MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdplusg 18799
Description: The monoid operation of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdbas.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdbas.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
frmdplusg.p + = (+g𝑀)
Assertion
Ref Expression
frmdplusg + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem frmdplusg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdplusg.p . . . 4 + = (+g𝑀)
2 frmdbas.m . . . . . 6 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
3 frmdbas.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
42, 3frmdbas 18797 . . . . . 6 (𝐼 ∈ V → 𝐵 = Word 𝐼)
5 eqid 2728 . . . . . 6 ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))
62, 4, 5frmdval 18796 . . . . 5 (𝐼 ∈ V → 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩})
76fveq2d 6895 . . . 4 (𝐼 ∈ V → (+g𝑀) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
81, 7eqtrid 2780 . . 3 (𝐼 ∈ V → + = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
9 wrdexg 14500 . . . 4 (𝐼 ∈ V → Word 𝐼 ∈ V)
10 ccatfn 14548 . . . . . . 7 ++ Fn (V × V)
11 xpss 5688 . . . . . . 7 (𝐵 × 𝐵) ⊆ (V × V)
12 fnssres 6672 . . . . . . 7 (( ++ Fn (V × V) ∧ (𝐵 × 𝐵) ⊆ (V × V)) → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
1310, 11, 12mp2an 691 . . . . . 6 ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵)
14 ovres 7581 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
152, 3frmdelbas 18798 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵𝑥 ∈ Word 𝐼)
162, 3frmdelbas 18798 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵𝑦 ∈ Word 𝐼)
17 ccatcl 14550 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ Word 𝐼𝑦 ∈ Word 𝐼) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
1815, 16, 17syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
1914, 18eqeltrd 2829 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼)
2019rgen2 3193 . . . . . 6 𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼
21 ffnov 7541 . . . . . 6 (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼 ↔ (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼))
2213, 20, 21mpbir2an 710 . . . . 5 ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼
233fvexi 6905 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2423, 23xpex 7749 . . . . 5 (𝐵 × 𝐵) ∈ V
25 fex2 7935 . . . . 5 ((( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼 ∧ (𝐵 × 𝐵) ∈ V ∧ Word 𝐼 ∈ V) → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
2622, 24, 25mp3an12 1448 . . . 4 (Word 𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
27 eqid 2728 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}
2827grpplusg 17262 . . . 4 (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
299, 26, 283syl 18 . . 3 (𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
308, 29eqtr4d 2771 . 2 (𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
31 fvprc 6883 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V → (freeMnd‘𝐼) = ∅)
322, 31eqtrid 2780 . . . . . 6 𝐼 ∈ V → 𝑀 = ∅)
3332fveq2d 6895 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (+g𝑀) = (+g‘∅))
341, 33eqtrid 2780 . . . 4 𝐼 ∈ V → + = (+g‘∅))
35 res0 5983 . . . . 5 ( ++ ↾ ∅) = ∅
36 plusgid 17253 . . . . . 6 +g = Slot (+g‘ndx)
3736str0 17151 . . . . 5 ∅ = (+g‘∅)
3835, 37eqtr2i 2757 . . . 4 (+g‘∅) = ( ++ ↾ ∅)
3934, 38eqtrdi 2784 . . 3 𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ ∅))
4032fveq2d 6895 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V → (Base‘𝑀) = (Base‘∅))
41 base0 17178 . . . . . . 7 ∅ = (Base‘∅)
4240, 3, 413eqtr4g 2793 . . . . . 6 𝐼 ∈ V → 𝐵 = ∅)
4342xpeq2d 5702 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = (𝐵 × ∅))
44 xp0 6156 . . . . 5 (𝐵 × ∅) = ∅
4543, 44eqtrdi 2784 . . . 4 𝐼 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = ∅)
4645reseq2d 5979 . . 3 𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( ++ ↾ ∅))
4739, 46eqtr4d 2771 . 2 𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4830, 47pm2.61i 182 1 + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3057  Vcvv 3470  wss 3945  c0 4318  {cpr 4626  cop 4630   × cxp 5670  cres 5674   Fn wfn 6537  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  Word cword 14490   ++ cconcat 14546  ndxcnx 17155  Basecbs 17173  +gcplusg 17226  freeMndcfrmd 18792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-hash 14316  df-word 14491  df-concat 14547  df-struct 17109  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-plusg 17239  df-frmd 18794
This theorem is referenced by:  frmdadd  18800
  Copyright terms: Public domain W3C validator