Theorem iscfil 24782

Description: The property of being a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iscfil	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Proof of Theorem iscfil

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfilfval 24781	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (CauFil‘𝐷) = {𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑓 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)})
2	1	eleq2d 2820	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑓 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)}))
3		rexeq 3322	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑦 ∈ 𝑓 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)))
4	3	ralbidv 3178	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑓 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)))
5	4	elrab 3684	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑓 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)} ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)))
6	2, 5	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3433   ⊆ wss 3949   × cxp 5675   “ cima 5680  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  ℝ⁺crp 12974  [,)cico 13326  ∞Metcxmet 20929  Filcfil 23349  CauFilccfil 24769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-xr 11252  df-xmet 20937  df-cfil 24772

This theorem is referenced by:  iscfil2  24783  cfilfil  24784  cfilss  24787  cfilucfil3  24837  cmetcusp  24871