MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfilss 24650
Description: A filter finer than a Cauchy filter is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilss (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ (𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 βŠ† 𝐺)) β†’ 𝐺 ∈ (CauFilβ€˜π·))

Proof of Theorem cfilss
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ (𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 βŠ† 𝐺)) β†’ 𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
2 simprr 772 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ (𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 βŠ† 𝐺)) β†’ 𝐹 βŠ† 𝐺)
3 iscfil 24645 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
43simplbda 501 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))
54adantr 482 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ (𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 βŠ† 𝐺)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))
6 ssrexv 4016 . . . 4 (𝐹 βŠ† 𝐺 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐺 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
76ralimdv 3167 . . 3 (𝐹 βŠ† 𝐺 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐺 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
82, 5, 7sylc 65 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ (𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 βŠ† 𝐺)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐺 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))
9 iscfil 24645 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐺 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐺 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
109ad2antrr 725 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ (𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 βŠ† 𝐺)) β†’ (𝐺 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐺 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
111, 8, 10mpbir2and 712 1 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ (𝐺 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 βŠ† 𝐺)) β†’ 𝐺 ∈ (CauFilβ€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   βŠ† wss 3915   Γ— cxp 5636   β€œ cima 5641  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  β„+crp 12922  [,)cico 13273  βˆžMetcxmet 20797  Filcfil 23212  CauFilccfil 24632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-map 8774  df-xr 11200  df-xmet 20805  df-cfil 24635
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator