Theorem sdomdomtrfi 9232

Description: Transitivity of strict dominance and dominance when 𝐴 is finite, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike sdomdomtr 9138). (Contributed by BTernaryTau, 25-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sdomdomtrfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem sdomdomtrfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 9001	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtrfil 9223	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	syl3an2 1161	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
4		simp1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐴 ∈ Fin)
5		ensymfib 9215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐶 ↔ 𝐶 ≈ 𝐴))
6	5	biimpa 475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐶 ≈ 𝐴)
7	6	3adant2 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐶 ≈ 𝐴)
8		endom 9000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐴 → 𝐶 ≼ 𝐴)
9		domtrfir 9225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐶 ≼ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
10	8, 9	syl3an3 1162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐶 ≈ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
11	7, 10	syld3an3 1406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝐴)
12		domfi 9220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
13		domnsymfi 9231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
14	12, 13	sylancom 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
15	4, 11, 14	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
16	15	3expia 1118	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → (𝐴 ≈ 𝐶 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
17	16	con2d 134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
18	17	3impia 1114	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶)
19	18	3com23 1123	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶)
20		brsdom 8996	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐶 ↔ (𝐴 ≼ 𝐶 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
21	3, 19, 20	sylanbrc 581	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149   ≈ cen 8961   ≼ cdom 8962   ≺ csdm 8963  Fincfn 8964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-om 7872  df-1o 8487  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968

This theorem is referenced by:  php3  9240  sucdom  9263  findcard3  9313  infsdomnn  9333