MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canthp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem canthp1 9911
Description: A slightly stronger form of Cantor's theorem: For 1 < 𝑛, 𝑛 + 1 < 2↑𝑛. Corollary 1.6 of [KanamoriPincus] p. 417. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
canthp1 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canthp1
Dummy variables 𝑓 𝑎 𝑔 𝑟 𝑠 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1sdom2 8553 . . . . 5 1o ≺ 2o
2 sdomdom 8375 . . . . 5 (1o ≺ 2o → 1o ≼ 2o)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 1o ≼ 2o
4 relsdom 8354 . . . . 5 Rel ≺
54brrelex2i 5487 . . . 4 (1o𝐴𝐴 ∈ V)
6 djudom2 9444 . . . 4 ((1o ≼ 2o𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 2o))
73, 5, 6sylancr 587 . . 3 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 2o))
8 canthp1lem1 9909 . . 3 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
9 domtr 8400 . . 3 (((𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 2o) ∧ (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴)
107, 8, 9syl2anc 584 . 2 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴)
11 fal 1534 . . 3 ¬ ⊥
12 ensym 8396 . . . . 5 ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
13 bren 8356 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o))
1412, 13sylib 219 . . . 4 ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o))
15 f1of 6475 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) → 𝑓:𝒫 𝐴⟶(𝐴 ⊔ 1o))
16 pwidg 4462 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
175, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (1o𝐴𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
18 ffvelrn 6705 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝒫 𝐴⟶(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑓𝐴) ∈ (𝐴 ⊔ 1o))
1915, 17, 18syl2anr 596 . . . . . . . . 9 ((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → (𝑓𝐴) ∈ (𝐴 ⊔ 1o))
20 dju1dif 9433 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑓𝐴) ∈ (𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐴)
215, 19, 20syl2an2r 681 . . . . . . . 8 ((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐴)
22 bren 8356 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
2321, 22sylib 219 . . . . . . 7 ((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → ∃𝑔 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
24 simpll 763 . . . . . . . . 9 (((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) ∧ 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → 1o𝐴)
25 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) ∧ 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o))
26 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) ∧ 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
27 eqeq1 2797 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = 𝐴𝑥 = 𝐴))
28 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥𝑤 = 𝑥)
2927, 28ifbieq2d 4400 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑥 → if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤) = if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))
3029cbvmptv 5055 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))
3130coeq2i 5609 . . . . . . . . 9 ((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤))) = ((𝑔𝑓) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))
32 eqid 2793 . . . . . . . . . 10 {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))} = {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))}
3332fpwwecbv 9901 . . . . . . . . 9 {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))} = {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥)) ∧ (𝑟 We 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑟 “ {𝑦})) = 𝑦))}
34 eqid 2793 . . . . . . . . 9 dom {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))} = dom {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 (((𝑔𝑓) ∘ (𝑤 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑤 = 𝐴, ∅, 𝑤)))‘(𝑠 “ {𝑧})) = 𝑧))}
3524, 25, 26, 31, 33, 34canthp1lem2 9910 . . . . . . . 8 ¬ ((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) ∧ 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴)
3635pm2.21i 119 . . . . . . 7 (((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) ∧ 𝑔:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝑓𝐴)})–1-1-onto𝐴) → ⊥)
3723, 36exlimddv 1911 . . . . . 6 ((1o𝐴𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → ⊥)
3837ex 413 . . . . 5 (1o𝐴 → (𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ⊥))
3938exlimdv 1909 . . . 4 (1o𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) → ⊥))
4014, 39syl5 34 . . 3 (1o𝐴 → ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴 → ⊥))
4111, 40mtoi 200 . 2 (1o𝐴 → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
42 brsdom 8370 . 2 ((𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴 ↔ ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴))
4310, 41, 42sylanbrc 583 1 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1520  wfal 1532  wex 1759  wcel 2079  wral 3103  Vcvv 3432  cdif 3851  wss 3854  c0 4206  ifcif 4375  𝒫 cpw 4447  {csn 4466   cuni 4739   class class class wbr 4956  {copab 5018  cmpt 5035   We wwe 5393   × cxp 5433  ccnv 5434  dom cdm 5435  cima 5438  ccom 5439  wf 6213  1-1-ontowf1o 6216  cfv 6217  1oc1o 7937  2oc2o 7938  cen 8344  cdom 8345  csdm 8346  cdju 9162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-inf2 8939
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-fal 1533  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-2o 7945  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-oi 8810  df-dju 9165  df-card 9203
This theorem is referenced by:  finngch  9912  gchdju1  9913
  Copyright terms: Public domain W3C validator