Theorem reldmlmd2 51051

Description: The domain of (𝐶 Limit 𝐷) is a relation. (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
reldmlmd2	⊢ Rel dom (𝐶 Limit 𝐷)

Proof of Theorem reldmlmd2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 18069	. 2 ⊢ Rel (𝐷 Func 𝐶)
2		ovex 7479	. . . 4 ⊢ (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝑓) ∈ V
3		lmdfval 51047	. . . 4 ⊢ (𝐶 Limit 𝐷) = (𝑓 ∈ (𝐷 Func 𝐶) ↦ (( oppFunc ‘(𝐶Δfunc𝐷))((oppCat‘𝐶) UP (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐶)))𝑓))
4	2, 3	dmmpti 6708	. . 3 ⊢ dom (𝐶 Limit 𝐷) = (𝐷 Func 𝐶)
5	4	releqi 5760	. 2 ⊢ (Rel dom (𝐶 Limit 𝐷) ↔ Rel (𝐷 Func 𝐶))
6	1, 5	mpbir 234	1 ⊢ Rel dom (𝐶 Limit 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:  dom cdm 5656  Rel wrel 5661  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  oppCatcoppc 17917   Func cfunc 18061   FuncCat cfuc 18152  Δ_funccdiag 18418   oppFunc coppf 50453   UP cup 50504   Limit clmd 51041

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-func 18065  df-lmd 51043

This theorem is used by: (None)