Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp3r 1203 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β πΊ = ( I βΎ π΅)) |
2 | | cdlemk5.b |
. . . . . 6
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
3 | | cdlemk5.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
4 | | cdlemk5.t |
. . . . . 6
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
5 | 2, 3, 4 | idltrn 38659 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β ( I βΎ π΅) β π) |
6 | 5 | 3ad2ant1 1134 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β ( I βΎ π΅) β π) |
7 | 1, 6 | eqeltrd 2834 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β πΊ β π) |
8 | | cdlemk5.x |
. . . . . . 7
β’ π = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π)) |
9 | 8 | csbeq2i 3864 |
. . . . . 6
β’
β¦πΊ /
πβ¦π = β¦πΊ / πβ¦(β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π)) |
10 | | csbriota 7330 |
. . . . . 6
β’
β¦πΊ /
πβ¦(β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π)) = (β©π§ β π [πΊ / π]βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π)) |
11 | 9, 10 | eqtri 2761 |
. . . . 5
β’
β¦πΊ /
πβ¦π = (β©π§ β π [πΊ / π]βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π)) |
12 | 11 | a1i 11 |
. . . 4
β’ (πΊ β π β β¦πΊ / πβ¦π = (β©π§ β π [πΊ / π]βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π))) |
13 | | sbcralg 3831 |
. . . . . 6
β’ (πΊ β π β ([πΊ / π]βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π) β βπ β π [πΊ / π]((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π))) |
14 | | sbcimg 3791 |
. . . . . . . 8
β’ (πΊ β π β ([πΊ / π]((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π) β ([πΊ / π](π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β [πΊ / π](π§βπ) = π))) |
15 | | sbc3an 3810 |
. . . . . . . . . 10
β’
([πΊ / π](π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β ([πΊ / π]π β ( I βΎ π΅) β§ [πΊ / π](π
βπ) β (π
βπΉ) β§ [πΊ / π](π
βπ) β (π
βπ))) |
16 | | sbcg 3819 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (πΊ β π β ([πΊ / π]π β ( I βΎ π΅) β π β ( I βΎ π΅))) |
17 | | sbcg 3819 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (πΊ β π β ([πΊ / π](π
βπ) β (π
βπΉ) β (π
βπ) β (π
βπΉ))) |
18 | | sbcne12 4373 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
([πΊ / π](π
βπ) β (π
βπ) β β¦πΊ / πβ¦(π
βπ) β β¦πΊ / πβ¦(π
βπ)) |
19 | | csbconstg 3875 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (πΊ β π β β¦πΊ / πβ¦(π
βπ) = (π
βπ)) |
20 | | csbfv 6893 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
β¦πΊ /
πβ¦(π
βπ) = (π
βπΊ) |
21 | 20 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (πΊ β π β β¦πΊ / πβ¦(π
βπ) = (π
βπΊ)) |
22 | 19, 21 | neeq12d 3002 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (πΊ β π β (β¦πΊ / πβ¦(π
βπ) β β¦πΊ / πβ¦(π
βπ) β (π
βπ) β (π
βπΊ))) |
23 | 18, 22 | bitrid 283 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (πΊ β π β ([πΊ / π](π
βπ) β (π
βπ) β (π
βπ) β (π
βπΊ))) |
24 | 16, 17, 23 | 3anbi123d 1437 |
. . . . . . . . . 10
β’ (πΊ β π β (([πΊ / π]π β ( I βΎ π΅) β§ [πΊ / π](π
βπ) β (π
βπΉ) β§ [πΊ / π](π
βπ) β (π
βπ)) β (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)))) |
25 | 15, 24 | bitrid 283 |
. . . . . . . . 9
β’ (πΊ β π β ([πΊ / π](π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)))) |
26 | | sbceq2g 4377 |
. . . . . . . . 9
β’ (πΊ β π β ([πΊ / π](π§βπ) = π β (π§βπ) = β¦πΊ / πβ¦π)) |
27 | 25, 26 | imbi12d 345 |
. . . . . . . 8
β’ (πΊ β π β (([πΊ / π](π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β [πΊ / π](π§βπ) = π) β ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = β¦πΊ / πβ¦π))) |
28 | 14, 27 | bitrd 279 |
. . . . . . 7
β’ (πΊ β π β ([πΊ / π]((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π) β ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = β¦πΊ / πβ¦π))) |
29 | 28 | ralbidv 3171 |
. . . . . 6
β’ (πΊ β π β (βπ β π [πΊ / π]((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π) β βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = β¦πΊ / πβ¦π))) |
30 | 13, 29 | bitrd 279 |
. . . . 5
β’ (πΊ β π β ([πΊ / π]βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π) β βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = β¦πΊ / πβ¦π))) |
31 | 30 | riotabidv 7316 |
. . . 4
β’ (πΊ β π β (β©π§ β π [πΊ / π]βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π)) = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = β¦πΊ / πβ¦π))) |
32 | 12, 31 | eqtrd 2773 |
. . 3
β’ (πΊ β π β β¦πΊ / πβ¦π = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = β¦πΊ / πβ¦π))) |
33 | 7, 32 | syl 17 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β β¦πΊ / πβ¦π = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = β¦πΊ / πβ¦π))) |
34 | | simpl1 1192 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β§ ((π§ β π β§ π β π) β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
35 | | simpl2 1193 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β§ ((π§ β π β§ π β π) β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)))) β (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ))) |
36 | | simpl3l 1229 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β§ ((π§ β π β§ π β π) β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
37 | | simpl3r 1230 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β§ ((π§ β π β§ π β π) β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)))) β πΊ = ( I βΎ π΅)) |
38 | | simprlr 779 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β§ ((π§ β π β§ π β π) β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)))) β π β π) |
39 | | simprr1 1222 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β§ ((π§ β π β§ π β π) β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)))) β π β ( I βΎ π΅)) |
40 | 38, 39 | jca 513 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β§ ((π§ β π β§ π β π) β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)))) β (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) |
41 | | cdlemk5.l |
. . . . . . . . . . 11
β’ β€ =
(leβπΎ) |
42 | | cdlemk5.j |
. . . . . . . . . . 11
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
43 | | cdlemk5.m |
. . . . . . . . . . 11
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
44 | | cdlemk5.a |
. . . . . . . . . . 11
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
45 | | cdlemk5.r |
. . . . . . . . . . 11
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
46 | | cdlemk5.z |
. . . . . . . . . . 11
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) |
47 | | cdlemk5.y |
. . . . . . . . . . 11
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (π β¨ (π
β(π β β‘π)))) |
48 | 2, 41, 42, 43, 44, 3, 4, 45, 46, 47 | cdlemkid2 39433 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅)))) β β¦πΊ / πβ¦π = π) |
49 | 34, 35, 36, 37, 40, 48 | syl113anc 1383 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β§ ((π§ β π β§ π β π) β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)))) β β¦πΊ / πβ¦π = π) |
50 | 49 | eqeq2d 2744 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β§ ((π§ β π β§ π β π) β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)))) β ((π§βπ) = β¦πΊ / πβ¦π β (π§βπ) = π)) |
51 | | simprll 778 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β§ ((π§ β π β§ π β π) β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)))) β π§ β π) |
52 | 2, 41, 44, 3, 4 | ltrnideq 38684 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π§ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π§ = ( I βΎ π΅) β (π§βπ) = π)) |
53 | 34, 51, 36, 52 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β§ ((π§ β π β§ π β π) β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)))) β (π§ = ( I βΎ π΅) β (π§βπ) = π)) |
54 | 50, 53 | bitr4d 282 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β§ ((π§ β π β§ π β π) β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)))) β ((π§βπ) = β¦πΊ / πβ¦π β π§ = ( I βΎ π΅))) |
55 | 54 | exp44 439 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β (π§ β π β (π β π β ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β ((π§βπ) = β¦πΊ / πβ¦π β π§ = ( I βΎ π΅)))))) |
56 | 55 | imp41 427 |
. . . . 5
β’
((((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β§ π§ β π) β§ π β π) β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ))) β ((π§βπ) = β¦πΊ / πβ¦π β π§ = ( I βΎ π΅))) |
57 | 56 | pm5.74da 803 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β§ π§ β π) β§ π β π) β (((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = β¦πΊ / πβ¦π) β ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = ( I βΎ π΅)))) |
58 | 57 | ralbidva 3169 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β§ π§ β π) β (βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = β¦πΊ / πβ¦π) β βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = ( I βΎ π΅)))) |
59 | 58 | riotabidva 7334 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (π§βπ) = β¦πΊ / πβ¦π)) = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = ( I βΎ π΅)))) |
60 | 33, 59 | eqtrd 2773 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β β¦πΊ / πβ¦π = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = ( I βΎ π΅)))) |