Theorem ruc 15880

Description: The set of positive integers is strictly dominated by the set of real numbers, i.e. the real numbers are uncountable. The proof consists of lemmas ruclem1 15868 through ruclem13 15879 and this final piece. Our proof is based on the proof of Theorem 5.18 of [Truss] p. 114. See ruclem13 15879 for the function existence version of this theorem. For an informal discussion of this proof, see mmcomplex.html#uncountable 15879. For an alternate proof see rucALT 15867. This is Metamath 100 proof #22. (Contributed by NM, 13-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ruc	⊢ ℕ ≺ ℝ

Proof of Theorem ruc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 10893	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
2		nnssre 11907	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		ssdomg 8741	. . 3 ⊢ (ℝ ∈ V → (ℕ ⊆ ℝ → ℕ ≼ ℝ))
4	1, 2, 3	mp2 9	. 2 ⊢ ℕ ≼ ℝ
5		ruclem13 15879	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑓:ℕ–onto→ℝ
6		f1ofo 6707	. . . . 5 ⊢ (𝑓:ℕ–1-1-onto→ℝ → 𝑓:ℕ–onto→ℝ)
7	5, 6	mto 196	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑓:ℕ–1-1-onto→ℝ
8	7	nex 1804	. . 3 ⊢ ¬ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→ℝ
9		bren 8701	. . 3 ⊢ (ℕ ≈ ℝ ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto→ℝ)
10	8, 9	mtbir 322	. 2 ⊢ ¬ ℕ ≈ ℝ
11		brsdom 8718	. 2 ⊢ (ℕ ≺ ℝ ↔ (ℕ ≼ ℝ ∧ ¬ ℕ ≈ ℝ))
12	4, 10, 11	mpbir2an 707	1 ⊢ ℕ ≺ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  –onto→wfo 6416  –1-1-onto→wf1o 6417   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689   ≺ csdm 8690  ℝcr 10801  ℕcn 11903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-seq 13650

This theorem is referenced by:  resdomq  15881  aleph1re  15882  aleph1irr  15883