Theorem nnsdomgOLD 9306

Description: Obsolete version of nnsdomg 9305 as of 7-Jan-2025. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nnsdomgOLD	⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ≺ ω)

Proof of Theorem nnsdomgOLD

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdomg 8999	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ⊆ ω → 𝐴 ≼ ω))
2		ordom 7868	. . . 4 ⊢ Ord ω
3		ordelss 6381	. . . 4 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
4	2, 3	mpan 687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
5	1, 4	impel 505	. 2 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ≼ ω)
6		ominf 9261	. . . 4 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
7		ensym 9002	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ ω → ω ≈ 𝐴)
8		breq2 5153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (ω ≈ 𝑥 ↔ ω ≈ 𝐴))
9	8	rspcev 3613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥)
10		isfi 8975	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥)
11	9, 10	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝐴) → ω ∈ Fin)
12	11	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (ω ≈ 𝐴 → ω ∈ Fin))
13	7, 12	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≈ ω → ω ∈ Fin))
14	6, 13	mtoi 198	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ≈ ω)
15	14	adantl 481	. 2 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → ¬ 𝐴 ≈ ω)
16		brsdom 8974	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ ω ↔ (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≈ ω))
17	5, 15, 16	sylanbrc 582	1 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ≺ ω)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3069  Vcvv 3473   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149  Ord word 6364  ωcom 7858   ≈ cen 8939   ≼ cdom 8940   ≺ csdm 8941  Fincfn 8942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7859  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946

This theorem is referenced by: (None)