Theorem cmdrcl 50929

Description: Reverse closure for a colimit of a diagram. (Contributed by Zhi Wang, 20-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cmdrcl	⊢ (𝑋 ∈ ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))

Proof of Theorem cmdrcl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmdfval 50927	. 2 ⊢ (𝐶 Colimit 𝐷) = (𝑓 ∈ (𝐷 Func 𝐶) ↦ ((𝐶Δfunc𝐷)(𝐶 UP (𝐷 FuncCat 𝐶))𝑓))
2	1	mptrcl 7004	1 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝐶 Colimit 𝐷)‘𝐹) → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   Func cfunc 18035   FuncCat cfuc 18126  Δ_funccdiag 18392   UP cup 50383   Colimit ccmd 50921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-func 18039  df-cmd 50923

This theorem is used by: (None)