Theorem fgcfil 25409

Description: The Cauchy filter condition for a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fgcfil	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fgcfil

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfili 25406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
2	1	adantll 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
3		elfg 24007	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑢)))
4	3	ad3antlr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑢)))
5		ssralv 4005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑢 → (∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
6	5	ralimdv 3177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑢 → (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
7		ssralv 4005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑢 → (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
8	6, 7	syldc 49	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → (𝑦 ⊆ 𝑢 → ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
9	8	reximdv 3178	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
10	9	com12 33	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑢 → (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
11	10	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑢) → (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
12	4, 11	biimtrdi 256	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
13	12	rexlimdv 3162	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
14	2, 13	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
15	14	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
16	15	ex 417	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
17		ssfg 24008	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵))
18	17	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵))
19		ssrexv 4006	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
20	19	ralimdv 3177	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
21	18, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
22		fgcl 24014	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))
23	22	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))
24	21, 23	jctild 534	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
25		iscfil2 25404	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ((𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
26	25	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ((𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
27	24, 26	sylibrd 262	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)))
28	16, 27	impbid 215	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   < clt 11242  ℝ⁺crp 13015  ∞Metcxmet 21486  fBascfbas 21489  filGencfg 21490  Filcfil 23981  CauFilccfil 25390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ico 13377  df-xmet 21494  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-fil 23982  df-cfil 25393

This theorem is referenced by:  fmcfil  25410  cfilresi  25433  minveclem3  25567