Theorem mptcoe1fsupp 22207

Description: A mapping involving coefficients of polynomials is finitely supported. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptcoe1fsupp.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mptcoe1fsupp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mptcoe1fsupp.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mptcoe1fsupp	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝑘)) finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑅,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem mptcoe1fsupp

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptcoe1fsupp.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2	1	fvexi 6848	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 0 ∈ V)
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (coe1‘𝑀) = (coe1‘𝑀)
5		mptcoe1fsupp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6		mptcoe1fsupp.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	4, 5, 6, 7	coe1fvalcl 22204	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑀)‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
9	8	adantll 720	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑀)‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
10		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
11	4, 5, 6, 1, 7	coe1fsupp 22206	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝑀) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∣ 𝑐 finSupp 0 })
12		elrabi 3632	. . . . . 6 ⊢ ((coe1‘𝑀) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∣ 𝑐 finSupp 0 } → (coe1‘𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0))
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0))
14	13, 2	jctir 525	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 0 ∈ V))
15	4, 5, 6, 1	coe1sfi 22205	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝑀) finSupp 0 )
16	15	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝑀) finSupp 0 )
17		fsuppmapnn0ub 13955	. . . 4 ⊢ (((coe1‘𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 0 ∈ V) → ((coe1‘𝑀) finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 )))
18	14, 16, 17	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ))
19		csbfv 6881	. . . . . . . 8 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = ((coe1‘𝑀)‘𝑥)
20		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ) → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 )
21	19, 20	eqtrid 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 )
22	21	exp31 420	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑥 → (((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 )))
23	22	a2d 29	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ) → (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 )))
24	23	ralimdva 3152	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 )))
25	24	reximdva 3153	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 )))
26	18, 25	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 ))
27	3, 9, 26	mptnn0fsupp 13957	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝑘)) finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  {crab 3392  Vcvv 3432  ⦋csb 3838   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↑_m cmap 8770   finSupp cfsupp 9271   < clt 11177  ℕ₀cn0 12435  Basecbs 17177  0_gc0g 17400  Ringcrg 20212  Poly₁cpl1 22169  coe₁cco1 22170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-tset 17237  df-ple 17238  df-psr 21891  df-mpl 21893  df-opsr 21895  df-psr1 22172  df-ply1 22174  df-coe1 22175

This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem5  22800  cpmidpmatlem3  22862  chcoeffeqlem  22875  evls1fldgencl  33861