Theorem iscfil 25328

Description: The property of being a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iscfil	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Proof of Theorem iscfil

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfilfval 25327	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (CauFil‘𝐷) = {𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑓 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)})
2	1	eleq2d 2849	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑓 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)}))
3		rexeq 3317	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑦 ∈ 𝑓 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)))
4	3	ralbidv 3186	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑓 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)))
5	4	elrab 3651	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑓 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)} ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)))
6	2, 5	bitrdi 289	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3415   ⊆ wss 3905   × cxp 5646   “ cima 5651  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  0cc0 11074  ℝ⁺crp 12994  [,)cico 13352  ∞Metcxmet 21410  Filcfil 23906  CauFilccfil 25315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-fv 6530  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-map 8811  df-xr 11221  df-xmet 21418  df-cfil 25318

This theorem is referenced by:  iscfil2  25329  cfilfil  25330  cfilss  25333  cfilucfil3  25383  cmetcusp  25417