MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fgcfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fgcfil 25021
Description: The Cauchy filter condition for a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgcfil ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋filGen𝐡) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧,𝐡   𝑀,𝑋,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝐷,π‘₯,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fgcfil
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfili 25018 . . . . . 6 (((𝑋filGen𝐡) ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝑋filGen𝐡)βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)
21adantll 710 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) ∧ (𝑋filGen𝐡) ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (𝑋filGen𝐡)βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)
3 elfg 23597 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ (𝑒 ∈ (𝑋filGen𝐡) ↔ (𝑒 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑦 βŠ† 𝑒)))
43ad3antlr 727 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) ∧ (𝑋filGen𝐡) ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 ∈ (𝑋filGen𝐡) ↔ (𝑒 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑦 βŠ† 𝑒)))
5 ssralv 4051 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 βŠ† 𝑒 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
65ralimdv 3167 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 βŠ† 𝑒 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
7 ssralv 4051 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 βŠ† 𝑒 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
86, 7syldc 48 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯ β†’ (𝑦 βŠ† 𝑒 β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
98reximdv 3168 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑦 βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
109com12 32 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑦 βŠ† 𝑒 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
1110adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑒 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑦 βŠ† 𝑒) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
124, 11syl6bi 252 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) ∧ (𝑋filGen𝐡) ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 ∈ (𝑋filGen𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
1312rexlimdv 3151 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) ∧ (𝑋filGen𝐡) ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (𝑋filGen𝐡)βˆ€π‘§ ∈ 𝑒 βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
142, 13mpd 15 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) ∧ (𝑋filGen𝐡) ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)
1514ralrimiva 3144 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) ∧ (𝑋filGen𝐡) ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)
1615ex 411 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋filGen𝐡) ∈ (CauFilβ€˜π·) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
17 ssfg 23598 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ 𝐡 βŠ† (𝑋filGen𝐡))
1817adantl 480 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐡 βŠ† (𝑋filGen𝐡))
19 ssrexv 4052 . . . . . 6 (𝐡 βŠ† (𝑋filGen𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝑋filGen𝐡)βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
2019ralimdv 3167 . . . . 5 (𝐡 βŠ† (𝑋filGen𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝑋filGen𝐡)βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
2118, 20syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝑋filGen𝐡)βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
22 fgcl 23604 . . . . 5 (𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋filGen𝐡) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
2322adantl 480 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑋filGen𝐡) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
2421, 23jctild 524 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯ β†’ ((𝑋filGen𝐡) ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝑋filGen𝐡)βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
25 iscfil2 25016 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((𝑋filGen𝐡) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ ((𝑋filGen𝐡) ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝑋filGen𝐡)βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
2625adantr 479 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋filGen𝐡) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ ((𝑋filGen𝐡) ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝑋filGen𝐡)βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
2724, 26sylibrd 258 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯ β†’ (𝑋filGen𝐡) ∈ (CauFilβ€˜π·)))
2816, 27impbid 211 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝑋filGen𝐡) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   < clt 11254  β„+crp 12980  βˆžMetcxmet 21131  fBascfbas 21134  filGencfg 21135  Filcfil 23571  CauFilccfil 25002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-2 12281  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ico 13336  df-xmet 21139  df-fbas 21143  df-fg 21144  df-fil 23572  df-cfil 25005
This theorem is referenced by:  fmcfil  25022  cfilresi  25045  minveclem3  25179
  Copyright terms: Public domain W3C validator