MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatfval 14612
Description: Value of the concatenation operator. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatfval ((𝑆𝑉𝑇𝑊) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ccatfval
Dummy variables 𝑡 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3500 . 2 (𝑆𝑉𝑆 ∈ V)
2 elex 3500 . 2 (𝑇𝑊𝑇 ∈ V)
3 fveq2 6905 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → (♯‘𝑠) = (♯‘𝑆))
4 fveq2 6905 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑇 → (♯‘𝑡) = (♯‘𝑇))
53, 4oveqan12d 7451 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → ((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
65oveq2d 7448 . . . 4 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) = (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
73oveq2d 7448 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → (0..^(♯‘𝑠)) = (0..^(♯‘𝑆)))
87eleq2d 2826 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
98adantr 480 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
10 fveq1 6904 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → (𝑠𝑥) = (𝑆𝑥))
1110adantr 480 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → (𝑠𝑥) = (𝑆𝑥))
12 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → 𝑡 = 𝑇)
133oveq2d 7448 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → (𝑥 − (♯‘𝑠)) = (𝑥 − (♯‘𝑆)))
1413adantr 480 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → (𝑥 − (♯‘𝑠)) = (𝑥 − (♯‘𝑆)))
1512, 14fveq12d 6912 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
169, 11, 15ifbieq12d 4553 . . . 4 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠)))) = if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))
176, 16mpteq12dv 5232 . . 3 ((𝑠 = 𝑆𝑡 = 𝑇) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))))) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
18 df-concat 14610 . . 3 ++ = (𝑠 ∈ V, 𝑡 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))))))
19 ovex 7465 . . . 4 (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∈ V
2019mptex 7244 . . 3 (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) ∈ V
2117, 18, 20ovmpoa 7589 . 2 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
221, 2, 21syl2an 596 1 ((𝑆𝑉𝑇𝑊) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  ifcif 4524  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156   + caddc 11159  cmin 11493  ..^cfzo 13695  chash 14370   ++ cconcat 14609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-concat 14610
This theorem is referenced by:  ccatcl  14613  ccatlen  14614  ccatval1  14616  ccatval2  14617  ccatvalfn  14620  ccatalpha  14632  repswccat  14825  ccatco  14875  ofccat  15009  ccatws1f1o  32937  ccatmulgnn0dir  34558
  Copyright terms: Public domain W3C validator