Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fgcfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fgcfil 23879
 Description: The Cauchy filter condition for a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgcfil ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fgcfil
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfili 23876 . . . . . 6 (((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
21adantll 713 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
3 elfg 22480 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑢)))
43ad3antlr 730 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑢)))
5 ssralv 3984 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝑢 → (∀𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
65ralimdv 3148 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑢 → (∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑧𝑢𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
7 ssralv 3984 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑢 → (∀𝑧𝑢𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
86, 7syldc 48 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → (𝑦𝑢 → ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
98reximdv 3235 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → (∃𝑦𝐵 𝑦𝑢 → ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
109com12 32 . . . . . . . 8 (∃𝑦𝐵 𝑦𝑢 → (∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
1110adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑢𝑋 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑢) → (∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
124, 11syl6bi 256 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵) → (∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
1312rexlimdv 3245 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
142, 13mpd 15 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
1514ralrimiva 3152 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
1615ex 416 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
17 ssfg 22481 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵))
1817adantl 485 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵))
19 ssrexv 3985 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵) → (∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
2019ralimdv 3148 . . . . 5 (𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
2118, 20syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
22 fgcl 22487 . . . . 5 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))
2322adantl 485 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))
2421, 23jctild 529 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
25 iscfil2 23874 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ((𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
2625adantr 484 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ((𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
2724, 26sylibrd 262 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)))
2816, 27impbid 215 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110   ⊆ wss 3884   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   < clt 10668  ℝ+crp 12381  ∞Metcxmet 20080  fBascfbas 20083  filGencfg 20084  Filcfil 22454  CauFilccfil 23860 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-2 11692  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ico 12736  df-xmet 20088  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-fil 22455  df-cfil 23863 This theorem is referenced by:  fmcfil  23880  cfilresi  23903  minveclem3  24037
 Copyright terms: Public domain W3C validator