Theorem ruc 16452

Description: The set of positive integers is strictly dominated by the set of real numbers, i.e. the real numbers are uncountable. The proof consists of lemmas ruclem1 16440 through ruclem13 16451 and this final piece. Our proof is based on the proof of Theorem 5.18 of [Truss] p. 114. See ruclem13 16451 for the function existence version of this theorem. For an informal discussion of this proof, see mmcomplex.html#uncountable 16451. For an alternate proof see rucALT 16439. This is Metamath 100 proof #22. (Contributed by NM, 13-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ruc	⊢ ℕ ≺ ℝ

Proof of Theorem ruc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11328	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
2		nnssre 12377	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		ssdomg 9063	. . 3 ⊢ (ℝ ∈ V → (ℕ ⊆ ℝ → ℕ ≼ ℝ))
4	1, 2, 3	mp2 9	. 2 ⊢ ℕ ≼ ℝ
5		ruclem13 16451	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑓:ℕ⟶ontoℝ
6		f1ofo 6860	. . . . 5 ⊢ (𝑓:ℕ⟶1-1ontoℝ → 𝑓:ℕ⟶ontoℝ)
7	5, 6	mto 200	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑓:ℕ⟶1-1ontoℝ
8	7	nex 1833	. . 3 ⊢ ¬ ∃𝑓 𝑓:ℕ⟶1-1ontoℝ
9		bren 9019	. . 3 ⊢ (ℕ ≈ ℝ ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ⟶1-1ontoℝ)
10	8, 9	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ ℕ ≈ ℝ
11		brsdom 9037	. 2 ⊢ (ℕ ≺ ℝ ↔ (ℕ ≼ ℝ ∧ ¬ ℕ ≈ ℝ))
12	4, 10, 11	mpbir2an 724	1 ⊢ ℕ ≺ ℝ

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  ⟶ontowfo 6562  ⟶1-1ontowf1o 6563   ≈ cen 9006   ≼ cdom 9007   ≺ csdm 9008  ℝcr 11236  ℕcn 12373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-sup 9469  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-fz 13678  df-seq 14183

This theorem is used by:  resdomq  16453  aleph1re  16454  aleph1irr  16455