MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdplusg 18669
Description: The monoid operation of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdbas.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
frmdbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
frmdplusg.p + = (+gβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
frmdplusg + = ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))

Proof of Theorem frmdplusg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdplusg.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘€)
2 frmdbas.m . . . . . 6 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
3 frmdbas.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
42, 3frmdbas 18667 . . . . . 6 (𝐼 ∈ V β†’ 𝐡 = Word 𝐼)
5 eqid 2733 . . . . . 6 ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
62, 4, 5frmdval 18666 . . . . 5 (𝐼 ∈ V β†’ 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩})
76fveq2d 6847 . . . 4 (𝐼 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩}))
81, 7eqtrid 2785 . . 3 (𝐼 ∈ V β†’ + = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩}))
9 wrdexg 14418 . . . 4 (𝐼 ∈ V β†’ Word 𝐼 ∈ V)
10 ccatfn 14466 . . . . . . 7 ++ Fn (V Γ— V)
11 xpss 5650 . . . . . . 7 (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† (V Γ— V)
12 fnssres 6625 . . . . . . 7 (( ++ Fn (V Γ— V) ∧ (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† (V Γ— V)) β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
1310, 11, 12mp2an 691 . . . . . 6 ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡)
14 ovres 7521 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) = (π‘₯ ++ 𝑦))
152, 3frmdelbas 18668 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
162, 3frmdelbas 18668 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ 𝑦 ∈ Word 𝐼)
17 ccatcl 14468 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐼) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
1815, 16, 17syl2an 597 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
1914, 18eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ Word 𝐼)
2019rgen2 3191 . . . . . 6 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ Word 𝐼
21 ffnov 7484 . . . . . 6 (( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢Word 𝐼 ↔ (( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ Word 𝐼))
2213, 20, 21mpbir2an 710 . . . . 5 ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢Word 𝐼
233fvexi 6857 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
2423, 23xpex 7688 . . . . 5 (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V
25 fex2 7871 . . . . 5 ((( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢Word 𝐼 ∧ (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V ∧ Word 𝐼 ∈ V) β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ V)
2622, 24, 25mp3an12 1452 . . . 4 (Word 𝐼 ∈ V β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ V)
27 eqid 2733 . . . . 5 {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩} = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩}
2827grpplusg 17174 . . . 4 (( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ V β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩}))
299, 26, 283syl 18 . . 3 (𝐼 ∈ V β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩}))
308, 29eqtr4d 2776 . 2 (𝐼 ∈ V β†’ + = ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
31 fvprc 6835 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (freeMndβ€˜πΌ) = βˆ…)
322, 31eqtrid 2785 . . . . . 6 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ 𝑀 = βˆ…)
3332fveq2d 6847 . . . . 5 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜βˆ…))
341, 33eqtrid 2785 . . . 4 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ + = (+gβ€˜βˆ…))
35 res0 5942 . . . . 5 ( ++ β†Ύ βˆ…) = βˆ…
36 plusgid 17165 . . . . . 6 +g = Slot (+gβ€˜ndx)
3736str0 17066 . . . . 5 βˆ… = (+gβ€˜βˆ…)
3835, 37eqtr2i 2762 . . . 4 (+gβ€˜βˆ…) = ( ++ β†Ύ βˆ…)
3934, 38eqtrdi 2789 . . 3 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ + = ( ++ β†Ύ βˆ…))
4032fveq2d 6847 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜βˆ…))
41 base0 17093 . . . . . . 7 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
4240, 3, 413eqtr4g 2798 . . . . . 6 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ 𝐡 = βˆ…)
4342xpeq2d 5664 . . . . 5 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = (𝐡 Γ— βˆ…))
44 xp0 6111 . . . . 5 (𝐡 Γ— βˆ…) = βˆ…
4543, 44eqtrdi 2789 . . . 4 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = βˆ…)
4645reseq2d 5938 . . 3 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = ( ++ β†Ύ βˆ…))
4739, 46eqtr4d 2776 . 2 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ + = ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
4830, 47pm2.61i 182 1 + = ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  {cpr 4589  βŸ¨cop 4593   Γ— cxp 5632   β†Ύ cres 5636   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Word cword 14408   ++ cconcat 14464  ndxcnx 17070  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  freeMndcfrmd 18662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-frmd 18664
This theorem is referenced by:  frmdadd  18670
  Copyright terms: Public domain W3C validator