Theorem mptcoe1fsupp 22189

Description: A mapping involving coefficients of polynomials is finitely supported. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptcoe1fsupp.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mptcoe1fsupp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mptcoe1fsupp.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mptcoe1fsupp	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝑘)) finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑅,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem mptcoe1fsupp

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptcoe1fsupp.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2	1	fvexi 6848	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 0 ∈ V)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (coe1‘𝑀) = (coe1‘𝑀)
5		mptcoe1fsupp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6		mptcoe1fsupp.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	4, 5, 6, 7	coe1fvalcl 22186	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑀)‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
9	8	adantll 715	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑀)‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
10		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
11	4, 5, 6, 1, 7	coe1fsupp 22188	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝑀) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∣ 𝑐 finSupp 0 })
12		elrabi 3631	. . . . . 6 ⊢ ((coe1‘𝑀) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∣ 𝑐 finSupp 0 } → (coe1‘𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0))
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0))
14	13, 2	jctir 520	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 0 ∈ V))
15	4, 5, 6, 1	coe1sfi 22187	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝑀) finSupp 0 )
16	15	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝑀) finSupp 0 )
17		fsuppmapnn0ub 13948	. . . 4 ⊢ (((coe1‘𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 0 ∈ V) → ((coe1‘𝑀) finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 )))
18	14, 16, 17	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ))
19		csbfv 6881	. . . . . . . 8 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = ((coe1‘𝑀)‘𝑥)
20		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ) → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 )
21	19, 20	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 )
22	21	exp31 419	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑥 → (((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 )))
23	22	a2d 29	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ) → (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 )))
24	23	ralimdva 3150	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 )))
25	24	reximdva 3151	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 )))
26	18, 25	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 ))
27	3, 9, 26	mptnn0fsupp 13950	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝑘)) finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390  Vcvv 3430  ⦋csb 3838   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8766   finSupp cfsupp 9267   < clt 11170  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  Ringcrg 20205  Poly₁cpl1 22150  coe₁cco1 22151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-tset 17230  df-ple 17231  df-psr 21899  df-mpl 21901  df-opsr 21903  df-psr1 22153  df-ply1 22155  df-coe1 22156

This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem5  22785  cpmidpmatlem3  22847  chcoeffeqlem  22860  evls1fldgencl  33830