MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdplusg 18880
Description: The monoid operation of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdbas.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdbas.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
frmdplusg.p + = (+g𝑀)
Assertion
Ref Expression
frmdplusg + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem frmdplusg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdplusg.p . . . 4 + = (+g𝑀)
2 frmdbas.m . . . . . 6 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
3 frmdbas.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
42, 3frmdbas 18878 . . . . . 6 (𝐼 ∈ V → 𝐵 = Word 𝐼)
5 eqid 2735 . . . . . 6 ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))
62, 4, 5frmdval 18877 . . . . 5 (𝐼 ∈ V → 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩})
76fveq2d 6911 . . . 4 (𝐼 ∈ V → (+g𝑀) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
81, 7eqtrid 2787 . . 3 (𝐼 ∈ V → + = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
9 wrdexg 14559 . . . 4 (𝐼 ∈ V → Word 𝐼 ∈ V)
10 ccatfn 14607 . . . . . . 7 ++ Fn (V × V)
11 xpss 5705 . . . . . . 7 (𝐵 × 𝐵) ⊆ (V × V)
12 fnssres 6692 . . . . . . 7 (( ++ Fn (V × V) ∧ (𝐵 × 𝐵) ⊆ (V × V)) → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
1310, 11, 12mp2an 692 . . . . . 6 ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵)
14 ovres 7599 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
152, 3frmdelbas 18879 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵𝑥 ∈ Word 𝐼)
162, 3frmdelbas 18879 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵𝑦 ∈ Word 𝐼)
17 ccatcl 14609 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ Word 𝐼𝑦 ∈ Word 𝐼) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
1815, 16, 17syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
1914, 18eqeltrd 2839 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼)
2019rgen2 3197 . . . . . 6 𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼
21 ffnov 7559 . . . . . 6 (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼 ↔ (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼))
2213, 20, 21mpbir2an 711 . . . . 5 ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼
233fvexi 6921 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2423, 23xpex 7772 . . . . 5 (𝐵 × 𝐵) ∈ V
25 fex2 7957 . . . . 5 ((( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼 ∧ (𝐵 × 𝐵) ∈ V ∧ Word 𝐼 ∈ V) → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
2622, 24, 25mp3an12 1450 . . . 4 (Word 𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
27 eqid 2735 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}
2827grpplusg 17334 . . . 4 (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
299, 26, 283syl 18 . . 3 (𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
308, 29eqtr4d 2778 . 2 (𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
31 fvprc 6899 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V → (freeMnd‘𝐼) = ∅)
322, 31eqtrid 2787 . . . . . 6 𝐼 ∈ V → 𝑀 = ∅)
3332fveq2d 6911 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (+g𝑀) = (+g‘∅))
341, 33eqtrid 2787 . . . 4 𝐼 ∈ V → + = (+g‘∅))
35 res0 6004 . . . . 5 ( ++ ↾ ∅) = ∅
36 plusgid 17325 . . . . . 6 +g = Slot (+g‘ndx)
3736str0 17223 . . . . 5 ∅ = (+g‘∅)
3835, 37eqtr2i 2764 . . . 4 (+g‘∅) = ( ++ ↾ ∅)
3934, 38eqtrdi 2791 . . 3 𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ ∅))
4032fveq2d 6911 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V → (Base‘𝑀) = (Base‘∅))
41 base0 17250 . . . . . . 7 ∅ = (Base‘∅)
4240, 3, 413eqtr4g 2800 . . . . . 6 𝐼 ∈ V → 𝐵 = ∅)
4342xpeq2d 5719 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = (𝐵 × ∅))
44 xp0 6180 . . . . 5 (𝐵 × ∅) = ∅
4543, 44eqtrdi 2791 . . . 4 𝐼 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = ∅)
4645reseq2d 6000 . . 3 𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( ++ ↾ ∅))
4739, 46eqtr4d 2778 . 2 𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4830, 47pm2.61i 182 1 + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339  {cpr 4633  cop 4637   × cxp 5687  cres 5691   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  freeMndcfrmd 18873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-frmd 18875
This theorem is referenced by:  frmdadd  18881
  Copyright terms: Public domain W3C validator