Theorem nnsdomo 9233

Description: Cardinal ordering agrees with natural number ordering. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
nnsdomo	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐵))

Proof of Theorem nnsdomo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndomo 9232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
2		nneneq 9208	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
3	2	notbid 318	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ 𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵))
4	1, 3	anbi12d 630	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵)))
5		brsdom 8970	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
6		dfpss2 4080	. 2 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
7	4, 5, 6	3bitr4g 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943   ⊊ wpss 3944   class class class wbr 5141  ωcom 7851   ≈ cen 8935   ≼ cdom 8936   ≺ csdm 8937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7852  df-1o 8464  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942

This theorem is referenced by:  findcard3  9284  satfun  34929