MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdplusg 18013
Description: The monoid operation of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdbas.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdbas.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
frmdplusg.p + = (+g𝑀)
Assertion
Ref Expression
frmdplusg + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem frmdplusg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdplusg.p . . . 4 + = (+g𝑀)
2 frmdbas.m . . . . . 6 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
3 frmdbas.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
42, 3frmdbas 18011 . . . . . 6 (𝐼 ∈ V → 𝐵 = Word 𝐼)
5 eqid 2821 . . . . . 6 ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))
62, 4, 5frmdval 18010 . . . . 5 (𝐼 ∈ V → 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩})
76fveq2d 6669 . . . 4 (𝐼 ∈ V → (+g𝑀) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
81, 7syl5eq 2868 . . 3 (𝐼 ∈ V → + = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
9 wrdexg 13865 . . . 4 (𝐼 ∈ V → Word 𝐼 ∈ V)
10 ccatfn 13918 . . . . . . 7 ++ Fn (V × V)
11 xpss 5566 . . . . . . 7 (𝐵 × 𝐵) ⊆ (V × V)
12 fnssres 6465 . . . . . . 7 (( ++ Fn (V × V) ∧ (𝐵 × 𝐵) ⊆ (V × V)) → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
1310, 11, 12mp2an 690 . . . . . 6 ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵)
14 ovres 7308 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
152, 3frmdelbas 18012 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵𝑥 ∈ Word 𝐼)
162, 3frmdelbas 18012 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵𝑦 ∈ Word 𝐼)
17 ccatcl 13920 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ Word 𝐼𝑦 ∈ Word 𝐼) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
1815, 16, 17syl2an 597 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
1914, 18eqeltrd 2913 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼)
2019rgen2 3203 . . . . . 6 𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼
21 ffnov 7272 . . . . . 6 (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼 ↔ (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼))
2213, 20, 21mpbir2an 709 . . . . 5 ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼
233fvexi 6679 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2423, 23xpex 7470 . . . . 5 (𝐵 × 𝐵) ∈ V
25 fex2 7632 . . . . 5 ((( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼 ∧ (𝐵 × 𝐵) ∈ V ∧ Word 𝐼 ∈ V) → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
2622, 24, 25mp3an12 1447 . . . 4 (Word 𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
27 eqid 2821 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}
2827grpplusg 16605 . . . 4 (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
299, 26, 283syl 18 . . 3 (𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
308, 29eqtr4d 2859 . 2 (𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
31 fvprc 6658 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V → (freeMnd‘𝐼) = ∅)
322, 31syl5eq 2868 . . . . . 6 𝐼 ∈ V → 𝑀 = ∅)
3332fveq2d 6669 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (+g𝑀) = (+g‘∅))
341, 33syl5eq 2868 . . . 4 𝐼 ∈ V → + = (+g‘∅))
35 res0 5852 . . . . 5 ( ++ ↾ ∅) = ∅
36 df-plusg 16572 . . . . . 6 +g = Slot 2
3736str0 16529 . . . . 5 ∅ = (+g‘∅)
3835, 37eqtr2i 2845 . . . 4 (+g‘∅) = ( ++ ↾ ∅)
3934, 38syl6eq 2872 . . 3 𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ ∅))
4032fveq2d 6669 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V → (Base‘𝑀) = (Base‘∅))
41 base0 16530 . . . . . . 7 ∅ = (Base‘∅)
4240, 3, 413eqtr4g 2881 . . . . . 6 𝐼 ∈ V → 𝐵 = ∅)
4342xpeq2d 5580 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = (𝐵 × ∅))
44 xp0 6010 . . . . 5 (𝐵 × ∅) = ∅
4543, 44syl6eq 2872 . . . 4 𝐼 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = ∅)
4645reseq2d 5848 . . 3 𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( ++ ↾ ∅))
4739, 46eqtr4d 2859 . 2 𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4830, 47pm2.61i 184 1 + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wral 3138  Vcvv 3495  wss 3936  c0 4291  {cpr 4563  cop 4567   × cxp 5548  cres 5552   Fn wfn 6345  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7150  2c2 11686  Word cword 13855   ++ cconcat 13916  ndxcnx 16474  Basecbs 16477  +gcplusg 16559  freeMndcfrmd 18006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13917  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-plusg 16572  df-frmd 18008
This theorem is referenced by:  frmdadd  18014
  Copyright terms: Public domain W3C validator