MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdplusg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frmdplusg 18734
Description: The monoid operation of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdbas.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
frmdbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
frmdplusg.p + = (+gβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
frmdplusg + = ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
Proof of Theorem frmdplusg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdplusg.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘€)
2 frmdbas.m . . . . . 6 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
3 frmdbas.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
42, 3frmdbas 18732 . . . . . 6 (𝐼 ∈ V β†’ 𝐡 = Word 𝐼)
5 eqid 2732 . . . . . 6 ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
62, 4, 5frmdval 18731 . . . . 5 (𝐼 ∈ V β†’ 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩})
76fveq2d 6895 . . . 4 (𝐼 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩}))
81, 7eqtrid 2784 . . 3 (𝐼 ∈ V β†’ + = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩}))
9 wrdexg 14473 . . . 4 (𝐼 ∈ V β†’ Word 𝐼 ∈ V)
10 ccatfn 14521 . . . . . . 7 ++ Fn (V Γ— V)
11 xpss 5692 . . . . . . 7 (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† (V Γ— V)
12 fnssres 6673 . . . . . . 7 (( ++ Fn (V Γ— V) ∧ (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† (V Γ— V)) β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
1310, 11, 12mp2an 690 . . . . . 6 ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡)
14 ovres 7572 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) = (π‘₯ ++ 𝑦))
152, 3frmdelbas 18733 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
162, 3frmdelbas 18733 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ 𝑦 ∈ Word 𝐼)
17 ccatcl 14523 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐼) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
1815, 16, 17syl2an 596 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
1914, 18eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ Word 𝐼)
2019rgen2 3197 . . . . . 6 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ Word 𝐼
21 ffnov 7534 . . . . . 6 (( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢Word 𝐼 ↔ (( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ Word 𝐼))
2213, 20, 21mpbir2an 709 . . . . 5 ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢Word 𝐼
233fvexi 6905 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
2423, 23xpex 7739 . . . . 5 (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V
25 fex2 7923 . . . . 5 ((( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢Word 𝐼 ∧ (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V ∧ Word 𝐼 ∈ V) β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ V)
2622, 24, 25mp3an12 1451 . . . 4 (Word 𝐼 ∈ V β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ V)
27 eqid 2732 . . . . 5 {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩} = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩}
2827grpplusg 17232 . . . 4 (( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ V β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩}))
299, 26, 283syl 18 . . 3 (𝐼 ∈ V β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩}))
308, 29eqtr4d 2775 . 2 (𝐼 ∈ V β†’ + = ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
31 fvprc 6883 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (freeMndβ€˜πΌ) = βˆ…)
322, 31eqtrid 2784 . . . . . 6 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ 𝑀 = βˆ…)
3332fveq2d 6895 . . . . 5 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜βˆ…))
341, 33eqtrid 2784 . . . 4 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ + = (+gβ€˜βˆ…))
35 res0 5985 . . . . 5 ( ++ β†Ύ βˆ…) = βˆ…
36 plusgid 17223 . . . . . 6 +g = Slot (+gβ€˜ndx)
3736str0 17121 . . . . 5 βˆ… = (+gβ€˜βˆ…)
3835, 37eqtr2i 2761 . . . 4 (+gβ€˜βˆ…) = ( ++ β†Ύ βˆ…)
3934, 38eqtrdi 2788 . . 3 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ + = ( ++ β†Ύ βˆ…))
4032fveq2d 6895 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜βˆ…))
41 base0 17148 . . . . . . 7 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
4240, 3, 413eqtr4g 2797 . . . . . 6 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ 𝐡 = βˆ…)
4342xpeq2d 5706 . . . . 5 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = (𝐡 Γ— βˆ…))
44 xp0 6157 . . . . 5 (𝐡 Γ— βˆ…) = βˆ…
4543, 44eqtrdi 2788 . . . 4 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = βˆ…)
4645reseq2d 5981 . . 3 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = ( ++ β†Ύ βˆ…))
4739, 46eqtr4d 2775 . 2 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ + = ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
4830, 47pm2.61i 182 1 + = ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {cpr 4630  βŸ¨cop 4634   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Word cword 14463   ++ cconcat 14519  ndxcnx 17125  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  freeMndcfrmd 18727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-hash 14290  df-word 14464  df-concat 14520  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-frmd 18729
This theorem is referenced by:  frmdadd  18735
  Copyright terms: Public domain W3C validator