Theorem frmdplusg 18816

Description: The monoid operation of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdbas.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
frmdplusg.p	⊢ + = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
frmdplusg	⊢ + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem frmdplusg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmdplusg.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑀)
2		frmdbas.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
3		frmdbas.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4	2, 3	frmdbas 18814	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝐵 = Word 𝐼)
5		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))
6	2, 4, 5	frmdval 18813	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩})
7	6	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
8	1, 7	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → + = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
9		wrdexg 14480	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → Word 𝐼 ∈ V)
10		ccatfn 14528	. . . . . . 7 ⊢ ++ Fn (V × V)
11		xpss 5641	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 × 𝐵) ⊆ (V × V)
12		fnssres 6616	. . . . . . 7 ⊢ (( ++ Fn (V × V) ∧ (𝐵 × 𝐵) ⊆ (V × V)) → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵))
13	10, 11, 12	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵)
14		ovres 7527	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
15	2, 3	frmdelbas 18815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
16	2, 3	frmdelbas 18815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ Word 𝐼)
17		ccatcl 14530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐼) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
18	15, 16, 17	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
19	14, 18	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼)
20	19	rgen2 3178	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼
21		ffnov 7487	. . . . . 6 ⊢ (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼 ↔ (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑦) ∈ Word 𝐼))
22	13, 20, 21	mpbir2an 712	. . . . 5 ⊢ ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼
23	3	fvexi 6849	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
24	23, 23	xpex 7701	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × 𝐵) ∈ V
25		fex2 7881	. . . . 5 ⊢ ((( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)):(𝐵 × 𝐵)⟶Word 𝐼 ∧ (𝐵 × 𝐵) ∈ V ∧ Word 𝐼 ∈ V) → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
26	22, 24, 25	mp3an12 1454	. . . 4 ⊢ (Word 𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
27		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}
28	27	grpplusg 17247	. . . 4 ⊢ (( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
29	9, 26, 28	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩}))
30	8, 29	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
31		fvprc 6827	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (freeMnd‘𝐼) = ∅)
32	2, 31	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → 𝑀 = ∅)
33	32	fveq2d 6839	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘∅))
34	1, 33	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → + = (+g‘∅))
35		res0 5943	. . . . 5 ⊢ ( ++ ↾ ∅) = ∅
36		plusgid 17241	. . . . . 6 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
37	36	str0 17153	. . . . 5 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
38	35, 37	eqtr2i 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘∅) = ( ++ ↾ ∅)
39	34, 38	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ ∅))
40	32	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (Base‘𝑀) = (Base‘∅))
41		base0 17178	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
42	40, 3, 41	3eqtr4g 2797	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → 𝐵 = ∅)
43	42	xpeq2d 5655	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = (𝐵 × ∅))
44		xp0 5725	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × ∅) = ∅
45	43, 44	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = ∅)
46	45	reseq2d 5939	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( ++ ↾ ∅))
47	39, 46	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵)))
48	30, 47	pm2.61i 182	1 ⊢ + = ( ++ ↾ (𝐵 × 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {cpr 4570  ⟨cop 4574   × cxp 5623   ↾ cres 5627   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Word cword 14469   ++ cconcat 14526  ndxcnx 17157  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214  freeMndcfrmd 18809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-hash 14287  df-word 14470  df-concat 14527  df-struct 17111  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-frmd 18811

This theorem is referenced by:  frmdadd  18817