Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemkid4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemkid4 36715
Description: Lemma for cdlemkid 36717. (Contributed by NM, 25-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
cdlemk5.y 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
Assertion
Ref Expression
cdlemkid4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → 𝐺 / 𝑔𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝑧 = ( I ↾ 𝐵))))
Distinct variable groups:   ,𝑔   ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ,𝑏,𝑧   ,𝑏   𝑧,𝑔,   ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemkid4
StepHypRef Expression
1 simp3r 1252 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))
2 cdlemk5.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 cdlemk5.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 cdlemk5.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4idltrn 35930 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
653ad2ant1 1156 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
71, 6eqeltrd 2885 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → 𝐺𝑇)
8 cdlemk5.x . . . . . . 7 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
98csbeq2i 4190 . . . . . 6 𝐺 / 𝑔𝑋 = 𝐺 / 𝑔(𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
10 csbriota 6847 . . . . . 6 𝐺 / 𝑔(𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌)) = (𝑧𝑇 [𝐺 / 𝑔]𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
119, 10eqtri 2828 . . . . 5 𝐺 / 𝑔𝑋 = (𝑧𝑇 [𝐺 / 𝑔]𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
1211a1i 11 . . . 4 (𝐺𝑇𝐺 / 𝑔𝑋 = (𝑧𝑇 [𝐺 / 𝑔]𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌)))
13 sbcralg 3708 . . . . . 6 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔]𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌) ↔ ∀𝑏𝑇 [𝐺 / 𝑔]((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌)))
14 sbcimg 3675 . . . . . . . 8 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔]((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌) ↔ ([𝐺 / 𝑔](𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → [𝐺 / 𝑔](𝑧𝑃) = 𝑌)))
15 sbc3an 3691 . . . . . . . . . 10 ([𝐺 / 𝑔](𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) ↔ ([𝐺 / 𝑔]𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ [𝐺 / 𝑔](𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ [𝐺 / 𝑔](𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)))
16 sbcg 3699 . . . . . . . . . . 11 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔]𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
17 sbcg 3699 . . . . . . . . . . 11 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔](𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ↔ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹)))
18 sbcne12 4183 . . . . . . . . . . . 12 ([𝐺 / 𝑔](𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔) ↔ 𝐺 / 𝑔(𝑅𝑏) ≠ 𝐺 / 𝑔(𝑅𝑔))
19 csbconstg 3741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺𝑇𝐺 / 𝑔(𝑅𝑏) = (𝑅𝑏))
20 csbfv 6453 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 / 𝑔(𝑅𝑔) = (𝑅𝐺)
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺𝑇𝐺 / 𝑔(𝑅𝑔) = (𝑅𝐺))
2219, 21neeq12d 3039 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺𝑇 → (𝐺 / 𝑔(𝑅𝑏) ≠ 𝐺 / 𝑔(𝑅𝑔) ↔ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))
2318, 22syl5bb 274 . . . . . . . . . . 11 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔](𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔) ↔ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))
2416, 17, 233anbi123d 1553 . . . . . . . . . 10 (𝐺𝑇 → (([𝐺 / 𝑔]𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ [𝐺 / 𝑔](𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ [𝐺 / 𝑔](𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) ↔ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))))
2515, 24syl5bb 274 . . . . . . . . 9 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔](𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) ↔ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))))
26 sbceq2g 4187 . . . . . . . . 9 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔](𝑧𝑃) = 𝑌 ↔ (𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌))
2725, 26imbi12d 335 . . . . . . . 8 (𝐺𝑇 → (([𝐺 / 𝑔](𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → [𝐺 / 𝑔](𝑧𝑃) = 𝑌) ↔ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌)))
2814, 27bitrd 270 . . . . . . 7 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔]((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌) ↔ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌)))
2928ralbidv 3174 . . . . . 6 (𝐺𝑇 → (∀𝑏𝑇 [𝐺 / 𝑔]((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌) ↔ ∀𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌)))
3013, 29bitrd 270 . . . . 5 (𝐺𝑇 → ([𝐺 / 𝑔]𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌) ↔ ∀𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌)))
3130riotabidv 6837 . . . 4 (𝐺𝑇 → (𝑧𝑇 [𝐺 / 𝑔]𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌)) = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌)))
3212, 31eqtrd 2840 . . 3 (𝐺𝑇𝐺 / 𝑔𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌)))
337, 32syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → 𝐺 / 𝑔𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌)))
34 simpl1 1235 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ ((𝑧𝑇𝑏𝑇) ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
35 simpl2 1237 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ ((𝑧𝑇𝑏𝑇) ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
36 simpl3l 1294 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ ((𝑧𝑇𝑏𝑇) ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
37 simpl3r 1296 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ ((𝑧𝑇𝑏𝑇) ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))
38 simprlr 789 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ ((𝑧𝑇𝑏𝑇) ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑏𝑇)
39 simprr1 1280 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ ((𝑧𝑇𝑏𝑇) ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵))
4038, 39jca 503 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ ((𝑧𝑇𝑏𝑇) ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
41 cdlemk5.l . . . . . . . . . . 11 = (le‘𝐾)
42 cdlemk5.j . . . . . . . . . . 11 = (join‘𝐾)
43 cdlemk5.m . . . . . . . . . . 11 = (meet‘𝐾)
44 cdlemk5.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
45 cdlemk5.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
46 cdlemk5.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
47 cdlemk5.y . . . . . . . . . . 11 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
482, 41, 42, 43, 44, 3, 4, 45, 46, 47cdlemkid2 36705 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑏𝑇𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝐺 / 𝑔𝑌 = 𝑃)
4934, 35, 36, 37, 40, 48syl113anc 1494 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ ((𝑧𝑇𝑏𝑇) ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐺 / 𝑔𝑌 = 𝑃)
5049eqeq2d 2816 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ ((𝑧𝑇𝑏𝑇) ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → ((𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌 ↔ (𝑧𝑃) = 𝑃))
51 simprll 788 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ ((𝑧𝑇𝑏𝑇) ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑧𝑇)
522, 41, 44, 3, 4ltrnideq 35956 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑧𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑧 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑧𝑃) = 𝑃))
5334, 51, 36, 52syl3anc 1483 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ ((𝑧𝑇𝑏𝑇) ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑧 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑧𝑃) = 𝑃))
5450, 53bitr4d 273 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ ((𝑧𝑇𝑏𝑇) ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))) → ((𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌𝑧 = ( I ↾ 𝐵)))
5554exp44 426 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → (𝑧𝑇 → (𝑏𝑇 → ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → ((𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌𝑧 = ( I ↾ 𝐵))))))
5655imp41 414 . . . . 5 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑧𝑇) ∧ 𝑏𝑇) ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌𝑧 = ( I ↾ 𝐵)))
5756pm5.74da 829 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑧𝑇) ∧ 𝑏𝑇) → (((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌) ↔ ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝑧 = ( I ↾ 𝐵))))
5857ralbidva 3173 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑧𝑇) → (∀𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌) ↔ ∀𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝑧 = ( I ↾ 𝐵))))
5958riotabidva 6851 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑧𝑃) = 𝐺 / 𝑔𝑌)) = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝑧 = ( I ↾ 𝐵))))
6033, 59eqtrd 2840 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → 𝐺 / 𝑔𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝑧 = ( I ↾ 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wral 3096  [wsbc 3633  csb 3728   class class class wbr 4844   I cid 5218  ccnv 5310  cres 5313  ccom 5315  cfv 6101  crio 6834  (class class class)co 6874  Basecbs 16068  lecple 16160  joincjn 17149  meetcmee 17150  Atomscatm 35043  HLchlt 35130  LHypclh 35764  LTrncltrn 35881  trLctrl 35939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-riotaBAD 34732
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-undef 7634  df-map 8094  df-proset 17133  df-poset 17151  df-plt 17163  df-lub 17179  df-glb 17180  df-join 17181  df-meet 17182  df-p0 17244  df-p1 17245  df-lat 17251  df-clat 17313  df-oposet 34956  df-ol 34958  df-oml 34959  df-covers 35046  df-ats 35047  df-atl 35078  df-cvlat 35102  df-hlat 35131  df-llines 35278  df-lplanes 35279  df-lvols 35280  df-lines 35281  df-psubsp 35283  df-pmap 35284  df-padd 35576  df-lhyp 35768  df-laut 35769  df-ldil 35884  df-ltrn 35885  df-trl 35940
This theorem is referenced by:  cdlemkid5  36716  cdlemkid  36717
  Copyright terms: Public domain W3C validator