Theorem fgcfil 25324

Description: The Cauchy filter condition for a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fgcfil	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fgcfil

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfili 25321	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
2	1	adantll 713	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
3		elfg 23900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑢)))
4	3	ad3antlr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑢)))
5		ssralv 4077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑢 → (∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
6	5	ralimdv 3175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑢 → (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
7		ssralv 4077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑢 → (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
8	6, 7	syldc 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → (𝑦 ⊆ 𝑢 → ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
9	8	reximdv 3176	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
10	9	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑢 → (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑢) → (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
12	4, 11	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
13	12	rexlimdv 3159	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
14	2, 13	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
15	14	ralrimiva 3152	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
16	15	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
17		ssfg 23901	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵))
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵))
19		ssrexv 4078	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
20	19	ralimdv 3175	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
21	18, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
22		fgcl 23907	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))
23	22	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))
24	21, 23	jctild 525	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
25		iscfil2 25319	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ((𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
26	25	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ((𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
27	24, 26	sylibrd 259	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)))
28	16, 27	impbid 212	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   < clt 11324  ℝ⁺crp 13057  ∞Metcxmet 21372  fBascfbas 21375  filGencfg 21376  Filcfil 23874  CauFilccfil 25305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-2 12356  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ico 13413  df-xmet 21380  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-fil 23875  df-cfil 25308

This theorem is referenced by:  fmcfil  25325  cfilresi  25348  minveclem3  25482