MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fgcfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fgcfil 23801
Description: The Cauchy filter condition for a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgcfil ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fgcfil
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfili 23798 . . . . . 6 (((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
21adantll 710 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
3 elfg 22407 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑢)))
43ad3antlr 727 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑢)))
5 ssralv 4030 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝑢 → (∀𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
65ralimdv 3175 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑢 → (∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑧𝑢𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
7 ssralv 4030 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑢 → (∀𝑧𝑢𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
86, 7syldc 48 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → (𝑦𝑢 → ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
98reximdv 3270 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → (∃𝑦𝐵 𝑦𝑢 → ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
109com12 32 . . . . . . . 8 (∃𝑦𝐵 𝑦𝑢 → (∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
1110adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑢𝑋 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑢) → (∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
124, 11syl6bi 254 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵) → (∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
1312rexlimdv 3280 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
142, 13mpd 15 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
1514ralrimiva 3179 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
1615ex 413 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
17 ssfg 22408 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵))
1817adantl 482 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵))
19 ssrexv 4031 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵) → (∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
2019ralimdv 3175 . . . . 5 (𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
2118, 20syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
22 fgcl 22414 . . . . 5 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))
2322adantl 482 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))
2421, 23jctild 526 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
25 iscfil2 23796 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ((𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
2625adantr 481 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ((𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
2724, 26sylibrd 260 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)))
2816, 27impbid 213 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  wss 3933   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145   < clt 10663  +crp 12377  ∞Metcxmet 20458  fBascfbas 20461  filGencfg 20462  Filcfil 22381  CauFilccfil 23782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-2 11688  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-xmet 20466  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-fil 22382  df-cfil 23785
This theorem is referenced by:  fmcfil  23802  cfilresi  23825  minveclem3  23959
  Copyright terms: Public domain W3C validator