝐵𝑥)
8 ssdomg 8241 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (𝐵𝑥𝐵𝑥))
96, 7, 8mpsyl 68 . . . . 5 (𝐵𝑥𝐵𝑥)
109adantl 474 . . . 4 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) → 𝐵𝑥)
11 php 8386 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) → ¬ 𝑥𝐵)
12 ensym 8244 . . . . 5 (𝐵𝑥𝑥𝐵)
1311, 12nsyl 138 . . . 4 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) → ¬ 𝐵𝑥)
14 brsdom 8218 . . . 4 (𝐵𝑥 ↔ (𝐵𝑥 ∧ ¬ 𝐵𝑥))
1510, 13, 14sylanbrc 579 . . 3 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) → 𝐵𝑥)
165, 15vtoclg 3453 . 2 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴))
1716anabsi5 660 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3385  wss 3769  wpss 3770   class class class wbr 4843  ωcom 7299  cen 8192  cdom 8193  csdm 8194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-om 7300  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198
This theorem is referenced by:  php4  8389  nndomo  8396
  Copyright terms: Public domain W3C validator