MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmidpmatlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpmidpmatlem3 21466
Description: Lemma 3 for cpmidpmat 21467. (Contributed by AV, 14-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 7-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmidgsum.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmidgsum.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmidgsum.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cpmidgsum.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmidgsum.x 𝑋 = (var1𝑅)
cpmidgsum.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmidgsum.m · = ( ·𝑠𝑌)
cpmidgsum.1 1 = (1r𝑌)
cpmidgsum.u 𝑈 = (algSc‘𝑃)
cpmidgsum.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum.k 𝐾 = (𝐶𝑀)
cpmidgsum.h 𝐻 = (𝐾 · 1 )
cpmidgsumm2pm.o 𝑂 = (1r𝐴)
cpmidgsumm2pm.m = ( ·𝑠𝐴)
cpmidgsumm2pm.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmidpmat.g 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1𝐾)‘𝑘) 𝑂))
Assertion
Ref Expression
cpmidpmatlem3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 finSupp (0g𝐴))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐻   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑌   𝑘,𝐾   𝑘,𝑂   ,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   · (𝑘)   𝑈(𝑘)   1 (𝑘)   (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem cpmidpmatlem3
Dummy variables 𝑛 𝑙 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cpmidpmat.g . 2 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1𝐾)‘𝑘) 𝑂))
2 fvexd 6666 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (0g𝐴) ∈ V)
3 ovexd 7173 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1𝐾)‘𝑘) 𝑂) ∈ V)
4 fveq2 6651 . . . 4 (𝑘 = 𝑙 → ((coe1𝐾)‘𝑘) = ((coe1𝐾)‘𝑙))
54oveq1d 7153 . . 3 (𝑘 = 𝑙 → (((coe1𝐾)‘𝑘) 𝑂) = (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂))
6 fvexd 6666 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (0g𝑅) ∈ V)
7 cpmidgsum.k . . . . . . 7 𝐾 = (𝐶𝑀)
8 cpmidgsum.c . . . . . . . 8 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
9 cpmidgsum.a . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10 cpmidgsum.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐴)
11 cpmidgsum.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
12 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
138, 9, 10, 11, 12chpmatply1 21426 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐶𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
147, 13eqeltrid 2920 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
15 eqid 2824 . . . . . . 7 (coe1𝐾) = (coe1𝐾)
16 eqid 2824 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1715, 12, 11, 16coe1fvalcl 20366 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1𝐾)‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
1814, 17sylan 583 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1𝐾)‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
19 crngring 19297 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
20193ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
21 eqid 2824 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2211, 12, 21mptcoe1fsupp 20369 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1𝐾)‘𝑛)) finSupp (0g𝑅))
2320, 14, 22syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1𝐾)‘𝑛)) finSupp (0g𝑅))
246, 18, 23mptnn0fsuppr 13360 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)))
25 csbfv 6696 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = ((coe1𝐾)‘𝑙)
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = ((coe1𝐾)‘𝑙))
2726eqeq1d 2826 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ((coe1𝐾)‘𝑙) = (0g𝑅)))
2827biimpa 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → ((coe1𝐾)‘𝑙) = (0g𝑅))
299matsca2 21015 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
30293adant3 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
3231fveq2d 6655 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝐴)))
3328, 32eqtrd 2859 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → ((coe1𝐾)‘𝑙) = (0g‘(Scalar‘𝐴)))
3433oveq1d 7153 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂) = ((0g‘(Scalar‘𝐴)) 𝑂))
359matlmod 21024 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
3619, 35sylan2 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ LMod)
37363adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝐴 ∈ LMod)
389matring 21038 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
3919, 38sylan2 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
40 cpmidgsumm2pm.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = (1r𝐴)
4110, 40ringidcl 19307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Ring → 𝑂𝐵)
4239, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑂𝐵)
43423adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑂𝐵)
44 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
45 cpmidgsumm2pm.m . . . . . . . . . . . 12 = ( ·𝑠𝐴)
46 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (0g‘(Scalar‘𝐴)) = (0g‘(Scalar‘𝐴))
47 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐴) = (0g𝐴)
4810, 44, 45, 46, 47lmod0vs 19653 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝑂𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) 𝑂) = (0g𝐴))
4937, 43, 48syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) 𝑂) = (0g𝐴))
5049ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) 𝑂) = (0g𝐴))
5134, 50eqtrd 2859 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂) = (0g𝐴))
5251ex 416 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅) → (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂) = (0g𝐴)))
5352imim2d 57 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑙𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → (𝑠 < 𝑙 → (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂) = (0g𝐴))))
5453ralimdva 3171 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂) = (0g𝐴))))
5554reximdv 3265 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂) = (0g𝐴))))
5624, 55mpd 15 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂) = (0g𝐴)))
572, 3, 5, 56mptnn0fsuppd 13359 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1𝐾)‘𝑘) 𝑂)) finSupp (0g𝐴))
581, 57eqbrtrid 5082 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 finSupp (0g𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3132  wrex 3133  Vcvv 3479  csb 3865   class class class wbr 5047  cmpt 5127  cfv 6336  (class class class)co 7138  Fincfn 8492   finSupp cfsupp 8817   < clt 10660  0cn0 11883  Basecbs 16472  Scalarcsca 16557   ·𝑠 cvsca 16558  0gc0g 16702  .gcmg 18213  mulGrpcmgp 19228  1rcur 19240  Ringcrg 19286  CRingccrg 19287  LModclmod 19620  algSccascl 20070  var1cv1 20330  Poly1cpl1 20331  coe1cco1 20332   Mat cmat 21002   matToPolyMat cmat2pmat 21298   CharPlyMat cchpmat 21420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-addf 10601  ax-mulf 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-ot 4557  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-ofr 7393  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-xnn0 11954  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-rp 12376  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13424  df-hash 13685  df-word 13856  df-lsw 13904  df-concat 13912  df-s1 13939  df-substr 13992  df-pfx 14022  df-splice 14101  df-reverse 14110  df-s2 14199  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-starv 16569  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-ip 16572  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-unif 16577  df-hom 16578  df-cco 16579  df-0g 16704  df-gsum 16705  df-prds 16710  df-pws 16712  df-mre 16846  df-mrc 16847  df-acs 16849  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-mhm 17945  df-submnd 17946  df-efmnd 18023  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-sbg 18097  df-mulg 18214  df-subg 18265  df-ghm 18345  df-gim 18388  df-cntz 18436  df-oppg 18463  df-symg 18485  df-pmtr 18559  df-psgn 18608  df-cmn 18897  df-abl 18898  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-cring 19289  df-oppr 19362  df-dvdsr 19380  df-unit 19381  df-invr 19411  df-dvr 19422  df-rnghom 19456  df-drng 19490  df-subrg 19519  df-lmod 19622  df-lss 19690  df-sra 19930  df-rgmod 19931  df-ascl 20073  df-psr 20122  df-mvr 20123  df-mpl 20124  df-opsr 20126  df-psr1 20334  df-vr1 20335  df-ply1 20336  df-coe1 20337  df-cnfld 20532  df-zring 20604  df-zrh 20637  df-dsmm 20862  df-frlm 20877  df-mamu 20981  df-mat 21003  df-mdet 21180  df-mat2pmat 21301  df-chpmat 21421
This theorem is referenced by:  cpmidpmat  21467
  Copyright terms: Public domain W3C validator