MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomdomtrfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomdomtrfi 9239
Description: Transitivity of strict dominance and dominance when 𝐴 is finite, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike sdomdomtr 9149). (Contributed by BTernaryTau, 25-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
sdomdomtrfi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem sdomdomtrfi
StepHypRef Expression
1 sdomdom 9019 . . 3 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
2 domtrfil 9230 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2syl3an2 1163 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
4 simp1 1135 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐶𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ Fin)
5 ensymfib 9222 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐶𝐶𝐴))
65biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶𝐴)
763adant2 1130 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐶𝐴𝐶) → 𝐶𝐴)
8 endom 9018 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴𝐶𝐴)
9 domtrfir 9232 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐵𝐴)
108, 9syl3an3 1164 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐵𝐴)
117, 10syld3an3 1408 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐶𝐴𝐶) → 𝐵𝐴)
12 domfi 9227 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
13 domnsymfi 9238 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
1412, 13sylancom 588 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
154, 11, 14syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐶𝐴𝐶) → ¬ 𝐴𝐵)
16153expia 1120 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴𝐶 → ¬ 𝐴𝐵))
1716con2d 134 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐶))
18173impia 1116 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐶𝐴𝐵) → ¬ 𝐴𝐶)
19183com23 1125 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → ¬ 𝐴𝐶)
20 brsdom 9014 . 2 (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐶 ∧ ¬ 𝐴𝐶))
213, 19, 20sylanbrc 583 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086  wcel 2106   class class class wbr 5148  cen 8981  cdom 8982  csdm 8983  Fincfn 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988
This theorem is referenced by:  php3  9247  sucdom  9269  findcard3  9316  infsdomnn  9336  fodomfib  9367  fisdomnn  42264
  Copyright terms: Public domain W3C validator