MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canthp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem canthp1 10688
Description: A slightly stronger form of Cantor's theorem: For 1 < 𝑛, 𝑛 + 1 < 2↑𝑛. Corollary 1.6 of [KanamoriPincus] p. 417. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
canthp1 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canthp1
Dummy variables 𝑓 𝑎 𝑔 𝑟 𝑠 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1sdom2 9267 . . . . 5 1o ≺ 2o
2 sdomdom 9003 . . . . 5 (1o ≺ 2o → 1o ≼ 2o)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 1o ≼ 2o
4 relsdom 8973 . . . . 5 Rel ≺
54brrelex2i 5731 . . . 4 (1o𝐴𝐴 ∈ V)
6 djudom2 10219 . . . 4 ((1o ≼ 2o𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 2o))
73, 5, 6sylancr 585 . . 3 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 2o))
8 canthp1lem1 10686 . . 3 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
9 domtr 9030 . . 3 (((𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 2o) ∧ (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴)
107, 8, 9syl2anc 582 . 2 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴)
11 fal 1548 . . 3 ¬ ⊥
12 ensym 9026 . . . . 5 ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
13 bren 8976 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o))
1412, 13sylib 217 . . . 4 ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o))
15 f1of 6835 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) → 𝑓:𝒫 𝐴⟶(𝐴 ⊔ 1o))
16 pwidg 4617 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
175, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (1o𝐴𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
18 ffvelcdm 7087 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝒫 𝐴⟶(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑓𝐴) ∈ (𝐴 ⊔ 1o))
1915, 17, 18syl2anr 595 . . . . . . . . 9 ((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → (𝑓𝐴) ∈ (𝐴 ⊔ 1o))
20 dju1dif 10208 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑓𝐴) ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐴)
215, 19, 20syl2an2r 683 . . . . . . . 8 ((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐴)
22 bren 8976 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
2321, 22sylib 217 . . . . . . 7 ((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → ∃𝑔 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
24 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) ∧ 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → 1o𝐴)
25 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) ∧ 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o))
26 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) ∧ 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
27 eqeq1 2730 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = 𝐴𝑥 = 𝐴))
28 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥𝑤 = 𝑥)
2927, 28ifbieq2d 4549 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑥 → if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤) = if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))
3029cbvmptv 5258 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))
3130coeq2i 5859 . . . . . . . . 9 ((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤))) = ((𝑔𝑓) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))
32 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))} = {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))}
3332fpwwecbv 10678 . . . . . . . . 9 {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))} = {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥)) ∧ (𝑟 We 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑟 “ {𝑦})) = 𝑦))}
34 eqid 2726 . . . . . . . . 9 dom {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))} = dom {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))}
3524, 25, 26, 31, 33, 34canthp1lem2 10687 . . . . . . . 8 ¬ ((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) ∧ 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
3635pm2.21i 119 . . . . . . 7 (((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) ∧ 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → ⊥)
3723, 36exlimddv 1931 . . . . . 6 ((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → ⊥)
3837ex 411 . . . . 5 (1o𝐴 → (𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ⊥))
3938exlimdv 1929 . . . 4 (1o𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ⊥))
4014, 39syl5 34 . . 3 (1o𝐴 → ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴 → ⊥))
4111, 40mtoi 198 . 2 (1o𝐴 → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
42 brsdom 8998 . 2 ((𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴 ↔ ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴))
4310, 41, 42sylanbrc 581 1 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wfal 1546  wex 1774  wcel 2099  wral 3051  Vcvv 3462  cdif 3943  wss 3946  c0 4322  ifcif 4523  𝒫 cpw 4597  {csn 4623   cuni 4905   class class class wbr 5145  {copab 5207  cmpt 5228   We wwe 5628   × cxp 5672  ccnv 5673  dom cdm 5674  cima 5677  ccom 5678  wf 6542  1-1-ontowf1o 6545  cfv 6546  1oc1o 8481  2oc2o 8482  cen 8963  cdom 8964  csdm 8965  cdju 9934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-oi 9546  df-dju 9937  df-card 9975
This theorem is referenced by:  finngch  10689  gchdju1  10690
  Copyright terms: Public domain W3C validator