Theorem frmdplusg 18757

Description: The monoid operation of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdbas.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
frmdplusg.p	⊢ + = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
frmdplusg	⊢ + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem frmdplusg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmdplusg.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑀)
2		frmdbas.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
3		frmdbas.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4	2, 3	frmdbas 18755	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝐵 = Word 𝐼)
5		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))
6	2, 4, 5	frmdval 18754	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩})
7	6	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
8	1, 7	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → + = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
9		wrdexg 14465	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → Word 𝐼 ∈ V)
10		ccatfn 14513	. . . . . . 7 ⊢ ++ Fn (V × V)
11		xpss 5647	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 × 𝐵) ⊆ (V × V)
12		fnssres 6623	. . . . . . 7 ⊢ (( ++ Fn (V × V) ∧ (𝐵 × 𝐵) ⊆ (V × V)) → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
13	10, 11, 12	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵)
14		ovres 7535	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
15	2, 3	frmdelbas 18756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
16	2, 3	frmdelbas 18756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ Word 𝐼)
17		ccatcl 14515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐼) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
18	15, 16, 17	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
19	14, 18	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼)
20	19	rgen2 3175	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼
21		ffnov 7495	. . . . . 6 ⊢ (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼 ↔ (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼))
22	13, 20, 21	mpbir2an 711	. . . . 5 ⊢ ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼
23	3	fvexi 6854	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
24	23, 23	xpex 7709	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × 𝐵) ∈ V
25		fex2 7892	. . . . 5 ⊢ ((( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼 ∧ (𝐵 × 𝐵) ∈ V ∧ Word 𝐼 ∈ V) → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
26	22, 24, 25	mp3an12 1453	. . . 4 ⊢ (Word 𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
27		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}
28	27	grpplusg 17229	. . . 4 ⊢ (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
29	9, 26, 28	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
30	8, 29	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
31		fvprc 6832	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (freeMnd‘𝐼) = ∅)
32	2, 31	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → 𝑀 = ∅)
33	32	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘∅))
34	1, 33	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → + = (+g‘∅))
35		res0 5943	. . . . 5 ⊢ ( ++ ↾ ∅) = ∅
36		plusgid 17223	. . . . . 6 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
37	36	str0 17135	. . . . 5 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
38	35, 37	eqtr2i 2753	. . . 4 ⊢ (+g‘∅) = ( ++ ↾ ∅)
39	34, 38	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ ∅))
40	32	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (Base‘𝑀) = (Base‘∅))
41		base0 17160	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
42	40, 3, 41	3eqtr4g 2789	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → 𝐵 = ∅)
43	42	xpeq2d 5661	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = (𝐵 × ∅))
44		xp0 6119	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × ∅) = ∅
45	43, 44	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = ∅)
46	45	reseq2d 5939	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( ++ ↾ ∅))
47	39, 46	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
48	30, 47	pm2.61i 182	1 ⊢ + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {cpr 4587  ⟨cop 4591   × cxp 5629   ↾ cres 5633   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Word cword 14454   ++ cconcat 14511  ndxcnx 17139  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  freeMndcfrmd 18750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-hash 14272  df-word 14455  df-concat 14512  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-frmd 18752

This theorem is referenced by:  frmdadd  18758