Theorem domsdomtrfi 9166

Description: Transitivity of dominance and strict dominance when 𝐴 is finite, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike domsdomtr 9076). (Contributed by BTernaryTau, 25-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
domsdomtrfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem domsdomtrfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8951	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtrfil 9156	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	syl3an3 1165	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
4		ensymfib 9148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐶 ↔ 𝐶 ≈ 𝐴))
5	4	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐶 ≈ 𝐴)
6	5	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ≈ 𝐴)
7		enfii 9150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 𝐴) → 𝐶 ∈ Fin)
8	7	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
9		endom 8950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐴 → 𝐶 ≼ 𝐴)
10		domtrfi 9157	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ≼ 𝐵)
11	9, 10	syl3an2 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ≼ 𝐵)
12	8, 11	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≼ 𝐵))
13	6, 12	syld3an2 1413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≼ 𝐵))
14		domnsymfi 9164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶)
16	15	3com23 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶)
17	16	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ≈ 𝐶 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶))
18	17	con2d 134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 ≺ 𝐶 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
19	18	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶)
20		brsdom 8946	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐶 ↔ (𝐴 ≼ 𝐶 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
21	3, 19, 20	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916   ≺ csdm 8917  Fincfn 8918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-1o 8434  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922

This theorem is referenced by:  php3  9173  f1finf1o  9216  findcard3  9229