Theorem php2 9208

Description: Corollary of Pigeonhole Principle. (Contributed by NM, 31-May-1998.) Avoid ax-pow 5354. (Revised by BTernaryTau, 20-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
php2	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem php2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnfi 9164	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2		pssss 4088	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
3		ssdomfi 9196	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
4	3	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
5	1, 2, 4	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
6		php 9207	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
7		ensymfib 9184	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))
8	7	biimprd 247	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵))
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵))
11	6, 10	mtod 197	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
12		brsdom 8968	. 2 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 ↔ (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴))
13	5, 11, 12	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3941   ⊊ wpss 3942   class class class wbr 5139  ωcom 7849   ≈ cen 8933   ≼ cdom 8934   ≺ csdm 8935  Fincfn 8936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-om 7850  df-1o 8462  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940

This theorem is referenced by:  php3  9209  php4  9210  nndomog  9213  nndomogOLD  9223