MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdplusg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frmdplusg 18810
Description: The monoid operation of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdbas.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
frmdbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
frmdplusg.p + = (+gβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
frmdplusg + = ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
Proof of Theorem frmdplusg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdplusg.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘€)
2 frmdbas.m . . . . . 6 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
3 frmdbas.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
42, 3frmdbas 18808 . . . . . 6 (𝐼 ∈ V β†’ 𝐡 = Word 𝐼)
5 eqid 2725 . . . . . 6 ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
62, 4, 5frmdval 18807 . . . . 5 (𝐼 ∈ V β†’ 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩})
76fveq2d 6896 . . . 4 (𝐼 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩}))
81, 7eqtrid 2777 . . 3 (𝐼 ∈ V β†’ + = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩}))
9 wrdexg 14506 . . . 4 (𝐼 ∈ V β†’ Word 𝐼 ∈ V)
10 ccatfn 14554 . . . . . . 7 ++ Fn (V Γ— V)
11 xpss 5688 . . . . . . 7 (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† (V Γ— V)
12 fnssres 6673 . . . . . . 7 (( ++ Fn (V Γ— V) ∧ (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† (V Γ— V)) β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
1310, 11, 12mp2an 690 . . . . . 6 ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡)
14 ovres 7584 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) = (π‘₯ ++ 𝑦))
152, 3frmdelbas 18809 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
162, 3frmdelbas 18809 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ 𝑦 ∈ Word 𝐼)
17 ccatcl 14556 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐼) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
1815, 16, 17syl2an 594 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
1914, 18eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ Word 𝐼)
2019rgen2 3188 . . . . . 6 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ Word 𝐼
21 ffnov 7544 . . . . . 6 (( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢Word 𝐼 ↔ (( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ Word 𝐼))
2213, 20, 21mpbir2an 709 . . . . 5 ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢Word 𝐼
233fvexi 6906 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
2423, 23xpex 7753 . . . . 5 (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V
25 fex2 7939 . . . . 5 ((( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢Word 𝐼 ∧ (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V ∧ Word 𝐼 ∈ V) β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ V)
2622, 24, 25mp3an12 1447 . . . 4 (Word 𝐼 ∈ V β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ V)
27 eqid 2725 . . . . 5 {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩} = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩}
2827grpplusg 17268 . . . 4 (( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ V β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩}))
299, 26, 283syl 18 . . 3 (𝐼 ∈ V β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩}))
308, 29eqtr4d 2768 . 2 (𝐼 ∈ V β†’ + = ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
31 fvprc 6884 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (freeMndβ€˜πΌ) = βˆ…)
322, 31eqtrid 2777 . . . . . 6 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ 𝑀 = βˆ…)
3332fveq2d 6896 . . . . 5 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜βˆ…))
341, 33eqtrid 2777 . . . 4 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ + = (+gβ€˜βˆ…))
35 res0 5983 . . . . 5 ( ++ β†Ύ βˆ…) = βˆ…
36 plusgid 17259 . . . . . 6 +g = Slot (+gβ€˜ndx)
3736str0 17157 . . . . 5 βˆ… = (+gβ€˜βˆ…)
3835, 37eqtr2i 2754 . . . 4 (+gβ€˜βˆ…) = ( ++ β†Ύ βˆ…)
3934, 38eqtrdi 2781 . . 3 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ + = ( ++ β†Ύ βˆ…))
4032fveq2d 6896 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜βˆ…))
41 base0 17184 . . . . . . 7 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
4240, 3, 413eqtr4g 2790 . . . . . 6 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ 𝐡 = βˆ…)
4342xpeq2d 5702 . . . . 5 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = (𝐡 Γ— βˆ…))
44 xp0 6157 . . . . 5 (𝐡 Γ— βˆ…) = βˆ…
4543, 44eqtrdi 2781 . . . 4 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = βˆ…)
4645reseq2d 5979 . . 3 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = ( ++ β†Ύ βˆ…))
4739, 46eqtr4d 2768 . 2 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ + = ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
4830, 47pm2.61i 182 1 + = ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318  {cpr 4626  βŸ¨cop 4630   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Word cword 14496   ++ cconcat 14552  ndxcnx 17161  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  freeMndcfrmd 18803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-frmd 18805
This theorem is referenced by:  frmdadd  18811
  Copyright terms: Public domain W3C validator