MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdplusg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frmdplusg 18779
Description: The monoid operation of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdbas.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
frmdbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
frmdplusg.p + = (+gβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
frmdplusg + = ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
Proof of Theorem frmdplusg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdplusg.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘€)
2 frmdbas.m . . . . . 6 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
3 frmdbas.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
42, 3frmdbas 18777 . . . . . 6 (𝐼 ∈ V β†’ 𝐡 = Word 𝐼)
5 eqid 2726 . . . . . 6 ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
62, 4, 5frmdval 18776 . . . . 5 (𝐼 ∈ V β†’ 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩})
76fveq2d 6889 . . . 4 (𝐼 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩}))
81, 7eqtrid 2778 . . 3 (𝐼 ∈ V β†’ + = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩}))
9 wrdexg 14480 . . . 4 (𝐼 ∈ V β†’ Word 𝐼 ∈ V)
10 ccatfn 14528 . . . . . . 7 ++ Fn (V Γ— V)
11 xpss 5685 . . . . . . 7 (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† (V Γ— V)
12 fnssres 6667 . . . . . . 7 (( ++ Fn (V Γ— V) ∧ (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† (V Γ— V)) β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
1310, 11, 12mp2an 689 . . . . . 6 ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡)
14 ovres 7570 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) = (π‘₯ ++ 𝑦))
152, 3frmdelbas 18778 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
162, 3frmdelbas 18778 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ 𝑦 ∈ Word 𝐼)
17 ccatcl 14530 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐼) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
1815, 16, 17syl2an 595 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ Word 𝐼)
1914, 18eqeltrd 2827 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ Word 𝐼)
2019rgen2 3191 . . . . . 6 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ Word 𝐼
21 ffnov 7531 . . . . . 6 (( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢Word 𝐼 ↔ (( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ Word 𝐼))
2213, 20, 21mpbir2an 708 . . . . 5 ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢Word 𝐼
233fvexi 6899 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
2423, 23xpex 7737 . . . . 5 (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V
25 fex2 7923 . . . . 5 ((( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)⟢Word 𝐼 ∧ (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V ∧ Word 𝐼 ∈ V) β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ V)
2622, 24, 25mp3an12 1447 . . . 4 (Word 𝐼 ∈ V β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ V)
27 eqid 2726 . . . . 5 {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩} = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩}
2827grpplusg 17242 . . . 4 (( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ V β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩}))
299, 26, 283syl 18 . . 3 (𝐼 ∈ V β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))⟩}))
308, 29eqtr4d 2769 . 2 (𝐼 ∈ V β†’ + = ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
31 fvprc 6877 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (freeMndβ€˜πΌ) = βˆ…)
322, 31eqtrid 2778 . . . . . 6 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ 𝑀 = βˆ…)
3332fveq2d 6889 . . . . 5 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜βˆ…))
341, 33eqtrid 2778 . . . 4 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ + = (+gβ€˜βˆ…))
35 res0 5979 . . . . 5 ( ++ β†Ύ βˆ…) = βˆ…
36 plusgid 17233 . . . . . 6 +g = Slot (+gβ€˜ndx)
3736str0 17131 . . . . 5 βˆ… = (+gβ€˜βˆ…)
3835, 37eqtr2i 2755 . . . 4 (+gβ€˜βˆ…) = ( ++ β†Ύ βˆ…)
3934, 38eqtrdi 2782 . . 3 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ + = ( ++ β†Ύ βˆ…))
4032fveq2d 6889 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜βˆ…))
41 base0 17158 . . . . . . 7 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
4240, 3, 413eqtr4g 2791 . . . . . 6 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ 𝐡 = βˆ…)
4342xpeq2d 5699 . . . . 5 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = (𝐡 Γ— βˆ…))
44 xp0 6151 . . . . 5 (𝐡 Γ— βˆ…) = βˆ…
4543, 44eqtrdi 2782 . . . 4 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = βˆ…)
4645reseq2d 5975 . . 3 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = ( ++ β†Ύ βˆ…))
4739, 46eqtr4d 2769 . 2 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ + = ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
4830, 47pm2.61i 182 1 + = ( ++ β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  {cpr 4625  βŸ¨cop 4629   Γ— cxp 5667   β†Ύ cres 5671   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Word cword 14470   ++ cconcat 14526  ndxcnx 17135  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  freeMndcfrmd 18772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-frmd 18774
This theorem is referenced by:  frmdadd  18780
  Copyright terms: Public domain W3C validator