Theorem fgcfil 25204

Description: The Cauchy filter condition for a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fgcfil	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fgcfil

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfili 25201	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
2	1	adantll 714	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
3		elfg 23791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑢)))
4	3	ad3antlr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵) ↔ (𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑢)))
5		ssralv 4012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑢 → (∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
6	5	ralimdv 3147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑢 → (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
7		ssralv 4012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝑢 → (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
8	6, 7	syldc 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → (𝑦 ⊆ 𝑢 → ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
9	8	reximdv 3148	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑢 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
10	9	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑢 → (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ⊆ 𝑢) → (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
12	4, 11	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
13	12	rexlimdv 3132	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑢 ∀𝑤 ∈ 𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
14	2, 13	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
15	14	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
16	15	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
17		ssfg 23792	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵))
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵))
19		ssrexv 4013	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
20	19	ralimdv 3147	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
21	18, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
22		fgcl 23798	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))
23	22	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))
24	21, 23	jctild 525	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
25		iscfil2 25199	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ((𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
26	25	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ((𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
27	24, 26	sylibrd 259	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)))
28	16, 27	impbid 212	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   < clt 11184  ℝ⁺crp 12927  ∞Metcxmet 21281  fBascfbas 21284  filGencfg 21285  Filcfil 23765  CauFilccfil 25185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-2 12225  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ico 13288  df-xmet 21289  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-fil 23766  df-cfil 25188

This theorem is referenced by:  fmcfil  25205  cfilresi  25228  minveclem3  25362