Theorem nnsdomgOLD 9247

Description: Obsolete version of nnsdomg 9246 as of 7-Jan-2025. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nnsdomgOLD	⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ≺ ω)

Proof of Theorem nnsdomgOLD

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdomg 8971	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ⊆ ω → 𝐴 ≼ ω))
2		ordom 7852	. . . 4 ⊢ Ord ω
3		ordelss 6348	. . . 4 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
4	2, 3	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
5	1, 4	impel 505	. 2 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ≼ ω)
6		ominf 9205	. . . 4 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
7		ensym 8974	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ ω → ω ≈ 𝐴)
8		breq2 5111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (ω ≈ 𝑥 ↔ ω ≈ 𝐴))
9	8	rspcev 3588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥)
10		isfi 8947	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥)
11	9, 10	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝐴) → ω ∈ Fin)
12	11	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (ω ≈ 𝐴 → ω ∈ Fin))
13	7, 12	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≈ ω → ω ∈ Fin))
14	6, 13	mtoi 199	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ≈ ω)
15	14	adantl 481	. 2 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → ¬ 𝐴 ≈ ω)
16		brsdom 8946	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ ω ↔ (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≈ ω))
17	5, 15, 16	sylanbrc 583	1 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ≺ ω)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  Ord word 6331  ωcom 7842   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916   ≺ csdm 8917  Fincfn 8918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922

This theorem is referenced by: (None)