Theorem ruc 16295

Description: The set of positive integers is strictly dominated by the set of real numbers, i.e. the real numbers are uncountable. The proof consists of lemmas ruclem1 16283 through ruclem13 16294 and this final piece. Our proof is based on the proof of Theorem 5.18 of [Truss] p. 114. See ruclem13 16294 for the function existence version of this theorem. For an informal discussion of this proof, see mmcomplex.html#uncountable 16294. For an alternate proof see rucALT 16282. This is Metamath 100 proof #22. (Contributed by NM, 13-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ruc	⊢ ℕ ≺ ℝ

Proof of Theorem ruc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11187	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
2		nnssre 12233	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		ssdomg 8993	. . 3 ⊢ (ℝ ∈ V → (ℕ ⊆ ℝ → ℕ ≼ ℝ))
4	1, 2, 3	mp2 9	. 2 ⊢ ℕ ≼ ℝ
5		ruclem13 16294	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑓:ℕ–onto→ℝ
6		f1ofo 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→ℝ → 𝑓:ℕ–onto→ℝ)
7	5, 6	mto 200	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑓:ℕ–1-1-onto→ℝ
8	7	nex 1827	. . 3 ⊢ ¬ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→ℝ
9		bren 8949	. . 3 ⊢ (ℕ ≈ ℝ ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→ℝ)
10	8, 9	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ ℕ ≈ ℝ
11		brsdom 8967	. 2 ⊢ (ℕ ≺ ℝ ↔ (ℕ ≼ ℝ ∧ ¬ ℕ ≈ ℝ))
12	4, 10, 11	mpbir2an 723	1 ⊢ ℕ ≺ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110  –onto→wfo 6531  –1-1-onto→wf1o 6532   ≈ cen 8936   ≼ cdom 8937   ≺ csdm 8938  ℝcr 11095  ℕcn 12229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-seq 14034

This theorem is referenced by:  resdomq  16296  aleph1re  16297  aleph1irr  16298