MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canthp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem canthp1 10595
Description: A slightly stronger form of Cantor's theorem: For 1 < 𝑛, 𝑛 + 1 < 2↑𝑛. Corollary 1.6 of [KanamoriPincus] p. 417. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
canthp1 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canthp1
Dummy variables 𝑓 𝑎 𝑔 𝑟 𝑠 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1sdom2 9187 . . . . 5 1o ≺ 2o
2 sdomdom 8923 . . . . 5 (1o ≺ 2o → 1o ≼ 2o)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 1o ≼ 2o
4 relsdom 8893 . . . . 5 Rel ≺
54brrelex2i 5690 . . . 4 (1o𝐴𝐴 ∈ V)
6 djudom2 10124 . . . 4 ((1o ≼ 2o𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 2o))
73, 5, 6sylancr 588 . . 3 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 2o))
8 canthp1lem1 10593 . . 3 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
9 domtr 8950 . . 3 (((𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 2o) ∧ (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴)
107, 8, 9syl2anc 585 . 2 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴)
11 fal 1556 . . 3 ¬ ⊥
12 ensym 8946 . . . . 5 ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
13 bren 8896 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o))
1412, 13sylib 217 . . . 4 ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o))
15 f1of 6785 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) → 𝑓:𝒫 𝐴⟶(𝐴 ⊔ 1o))
16 pwidg 4581 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
175, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (1o𝐴𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
18 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝒫 𝐴⟶(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑓𝐴) ∈ (𝐴 ⊔ 1o))
1915, 17, 18syl2anr 598 . . . . . . . . 9 ((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → (𝑓𝐴) ∈ (𝐴 ⊔ 1o))
20 dju1dif 10113 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑓𝐴) ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐴)
215, 19, 20syl2an2r 684 . . . . . . . 8 ((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐴)
22 bren 8896 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
2321, 22sylib 217 . . . . . . 7 ((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → ∃𝑔 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
24 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) ∧ 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → 1o𝐴)
25 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) ∧ 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o))
26 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) ∧ 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
27 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = 𝐴𝑥 = 𝐴))
28 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥𝑤 = 𝑥)
2927, 28ifbieq2d 4513 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑥 → if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤) = if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))
3029cbvmptv 5219 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))
3130coeq2i 5817 . . . . . . . . 9 ((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤))) = ((𝑔𝑓) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))
32 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))} = {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))}
3332fpwwecbv 10585 . . . . . . . . 9 {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))} = {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥)) ∧ (𝑟 We 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑟 “ {𝑦})) = 𝑦))}
34 eqid 2733 . . . . . . . . 9 dom {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))} = dom {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))}
3524, 25, 26, 31, 33, 34canthp1lem2 10594 . . . . . . . 8 ¬ ((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) ∧ 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
3635pm2.21i 119 . . . . . . 7 (((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) ∧ 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → ⊥)
3723, 36exlimddv 1939 . . . . . 6 ((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → ⊥)
3837ex 414 . . . . 5 (1o𝐴 → (𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ⊥))
3938exlimdv 1937 . . . 4 (1o𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ⊥))
4014, 39syl5 34 . . 3 (1o𝐴 → ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴 → ⊥))
4111, 40mtoi 198 . 2 (1o𝐴 → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
42 brsdom 8918 . 2 ((𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴 ↔ ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴))
4310, 41, 42sylanbrc 584 1 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wfal 1554  wex 1782  wcel 2107  wral 3061  Vcvv 3444  cdif 3908  wss 3911  c0 4283  ifcif 4487  𝒫 cpw 4561  {csn 4587   cuni 4866   class class class wbr 5106  {copab 5168  cmpt 5189   We wwe 5588   × cxp 5632  ccnv 5633  dom cdm 5634  cima 5637  ccom 5638  wf 6493  1-1-ontowf1o 6496  cfv 6497  1oc1o 8406  2oc2o 8407  cen 8883  cdom 8884  csdm 8885  cdju 9839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880
This theorem is referenced by:  finngch  10596  gchdju1  10597
  Copyright terms: Public domain W3C validator