MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  php2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem php2 9274
Description: Corollary of Pigeonhole Principle. (Contributed by NM, 31-May-1998.) Avoid ax-pow 5383. (Revised by BTernaryTau, 20-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
php2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem php2
StepHypRef Expression
1 nnfi 9233 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2 pssss 4121 . . 3 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
3 ssdomfi 9262 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
43imp 406 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
51, 2, 4syl2an 595 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
6 php 9273 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
7 ensymfib 9250 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
87biimprd 248 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐴𝐵))
91, 8syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴𝐴𝐵))
109adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵𝐴𝐴𝐵))
116, 10mtod 198 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐵𝐴)
12 brsdom 9035 . 2 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴))
135, 11, 12sylanbrc 582 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wcel 2108  wss 3976  wpss 3977   class class class wbr 5166  ωcom 7903  cen 9000  cdom 9001  csdm 9002  Fincfn 9003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-om 7904  df-1o 8522  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007
This theorem is referenced by:  php3  9275  php4  9276  nndomog  9279  nndomogOLD  9289
  Copyright terms: Public domain W3C validator