MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomdomtrfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomdomtrfi 9242
Description: Transitivity of strict dominance and dominance when 𝐴 is finite, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike sdomdomtr 9151). (Contributed by BTernaryTau, 25-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
sdomdomtrfi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem sdomdomtrfi
StepHypRef Expression
1 sdomdom 9021 . . 3 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
2 domtrfil 9233 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2syl3an2 1164 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
4 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐶𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ Fin)
5 ensymfib 9225 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐶𝐶𝐴))
65biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶𝐴)
763adant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐶𝐴𝐶) → 𝐶𝐴)
8 endom 9020 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴𝐶𝐴)
9 domtrfir 9235 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐵𝐴)
108, 9syl3an3 1165 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐶𝐶𝐴) → 𝐵𝐴)
117, 10syld3an3 1410 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐶𝐴𝐶) → 𝐵𝐴)
12 domfi 9230 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
13 domnsymfi 9241 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
1412, 13sylancom 588 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
154, 11, 14syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐶𝐴𝐶) → ¬ 𝐴𝐵)
16153expia 1121 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴𝐶 → ¬ 𝐴𝐵))
1716con2d 134 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐶))
18173impia 1117 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐶𝐴𝐵) → ¬ 𝐴𝐶)
19183com23 1126 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → ¬ 𝐴𝐶)
20 brsdom 9016 . 2 (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐶 ∧ ¬ 𝐴𝐶))
213, 19, 20sylanbrc 583 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086  wcel 2107   class class class wbr 5142  cen 8983  cdom 8984  csdm 8985  Fincfn 8986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-om 7889  df-1o 8507  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990
This theorem is referenced by:  php3  9250  sucdom  9272  findcard3  9319  infsdomnn  9339  fodomfib  9370  fisdomnn  42285
  Copyright terms: Public domain W3C validator