Theorem php2 9246

Description: Corollary of Pigeonhole Principle. (Contributed by NM, 31-May-1998.) Avoid ax-pow 5371. (Revised by BTernaryTau, 20-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
php2	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem php2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnfi 9206	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2		pssss 4108	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
3		ssdomfi 9234	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
4	3	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
5	1, 2, 4	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
6		php 9245	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
7		ensymfib 9222	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))
8	7	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵))
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ 𝐵))
11	6, 10	mtod 198	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
12		brsdom 9014	. 2 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 ↔ (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴))
13	5, 11, 12	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963   ⊊ wpss 3964   class class class wbr 5148  ωcom 7887   ≈ cen 8981   ≼ cdom 8982   ≺ csdm 8983  Fincfn 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988

This theorem is referenced by:  php3  9247  php4  9248  nndomog  9251  nndomogOLD  9261