Theorem sdomdomtrfi 9220

Description: Transitivity of strict dominance and dominance when 𝐴 is finite, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike sdomdomtr 9129). (Contributed by BTernaryTau, 25-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sdomdomtrfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem sdomdomtrfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8999	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtrfil 9211	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	syl3an2 1164	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
4		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐴 ∈ Fin)
5		ensymfib 9203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐶 ↔ 𝐶 ≈ 𝐴))
6	5	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐶 ≈ 𝐴)
7	6	3adant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐶 ≈ 𝐴)
8		endom 8998	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐴 → 𝐶 ≼ 𝐴)
9		domtrfir 9213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐶 ≼ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
10	8, 9	syl3an3 1165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐶 ≈ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
11	7, 10	syld3an3 1411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝐴)
12		domfi 9208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
13		domnsymfi 9219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
14	12, 13	sylancom 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
15	4, 11, 14	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
16	15	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → (𝐴 ≈ 𝐶 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
17	16	con2d 134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
18	17	3impia 1117	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶)
19	18	3com23 1126	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶)
20		brsdom 8994	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐶 ↔ (𝐴 ≼ 𝐶 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
21	3, 19, 20	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124   ≈ cen 8961   ≼ cdom 8962   ≺ csdm 8963  Fincfn 8964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7867  df-1o 8485  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968

This theorem is referenced by:  php3  9228  sucdom  9248  findcard3  9295  infsdomnn  9315  fodomfib  9346  fisdomnn  42262