Theorem frmdplusg 18963

Description: The monoid operation of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdbas.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
frmdplusg.p	⊢ + = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
frmdplusg	⊢ + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem frmdplusg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmdplusg.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑀)
2		frmdbas.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
3		frmdbas.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4	2, 3	frmdbas 18961	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝐵 = Word 𝐼)
5		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))
6	2, 4, 5	frmdval 18960	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩})
7	6	fveq2d 6882	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
8	1, 7	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → + = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
9		wrdexg 14589	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → Word 𝐼 ∈ V)
10		ccatfn 14637	. . . . . . 7 ⊢ ++ Fn (V × V)
11		xpss 5671	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 × 𝐵) ⊆ (V × V)
12		fnssres 6655	. . . . . . 7 ⊢ (( ++ Fn (V × V) ∧ (𝐵 × 𝐵) ⊆ (V × V)) → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
13	10, 11, 12	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵)
14		ovres 7579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
15	2, 3	frmdelbas 18962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
16	2, 3	frmdelbas 18962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ Word 𝐼)
17		ccatcl 14639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐼) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
18	15, 16, 17	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
19	14, 18	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼)
20	19	rgen2 3202	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼
21		ffnov 7539	. . . . . 6 ⊢ (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼 ↔ (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼))
22	13, 20, 21	mpbir2an 724	. . . . 5 ⊢ ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼
23	3	fvexi 6892	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
24	23, 23	xpex 7752	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × 𝐵) ∈ V
25		fex2 7933	. . . . 5 ⊢ ((( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼 ∧ (𝐵 × 𝐵) ∈ V ∧ Word 𝐼 ∈ V) → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
26	22, 24, 25	mp3an12 1480	. . . 4 ⊢ (Word 𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
27		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}
28	27	grpplusg 17375	. . . 4 ⊢ (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
29	9, 26, 28	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
30	8, 29	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
31		fvprc 6870	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (freeMnd‘𝐼) = ∅)
32	2, 31	eqtrid 2807	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → 𝑀 = ∅)
33	32	fveq2d 6882	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘∅))
34	1, 33	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → + = (+g‘∅))
35		res0 5976	. . . . 5 ⊢ ( ++ ↾ ∅) = ∅
36		plusgid 17369	. . . . . 6 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
37	36	str0 17281	. . . . 5 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
38	35, 37	eqtr2i 2784	. . . 4 ⊢ (+g‘∅) = ( ++ ↾ ∅)
39	34, 38	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ ∅))
40	32	fveq2d 6882	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (Base‘𝑀) = (Base‘∅))
41		base0 17306	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
42	40, 3, 41	3eqtr4g 2820	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → 𝐵 = ∅)
43	42	xpeq2d 5685	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = (𝐵 × ∅))
44		xp0 5755	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × ∅) = ∅
45	43, 44	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = ∅)
46	45	reseq2d 5972	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( ++ ↾ ∅))
47	39, 46	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
48	30, 47	pm2.61i 184	1 ⊢ + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {cpr 4586  ⟨cop 4590   × cxp 5653   ↾ cres 5657   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Word cword 14578   ++ cconcat 14635  ndxcnx 17285  Basecbs 17301  +_gcplusg 17342  freeMndcfrmd 18956

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-concat 14636  df-struct 17239  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-frmd 18958

This theorem is used by:  frmdadd  18964