Theorem ccatfn 14479

Description: The concatenation operator is a two-argument function. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ccatfn	⊢ ++ Fn (V × V)

Proof of Theorem ccatfn

Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-concat 14478	. 2 ⊢ ++ = (𝑠 ∈ V, 𝑡 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))))))
2		ovex 7379	. . 3 ⊢ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ∈ V
3	2	mptex 7157	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))))) ∈ V
4	1, 3	fnmpoi 8002	1 ⊢ ++ Fn (V × V)

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ifcif 4472   ↦ cmpt 5170   × cxp 5612   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006   + caddc 11009   − cmin 11344  ..^cfzo 13554  ♯chash 14237   ++ cconcat 14477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-concat 14478

This theorem is referenced by:  frmdplusg  18762  elrgspnlem2  33210