Theorem php2 8898

Description: Corollary of Pigeonhole Principle. (Contributed by NM, 31-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
php2	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem php2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
2		psseq2 4019	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ⊊ 𝑥 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐴))
3	1, 2	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝑥) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴)))
4		breq2 5074	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ≺ 𝑥 ↔ 𝐵 ≺ 𝐴))
5	3, 4	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝑥) → 𝐵 ≺ 𝑥) ↔ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)))
6		vex 3426	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
7		pssss 4026	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝑥 → 𝐵 ⊆ 𝑥)
8		ssdomg 8741	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝐵 ⊆ 𝑥 → 𝐵 ≼ 𝑥))
9	6, 7, 8	mpsyl 68	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝑥 → 𝐵 ≼ 𝑥)
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝑥) → 𝐵 ≼ 𝑥)
11		php 8897	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝑥) → ¬ 𝑥 ≈ 𝐵)
12		ensym 8744	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≈ 𝑥 → 𝑥 ≈ 𝐵)
13	11, 12	nsyl 140	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝑥) → ¬ 𝐵 ≈ 𝑥)
14		brsdom 8718	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝑥 ↔ (𝐵 ≼ 𝑥 ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝑥))
15	10, 13, 14	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝑥) → 𝐵 ≺ 𝑥)
16	5, 15	vtoclg 3495	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴))
17	16	anabsi5 665	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   ⊊ wpss 3884   class class class wbr 5070  ωcom 7687   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689   ≺ csdm 8690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-om 7688  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694

This theorem is referenced by:  php4  8900  nndomog  8904