Theorem ccatfval 14617

Description: Value of the concatenation operator. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ccatfval	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ccatfval

Dummy variables 𝑡 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3475	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ V)
2		elex 3475	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑇 ∈ V)
3		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (♯‘𝑠) = (♯‘𝑆))
4		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (♯‘𝑡) = (♯‘𝑇))
5	3, 4	oveqan12d 7431	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → ((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
6	5	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) = (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
7	3	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (0..^(♯‘𝑠)) = (0..^(♯‘𝑆)))
8	7	eleq2d 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
9	8	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
10		fveq1 6880	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
11	10	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (𝑠‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
12		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → 𝑡 = 𝑇)
13	3	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑥 − (♯‘𝑠)) = (𝑥 − (♯‘𝑆)))
14	13	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (𝑥 − (♯‘𝑠)) = (𝑥 − (♯‘𝑆)))
15	12, 14	fveq12d 6888	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
16	9, 11, 15	ifbieq12d 4515	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠)))) = if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))
17	6, 16	mpteq12dv 5197	. . 3 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))))) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
18		df-concat 14615	. . 3 ⊢ ++ = (𝑠 ∈ V, 𝑡 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))))))
19		ovex 7445	. . . 4 ⊢ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∈ V
20	19	mptex 7221	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) ∈ V
21	17, 18, 20	ovmpoa 7567	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
22	1, 2, 21	syl2an 607	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  ifcif 4486   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  0cc0 11106   + caddc 11109   − cmin 11447  ..^cfzo 13689  ♯chash 14373   ++ cconcat 14614

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-concat 14615

This theorem is used by:  ccatcl  14618  ccatlen  14619  ccatval1  14621  ccatval2  14622  ccatvalfn  14625  ccatalpha  14638  repswccat  14830  ccatco  14879  ofccat  15013  ccatws1f1o  33280  ccatmulgnn0dir  34941