Theorem domsdomtrfi 9138

Description: Transitivity of dominance and strict dominance when 𝐴 is finite, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike domsdomtr 9052). (Contributed by BTernaryTau, 25-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
domsdomtrfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem domsdomtrfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8929	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtrfil 9128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	syl3an3 1166	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
4		ensymfib 9120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐶 ↔ 𝐶 ≈ 𝐴))
5	4	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → 𝐶 ≈ 𝐴)
6	5	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ≈ 𝐴)
7		enfii 9122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 𝐴) → 𝐶 ∈ Fin)
8	7	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
9		endom 8928	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ≈ 𝐴 → 𝐶 ≼ 𝐴)
10		domtrfi 9129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ≼ 𝐵)
11	9, 10	syl3an2 1165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ≼ 𝐵)
12	8, 11	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≼ 𝐵))
13	6, 12	syld3an2 1414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≼ 𝐵))
14		domnsymfi 9136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐶 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶)
16	15	3com23 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐶) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶)
17	16	3expia 1122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ≈ 𝐶 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐶))
18	17	con2d 134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 ≺ 𝐶 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
19	18	3impia 1118	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐶)
20		brsdom 8923	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐶 ↔ (𝐴 ≼ 𝐶 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐶))
21	3, 19, 20	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893   ≺ csdm 8894  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7819  df-1o 8407  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899

This theorem is referenced by:  php3  9145  f1finf1o  9185  findcard3  9195