Theorem nnsdomo 8752

Description: Cardinal ordering agrees with natural number ordering. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
nnsdomo	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐵))

Proof of Theorem nnsdomo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndomo 8751	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
2		nneneq 8722	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
3	2	notbid 321	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ 𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵))
4	1, 3	anbi12d 633	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵)))
5		brsdom 8550	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
6		dfpss2 3991	. 2 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵))
7	4, 5, 6	3bitr4g 317	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3858   ⊊ wpss 3859   class class class wbr 5032  ωcom 7579   ≈ cen 8524   ≼ cdom 8525   ≺ csdm 8526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-om 7580  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530

This theorem is referenced by:  satfun  32889