Theorem domsdomtrfi 9193

Description: Transitivity of dominance and strict dominance when 𝐴 is finite, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike domsdomtr 9107). (Contributed by BTernaryTau, 25-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
domsdomtrfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem domsdomtrfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8983	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtrfil 9183	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	syl3an3 1183	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
4		ensymfib 9175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐶 ↔ 𝐶 ≈ 𝐴))
5	4	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐶 ≈ 𝐴)
6	5	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ≈ 𝐴)
7		enfii 9177	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 𝐴) → 𝐶 ∈ Fin)
8	7	3adant3 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
9		endom 8982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐴 → 𝐶 ≼ 𝐴)
10		domtrfi 9184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ≼ 𝐵)
11	9, 10	syl3an2 1182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ≼ 𝐵)
12	8, 11	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≼ 𝐵))
13	6, 12	syld3an2 1438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≼ 𝐵))
14		domnsymfi 9191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶)
15	13, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶)
16	15	3com23 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶)
17	16	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ≈ 𝐶 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶))
18	17	con2d 135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 ≺ 𝐶 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
19	18	3impia 1135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶)
20		brsdom 8977	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐶 ↔ (𝐴 ≼ 𝐶 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
21	3, 19, 20	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111   ≈ cen 8946   ≼ cdom 8947   ≺ csdm 8948  Fincfn 8949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7869  df-1o 8459  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953

This theorem is used by:  php3  9200  f1finf1o  9240  findcard3  9250