Theorem ccatfn 14203

Description: The concatenation operator is a two-argument function. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ccatfn	⊢ ++ Fn (V × V)

Proof of Theorem ccatfn

Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-concat 14202	. 2 ⊢ ++ = (𝑠 ∈ V, 𝑡 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))))))
2		ovex 7288	. . 3 ⊢ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ∈ V
3	2	mptex 7081	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))))) ∈ V
4	1, 3	fnmpoi 7883	1 ⊢ ++ Fn (V × V)

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ifcif 4456   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578   Fn wfn 6413  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802   + caddc 10805   − cmin 11135  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972   ++ cconcat 14201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-concat 14202

This theorem is referenced by:  frmdplusg  18408