Theorem domsdomtrfi 9255

Description: Transitivity of dominance and strict dominance when 𝐴 is finite, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike domsdomtr 9169). (Contributed by BTernaryTau, 25-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
domsdomtrfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem domsdomtrfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 9045	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtrfil 9245	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	syl3an3 1183	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
4		ensymfib 9237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐶 ↔ 𝐶 ≈ 𝐴))
5	4	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐶 ≈ 𝐴)
6	5	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ≈ 𝐴)
7		enfii 9239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 𝐴) → 𝐶 ∈ Fin)
8	7	3adant3 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
9		endom 9044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐴 → 𝐶 ≼ 𝐴)
10		domtrfi 9246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ≼ 𝐵)
11	9, 10	syl3an2 1182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ≼ 𝐵)
12	8, 11	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≼ 𝐵))
13	6, 12	syld3an2 1439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≼ 𝐵))
14		domnsymfi 9253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶)
15	13, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶)
16	15	3com23 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶)
17	16	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ≈ 𝐶 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶))
18	17	con2d 135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 ≺ 𝐶 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
19	18	3impia 1135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶)
20		brsdom 9039	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐶 ↔ (𝐴 ≼ 𝐶 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
21	3, 19, 20	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108   ≈ cen 9008   ≼ cdom 9009   ≺ csdm 9010  Fincfn 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-om 7912  df-1o 8514  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015

This theorem is used by:  php3  9262  f1finf1o  9302  findcard3  9312