Theorem nnsdomgOLD 9336

Description: Obsolete version of nnsdomg 9335 as of 7-Jan-2025. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nnsdomgOLD	⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ≺ ω)

Proof of Theorem nnsdomgOLD

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdomg 9040	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ⊆ ω → 𝐴 ≼ ω))
2		ordom 7897	. . . 4 ⊢ Ord ω
3		ordelss 6400	. . . 4 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
4	2, 3	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
5	1, 4	impel 505	. 2 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ≼ ω)
6		ominf 9294	. . . 4 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
7		ensym 9043	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ ω → ω ≈ 𝐴)
8		breq2 5147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (ω ≈ 𝑥 ↔ ω ≈ 𝐴))
9	8	rspcev 3622	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥)
10		isfi 9016	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥)
11	9, 10	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝐴) → ω ∈ Fin)
12	11	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (ω ≈ 𝐴 → ω ∈ Fin))
13	7, 12	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≈ ω → ω ∈ Fin))
14	6, 13	mtoi 199	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ≈ ω)
15	14	adantl 481	. 2 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → ¬ 𝐴 ≈ ω)
16		brsdom 9015	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ ω ↔ (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≈ ω))
17	5, 15, 16	sylanbrc 583	1 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ≺ ω)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  Ord word 6383  ωcom 7887   ≈ cen 8982   ≼ cdom 8983   ≺ csdm 8984  Fincfn 8985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989

This theorem is referenced by: (None)