Theorem cpmidpmatlem3 22899

Description: Lemma 3 for cpmidpmat 22900. (Contributed by AV, 14-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 7-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmidgsum.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmidgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmidgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmidgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmidgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmidgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmidgsum.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmidgsum.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmidgsum.u	⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
cpmidgsum.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum.k	⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
cpmidgsum.h	⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 )
cpmidgsumm2pm.o	⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmidpmat.g	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))

Assertion

Ref	Expression
cpmidpmatlem3	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 finSupp (0g‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐻   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑌   𝑘,𝐾   𝑘,𝑂   ∗ ,𝑘   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   · (𝑘)   𝑈(𝑘)   1 (𝑘)   ↑ (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem cpmidpmatlem3

Dummy variables 𝑛 𝑙 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmidpmat.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))
2		fvexd 6935	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐴) ∈ V)
3		ovexd 7483	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂) ∈ V)
4		fveq2 6920	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((coe1‘𝐾)‘𝑘) = ((coe1‘𝐾)‘𝑙))
5	4	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂))
6		fvexd 6935	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ V)
7		cpmidgsum.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
8		cpmidgsum.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
9		cpmidgsum.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10		cpmidgsum.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
11		cpmidgsum.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	8, 9, 10, 11, 12	chpmatply1 22859	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
14	7, 13	eqeltrid 2848	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
15		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐾) = (coe1‘𝐾)
16		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17	15, 12, 11, 16	coe1fvalcl 22235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
18	14, 17	sylan 579	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
19		crngring 20272	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
20	19	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
21		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
22	11, 12, 21	mptcoe1fsupp 22238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝐾)‘𝑛)) finSupp (0g‘𝑅))
23	20, 14, 22	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝐾)‘𝑛)) finSupp (0g‘𝑅))
24	6, 18, 23	mptnn0fsuppr 14050	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
25		csbfv 6970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = ((coe1‘𝐾)‘𝑙)
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = ((coe1‘𝐾)‘𝑙))
27	26	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ((coe1‘𝐾)‘𝑙) = (0g‘𝑅)))
28	27	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ((coe1‘𝐾)‘𝑙) = (0g‘𝑅))
29	9	matsca2 22447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
30	29	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
31	30	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
32	31	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝐴)))
33	28, 32	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ((coe1‘𝐾)‘𝑙) = (0g‘(Scalar‘𝐴)))
34	33	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = ((0g‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 𝑂))
35	9	matlmod 22456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
36	19, 35	sylan2 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ LMod)
37	36	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ LMod)
38	9	matring 22470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
39	19, 38	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
40		cpmidgsumm2pm.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴)
41	10, 40	ringidcl 20289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑂 ∈ 𝐵)
42	39, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑂 ∈ 𝐵)
43	42	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑂 ∈ 𝐵)
44		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
45		cpmidgsumm2pm.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
46		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐴)) = (0g‘(Scalar‘𝐴))
47		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
48	10, 44, 45, 46, 47	lmod0vs 20915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝑂 ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))
49	37, 43, 48	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))
50	49	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))
51	34, 50	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))
52	51	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅) → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴)))
53	52	imim2d 57	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑙 → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → (𝑠 < 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))))
54	53	ralimdva 3173	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))))
55	54	reximdv 3176	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))))
56	24, 55	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴)))
57	2, 3, 5, 56	mptnn0fsuppd 14049	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) finSupp (0g‘𝐴))
58	1, 57	eqbrtrid 5201	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 finSupp (0g‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488  ⦋csb 3921   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003   finSupp cfsupp 9431   < clt 11324  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17499  ._gcmg 19107  mulGrpcmgp 20161  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261  LModclmod 20880  algSccascl 21895  var₁cv1 22198  Poly₁cpl1 22199  coe₁cco1 22200   Mat cmat 22432   matToPolyMat cmat2pmat 22731   CharPlyMat cchpmat 22853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-word 14563  df-lsw 14611  df-concat 14619  df-s1 14644  df-substr 14689  df-pfx 14719  df-splice 14798  df-reverse 14807  df-s2 14897  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-efmnd 18904  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-gim 19299  df-cntz 19357  df-oppg 19386  df-symg 19411  df-pmtr 19484  df-psgn 19533  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-cnfld 21388  df-zring 21481  df-zrh 21537  df-dsmm 21775  df-frlm 21790  df-ascl 21898  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-vr1 22203  df-ply1 22204  df-coe1 22205  df-mamu 22416  df-mat 22433  df-mdet 22612  df-mat2pmat 22734  df-chpmat 22854

This theorem is referenced by:  cpmidpmat  22900