Theorem sdomdomtrfi 9127

Description: Transitivity of strict dominance and dominance when 𝐴 is finite, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike sdomdomtr 9040). (Contributed by BTernaryTau, 25-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sdomdomtrfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem sdomdomtrfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8919	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtrfil 9118	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	syl3an2 1165	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
4		simp1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐴 ∈ Fin)
5		ensymfib 9110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐶 ↔ 𝐶 ≈ 𝐴))
6	5	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐶 ≈ 𝐴)
7	6	3adant2 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐶 ≈ 𝐴)
8		endom 8918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐴 → 𝐶 ≼ 𝐴)
9		domtrfir 9120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐶 ≼ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
10	8, 9	syl3an3 1166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐶 ≈ 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝐴)
11	7, 10	syld3an3 1412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝐴)
12		domfi 9115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
13		domnsymfi 9126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
14	12, 13	sylancom 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
15	4, 11, 14	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
16	15	3expia 1122	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → (𝐴 ≈ 𝐶 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
17	16	con2d 134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
18	17	3impia 1118	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≼ 𝐶 ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶)
19	18	3com23 1127	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶)
20		brsdom 8913	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐶 ↔ (𝐴 ≼ 𝐶 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
21	3, 19, 20	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5097   ≈ cen 8882   ≼ cdom 8883   ≺ csdm 8884  Fincfn 8885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-om 7809  df-1o 8397  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889

This theorem is referenced by:  php3  9135  sucdom  9146  findcard3  9185  infsdomnn  9203  fodomfib  9231  fisdomnn  42536