MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatfn 13668
Description: The concatenation operator is a two-argument function. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccatfn ++ Fn (V × V)

Proof of Theorem ccatfn
Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-concat 13667 . 2 ++ = (𝑠 ∈ V, 𝑡 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))))))
2 ovex 6956 . . 3 (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ∈ V
32mptex 6760 . 2 (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))))) ∈ V
41, 3fnmpt2i 7521 1 ++ Fn (V × V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  Vcvv 3398  ifcif 4307  cmpt 4967   × cxp 5355   Fn wfn 6132  cfv 6137  (class class class)co 6924  0cc0 10274   + caddc 10277  cmin 10608  ..^cfzo 12789  chash 13441   ++ cconcat 13666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-concat 13667
This theorem is referenced by:  frmdplusg  17789
  Copyright terms: Public domain W3C validator