Theorem mptcoe1fsupp 20940

Description: A mapping involving coefficients of polynomials is finitely supported. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptcoe1fsupp.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mptcoe1fsupp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mptcoe1fsupp.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mptcoe1fsupp	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝑘)) finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑅,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem mptcoe1fsupp

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptcoe1fsupp.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2	1	fvexi 6673	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 0 ∈ V)
4		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (coe1‘𝑀) = (coe1‘𝑀)
5		mptcoe1fsupp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6		mptcoe1fsupp.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	4, 5, 6, 7	coe1fvalcl 20937	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑀)‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
9	8	adantll 714	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑀)‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
10		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
11	4, 5, 6, 1, 7	coe1fsupp 20939	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝑀) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∣ 𝑐 finSupp 0 })
12		elrabi 3597	. . . . . 6 ⊢ ((coe1‘𝑀) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∣ 𝑐 finSupp 0 } → (coe1‘𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0))
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0))
14	13, 2	jctir 525	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 0 ∈ V))
15	4, 5, 6, 1	coe1sfi 20938	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝑀) finSupp 0 )
16	15	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝑀) finSupp 0 )
17		fsuppmapnn0ub 13413	. . . 4 ⊢ (((coe1‘𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 0 ∈ V) → ((coe1‘𝑀) finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 )))
18	14, 16, 17	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ))
19		csbfv 6704	. . . . . . . 8 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = ((coe1‘𝑀)‘𝑥)
20		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ) → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 )
21	19, 20	syl5eq 2806	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 )
22	21	exp31 424	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑥 → (((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 )))
23	22	a2d 29	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ) → (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 )))
24	23	ralimdva 3109	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 )))
25	24	reximdva 3199	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 )))
26	18, 25	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 ))
27	3, 9, 26	mptnn0fsupp 13415	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝑘)) finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071  ∃wrex 3072  {crab 3075  Vcvv 3410  ⦋csb 3806   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151   ↑_m cmap 8417   finSupp cfsupp 8867   < clt 10714  ℕ₀cn0 11935  Basecbs 16542  0_gc0g 16772  Ringcrg 19366  Poly₁cpl1 20902  coe₁cco1 20903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7406  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8868  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-4 11740  df-5 11741  df-6 11742  df-7 11743  df-8 11744  df-9 11745  df-n0 11936  df-z 12022  df-dec 12139  df-uz 12284  df-fz 12941  df-struct 16544  df-ndx 16545  df-slot 16546  df-base 16548  df-sets 16549  df-ress 16550  df-plusg 16637  df-mulr 16638  df-sca 16640  df-vsca 16641  df-tset 16643  df-ple 16644  df-psr 20672  df-mpl 20674  df-opsr 20676  df-psr1 20905  df-ply1 20907  df-coe1 20908

This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem5  21511  cpmidpmatlem3  21573  chcoeffeqlem  21586