Theorem sdomdomtrfi 9206

Description: Transitivity of strict dominance and dominance when 𝐴 is finite, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike sdomdomtr 9112). (Contributed by BTernaryTau, 25-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sdomdomtrfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem sdomdomtrfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8978	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtrfil 9197	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	syl3an2 1161	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
4		simp1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐴 ∈ Fin)
5		ensymfib 9189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐶 ↔ 𝐶 ≈ 𝐴))
6	5	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐶 ≈ 𝐴)
7	6	3adant2 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐶 ≈ 𝐴)
8		endom 8977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐴 → 𝐶 ≼ 𝐴)
9		domtrfir 9199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐶 ≼ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
10	8, 9	syl3an3 1162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐶 ≈ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
11	7, 10	syld3an3 1406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝐴)
12		domfi 9194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
13		domnsymfi 9205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
14	12, 13	sylancom 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
15	4, 11, 14	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
16	15	3expia 1118	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → (𝐴 ≈ 𝐶 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
17	16	con2d 134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
18	17	3impia 1114	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶)
19	18	3com23 1123	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶)
20		brsdom 8973	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐶 ↔ (𝐴 ≼ 𝐶 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
21	3, 19, 20	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141   ≈ cen 8938   ≼ cdom 8939   ≺ csdm 8940  Fincfn 8941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7853  df-1o 8467  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945

This theorem is referenced by:  php3  9214  sucdom  9237  findcard3  9287  infsdomnn  9307