MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fgcfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fgcfil 24631
Description: The Cauchy filter condition for a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgcfil ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fgcfil
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfili 24628 . . . . . 6 (((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
21adantll 712 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
3 elfg 23218 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑢)))
43ad3antlr 729 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑢)))
5 ssralv 4009 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝑢 → (∀𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
65ralimdv 3165 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑢 → (∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑧𝑢𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
7 ssralv 4009 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑢 → (∀𝑧𝑢𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
86, 7syldc 48 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → (𝑦𝑢 → ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
98reximdv 3166 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → (∃𝑦𝐵 𝑦𝑢 → ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
109com12 32 . . . . . . . 8 (∃𝑦𝐵 𝑦𝑢 → (∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
1110adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑢𝑋 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑢) → (∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
124, 11syl6bi 252 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵) → (∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
1312rexlimdv 3149 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑢 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑢𝑤𝑢 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
142, 13mpd 15 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
1514ralrimiva 3142 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)
1615ex 413 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
17 ssfg 23219 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵))
1817adantl 482 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵))
19 ssrexv 4010 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵) → (∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
2019ralimdv 3165 . . . . 5 (𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
2118, 20syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
22 fgcl 23225 . . . . 5 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))
2322adantl 482 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))
2421, 23jctild 526 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
25 iscfil2 24626 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ((𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
2625adantr 481 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ((𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝑋filGen𝐵)∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
2724, 26sylibrd 258 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥 → (𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷)))
2816, 27impbid 211 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGen𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  wral 3063  wrex 3072  wss 3909   class class class wbr 5104  cfv 6494  (class class class)co 7354   < clt 11186  +crp 12912  ∞Metcxmet 20777  fBascfbas 20780  filGencfg 20781  Filcfil 23192  CauFilccfil 24612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-er 8645  df-map 8764  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-div 11810  df-2 12213  df-rp 12913  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ico 13267  df-xmet 20785  df-fbas 20789  df-fg 20790  df-fil 23193  df-cfil 24615
This theorem is referenced by:  fmcfil  24632  cfilresi  24655  minveclem3  24789
  Copyright terms: Public domain W3C validator