Theorem ccatfval 14535

Description: Value of the concatenation operator. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ccatfval	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ccatfval

Dummy variables 𝑡 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3450	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ V)
2		elex 3450	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑇 ∈ V)
3		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (♯‘𝑠) = (♯‘𝑆))
4		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (♯‘𝑡) = (♯‘𝑇))
5	3, 4	oveqan12d 7386	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → ((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
6	5	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) = (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
7	3	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (0..^(♯‘𝑠)) = (0..^(♯‘𝑆)))
8	7	eleq2d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
10		fveq1 6839	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (𝑠‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → 𝑡 = 𝑇)
13	3	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑥 − (♯‘𝑠)) = (𝑥 − (♯‘𝑆)))
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (𝑥 − (♯‘𝑠)) = (𝑥 − (♯‘𝑆)))
15	12, 14	fveq12d 6847	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))) = (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
16	9, 11, 15	ifbieq12d 4495	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠)))) = if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))
17	6, 16	mpteq12dv 5172	. . 3 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑡 = 𝑇) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))))) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
18		df-concat 14533	. . 3 ⊢ ++ = (𝑠 ∈ V, 𝑡 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑠) + (♯‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑠)), (𝑠‘𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (♯‘𝑠))))))
19		ovex 7400	. . . 4 ⊢ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∈ V
20	19	mptex 7178	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) ∈ V
21	17, 18, 20	ovmpoa 7522	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
22	1, 2, 21	syl2an 597	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑊) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  ifcif 4466   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038   + caddc 11041   − cmin 11377  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292   ++ cconcat 14532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-concat 14533

This theorem is referenced by:  ccatcl  14536  ccatlen  14537  ccatval1  14539  ccatval2  14540  ccatvalfn  14543  ccatalpha  14556  repswccat  14748  ccatco  14797  ofccat  14931  ccatws1f1o  33011  ccatmulgnn0dir  34686