Theorem frmdplusg 18867

Description: The monoid operation of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdbas.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
frmdplusg.p	⊢ + = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
frmdplusg	⊢ + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem frmdplusg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmdplusg.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑀)
2		frmdbas.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
3		frmdbas.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4	2, 3	frmdbas 18865	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝐵 = Word 𝐼)
5		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))
6	2, 4, 5	frmdval 18864	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩})
7	6	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
8	1, 7	eqtrid 2789	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → + = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
9		wrdexg 14562	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → Word 𝐼 ∈ V)
10		ccatfn 14610	. . . . . . 7 ⊢ ++ Fn (V × V)
11		xpss 5701	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 × 𝐵) ⊆ (V × V)
12		fnssres 6691	. . . . . . 7 ⊢ (( ++ Fn (V × V) ∧ (𝐵 × 𝐵) ⊆ (V × V)) → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
13	10, 11, 12	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵)
14		ovres 7599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
15	2, 3	frmdelbas 18866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
16	2, 3	frmdelbas 18866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ Word 𝐼)
17		ccatcl 14612	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐼) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
18	15, 16, 17	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
19	14, 18	eqeltrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼)
20	19	rgen2 3199	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼
21		ffnov 7559	. . . . . 6 ⊢ (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼 ↔ (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼))
22	13, 20, 21	mpbir2an 711	. . . . 5 ⊢ ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼
23	3	fvexi 6920	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
24	23, 23	xpex 7773	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × 𝐵) ∈ V
25		fex2 7958	. . . . 5 ⊢ ((( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼 ∧ (𝐵 × 𝐵) ∈ V ∧ Word 𝐼 ∈ V) → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
26	22, 24, 25	mp3an12 1453	. . . 4 ⊢ (Word 𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
27		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}
28	27	grpplusg 17332	. . . 4 ⊢ (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
29	9, 26, 28	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
30	8, 29	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
31		fvprc 6898	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (freeMnd‘𝐼) = ∅)
32	2, 31	eqtrid 2789	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → 𝑀 = ∅)
33	32	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘∅))
34	1, 33	eqtrid 2789	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → + = (+g‘∅))
35		res0 6001	. . . . 5 ⊢ ( ++ ↾ ∅) = ∅
36		plusgid 17324	. . . . . 6 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
37	36	str0 17226	. . . . 5 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
38	35, 37	eqtr2i 2766	. . . 4 ⊢ (+g‘∅) = ( ++ ↾ ∅)
39	34, 38	eqtrdi 2793	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ ∅))
40	32	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (Base‘𝑀) = (Base‘∅))
41		base0 17252	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
42	40, 3, 41	3eqtr4g 2802	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → 𝐵 = ∅)
43	42	xpeq2d 5715	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = (𝐵 × ∅))
44		xp0 6178	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × ∅) = ∅
45	43, 44	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = ∅)
46	45	reseq2d 5997	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( ++ ↾ ∅))
47	39, 46	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
48	30, 47	pm2.61i 182	1 ⊢ + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  {cpr 4628  ⟨cop 4632   × cxp 5683   ↾ cres 5687   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Word cword 14552   ++ cconcat 14608  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  freeMndcfrmd 18860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-frmd 18862

This theorem is referenced by:  frmdadd  18868