Theorem cfilss 25482

Description: A filter finer than a Cauchy filter is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfilss	⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝐺)) → 𝐺 ∈ (CauFil‘𝐷))

Proof of Theorem cfilss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 783	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝐺)) → 𝐺 ∈ (Fil‘𝑋))
2		simprr 785	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝐺)) → 𝐹 ⊆ 𝐺)
3		iscfil 25477	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
4	3	simplbda 505	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝐺)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))
6		ssrexv 4008	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 → (∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐺 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)))
7	6	ralimdv 3181	. . 3 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐺 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)))
8	2, 5, 7	sylc 66	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝐺)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐺 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))
9		iscfil 25477	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐺 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐺 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
10	9	ad2antrr 739	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝐺)) → (𝐺 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐺 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
11	1, 8, 10	mpbir2and 726	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝐺 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐹 ⊆ 𝐺)) → 𝐺 ∈ (CauFil‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906   × cxp 5661   “ cima 5666  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11117  ℝ⁺crp 13034  [,)cico 13392  ∞Metcxmet 21559  Filcfil 24055  CauFilccfil 25464

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-map 8832  df-xr 11264  df-xmet 21567  df-cfil 25467

This theorem is used by: (None)