Theorem mptcoe1fsupp 22335

Description: A mapping involving coefficients of polynomials is finitely supported. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptcoe1fsupp.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mptcoe1fsupp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mptcoe1fsupp.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mptcoe1fsupp	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝑘)) finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑅,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem mptcoe1fsupp

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptcoe1fsupp.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2	1	fvexi 6885	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 0 ∈ V)
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (coe1‘𝑀) = (coe1‘𝑀)
5		mptcoe1fsupp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6		mptcoe1fsupp.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	4, 5, 6, 7	coe1fvalcl 22332	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑀)‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
9	8	adantll 726	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑀)‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
10		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
11	4, 5, 6, 1, 7	coe1fsupp 22334	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝑀) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∣ 𝑐 finSupp 0 })
12		elrabi 3649	. . . . . 6 ⊢ ((coe1‘𝑀) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∣ 𝑐 finSupp 0 } → (coe1‘𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0))
13	10, 11, 12	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0))
14	13, 2	jctir 529	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 0 ∈ V))
15	4, 5, 6, 1	coe1sfi 22333	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝑀) finSupp 0 )
16	15	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝑀) finSupp 0 )
17		fsuppmapnn0ub 14022	. . . 4 ⊢ (((coe1‘𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 0 ∈ V) → ((coe1‘𝑀) finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 )))
18	14, 16, 17	sylc 66	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ))
19		csbfv 6918	. . . . . . . 8 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = ((coe1‘𝑀)‘𝑥)
20		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ) → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 )
21	19, 20	eqtrid 2812	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 )
22	21	exp31 424	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑥 → (((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 )))
23	22	a2d 30	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ) → (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 )))
24	23	ralimdva 3177	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 )))
25	24	reximdva 3178	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑀)‘𝑥) = 0 ) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 )))
26	18, 25	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑀)‘𝑘) = 0 ))
27	3, 9, 26	mptnn0fsupp 14024	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝑘)) finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3417  Vcvv 3457  ⦋csb 3855   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ↑_m cmap 8812   finSupp cfsupp 9309   < clt 11231  ℕ₀cn0 12495  Basecbs 17259  0_gc0g 17482  Ringcrg 20306  Poly₁cpl1 22297  coe₁cco1 22298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-tset 17319  df-ple 17320  df-psr 22019  df-mpl 22021  df-opsr 22023  df-psr1 22300  df-ply1 22302  df-coe1 22303

This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem5  22928  cpmidpmatlem3  22990  chcoeffeqlem  23003  evls1fldgencl  33977