Theorem ccatfval 14621

Description: Value of the concatenation operator. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ccatfval	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ccatfval

Dummy variables 𝑡 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3509	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ V)
2		elex 3509	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑇 ∈ V)
3		fveq2 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (♯‘𝑠) = (♯‘𝑆))
4		fveq2 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (♯‘𝑡) = (♯‘𝑇))
5	3, 4	oveqan12d 7467	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → ((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
6	5	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) = (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
7	3	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (0..^(♯‘𝑠)) = (0..^(♯‘𝑆)))
8	7	eleq2d 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
10		fveq1 6919	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (𝑠‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → 𝑡 = 𝑇)
13	3	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑥 − (♯‘𝑠)) = (𝑥 − (♯‘𝑆)))
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (𝑥 − (♯‘𝑠)) = (𝑥 − (♯‘𝑆)))
15	12, 14	fveq12d 6927	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
16	9, 11, 15	ifbieq12d 4576	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠)))) = if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))
17	6, 16	mpteq12dv 5257	. . 3 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))))) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
18		df-concat 14619	. . 3 ⊢ ++ = (𝑠 ∈ V, 𝑡 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))))))
19		ovex 7481	. . . 4 ⊢ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∈ V
20	19	mptex 7260	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) ∈ V
21	17, 18, 20	ovmpoa 7605	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
22	1, 2, 21	syl2an 595	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ifcif 4548   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184   + caddc 11187   − cmin 11520  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379   ++ cconcat 14618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-concat 14619

This theorem is referenced by:  ccatcl  14622  ccatlen  14623  ccatval1  14625  ccatval2  14626  ccatvalfn  14629  ccatalpha  14641  repswccat  14834  ccatco  14884  ofccat  15018  ccatws1f1o  32918  ccatmulgnn0dir  34519