Theorem sdomdomtrfi 9194

Description: Transitivity of strict dominance and dominance when 𝐴 is finite, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike sdomdomtr 9107). (Contributed by BTernaryTau, 25-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sdomdomtrfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem sdomdomtrfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8985	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtrfil 9185	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	syl3an2 1182	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
4		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐴 ∈ Fin)
5		ensymfib 9177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐶 ↔ 𝐶 ≈ 𝐴))
6	5	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐶 ≈ 𝐴)
7	6	3adant2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐶 ≈ 𝐴)
8		endom 8984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐴 → 𝐶 ≼ 𝐴)
9		domtrfir 9187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐶 ≼ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
10	8, 9	syl3an3 1183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐶 ≈ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
11	7, 10	syld3an3 1436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝐴)
12		domfi 9182	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
13		domnsymfi 9193	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
14	12, 13	sylancom 600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
15	4, 11, 14	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
16	15	3expia 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → (𝐴 ≈ 𝐶 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
17	16	con2d 135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
18	17	3impia 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶)
19	18	3com23 1144	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶)
20		brsdom 8979	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐶 ↔ (𝐴 ≼ 𝐶 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
21	3, 19, 20	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102   ≈ cen 8948   ≼ cdom 8949   ≺ csdm 8950  Fincfn 8951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-om 7861  df-1o 8454  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955

This theorem is used by:  php3  9202  sucdom  9213  findcard3  9252  infsdomnn  9271  fodomfib  9298  fisdomnn  43215