MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmidpmatlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpmidpmatlem3 21005
Description: Lemma 3 for cpmidpmat 21006. (Contributed by AV, 14-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 7-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmidgsum.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmidgsum.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmidgsum.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cpmidgsum.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmidgsum.x 𝑋 = (var1𝑅)
cpmidgsum.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmidgsum.m · = ( ·𝑠𝑌)
cpmidgsum.1 1 = (1r𝑌)
cpmidgsum.u 𝑈 = (algSc‘𝑃)
cpmidgsum.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum.k 𝐾 = (𝐶𝑀)
cpmidgsum.h 𝐻 = (𝐾 · 1 )
cpmidgsumm2pm.o 𝑂 = (1r𝐴)
cpmidgsumm2pm.m = ( ·𝑠𝐴)
cpmidgsumm2pm.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmidpmat.g 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1𝐾)‘𝑘) 𝑂))
Assertion
Ref Expression
cpmidpmatlem3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 finSupp (0g𝐴))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐻   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑌   𝑘,𝐾   𝑘,𝑂   ,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   · (𝑘)   𝑈(𝑘)   1 (𝑘)   (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem cpmidpmatlem3
Dummy variables 𝑛 𝑙 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cpmidpmat.g . 2 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1𝐾)‘𝑘) 𝑂))
2 fvexd 6426 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (0g𝐴) ∈ V)
3 ovexd 6912 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1𝐾)‘𝑘) 𝑂) ∈ V)
4 fveq2 6411 . . . 4 (𝑘 = 𝑙 → ((coe1𝐾)‘𝑘) = ((coe1𝐾)‘𝑙))
54oveq1d 6893 . . 3 (𝑘 = 𝑙 → (((coe1𝐾)‘𝑘) 𝑂) = (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂))
6 fvexd 6426 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (0g𝑅) ∈ V)
7 cpmidgsum.k . . . . . . 7 𝐾 = (𝐶𝑀)
8 cpmidgsum.c . . . . . . . 8 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
9 cpmidgsum.a . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10 cpmidgsum.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐴)
11 cpmidgsum.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
12 eqid 2799 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
138, 9, 10, 11, 12chpmatply1 20965 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐶𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
147, 13syl5eqel 2882 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
15 eqid 2799 . . . . . . 7 (coe1𝐾) = (coe1𝐾)
16 eqid 2799 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1715, 12, 11, 16coe1fvalcl 19904 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1𝐾)‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
1814, 17sylan 576 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1𝐾)‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
19 crngring 18874 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
20193ad2ant2 1165 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
21 eqid 2799 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2211, 12, 21mptcoe1fsupp 19907 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1𝐾)‘𝑛)) finSupp (0g𝑅))
2320, 14, 22syl2anc 580 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1𝐾)‘𝑛)) finSupp (0g𝑅))
246, 18, 23mptnn0fsuppr 13053 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)))
25 csbfv 6457 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = ((coe1𝐾)‘𝑙)
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = ((coe1𝐾)‘𝑙))
2726eqeq1d 2801 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ((coe1𝐾)‘𝑙) = (0g𝑅)))
2827biimpa 469 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → ((coe1𝐾)‘𝑙) = (0g𝑅))
299matsca2 20551 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
30293adant3 1163 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
3130ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
3231fveq2d 6415 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝐴)))
3328, 32eqtrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → ((coe1𝐾)‘𝑙) = (0g‘(Scalar‘𝐴)))
3433oveq1d 6893 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂) = ((0g‘(Scalar‘𝐴)) 𝑂))
359matlmod 20560 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
3619, 35sylan2 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ LMod)
37363adant3 1163 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝐴 ∈ LMod)
389matring 20574 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
3919, 38sylan2 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
40 cpmidgsumm2pm.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = (1r𝐴)
4110, 40ringidcl 18884 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Ring → 𝑂𝐵)
4239, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑂𝐵)
43423adant3 1163 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑂𝐵)
44 eqid 2799 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
45 cpmidgsumm2pm.m . . . . . . . . . . . 12 = ( ·𝑠𝐴)
46 eqid 2799 . . . . . . . . . . . 12 (0g‘(Scalar‘𝐴)) = (0g‘(Scalar‘𝐴))
47 eqid 2799 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐴) = (0g𝐴)
4810, 44, 45, 46, 47lmod0vs 19214 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝑂𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) 𝑂) = (0g𝐴))
4937, 43, 48syl2anc 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) 𝑂) = (0g𝐴))
5049ad2antrr 718 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) 𝑂) = (0g𝐴))
5134, 50eqtrd 2833 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂) = (0g𝐴))
5251ex 402 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅) → (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂) = (0g𝐴)))
5352imim2d 57 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑙𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → (𝑠 < 𝑙 → (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂) = (0g𝐴))))
5453ralimdva 3143 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂) = (0g𝐴))))
5554reximdv 3196 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂) = (0g𝐴))))
5624, 55mpd 15 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂) = (0g𝐴)))
572, 3, 5, 56mptnn0fsuppd 13052 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1𝐾)‘𝑘) 𝑂)) finSupp (0g𝐴))
581, 57syl5eqbr 4878 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 finSupp (0g𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  wrex 3090  Vcvv 3385  csb 3728   class class class wbr 4843  cmpt 4922  cfv 6101  (class class class)co 6878  Fincfn 8195   finSupp cfsupp 8517   < clt 10363  0cn0 11580  Basecbs 16184  Scalarcsca 16270   ·𝑠 cvsca 16271  0gc0g 16415  .gcmg 17856  mulGrpcmgp 18805  1rcur 18817  Ringcrg 18863  CRingccrg 18864  LModclmod 19181  algSccascl 19634  var1cv1 19868  Poly1cpl1 19869  coe1cco1 19870   Mat cmat 20538   matToPolyMat cmat2pmat 20837   CharPlyMat cchpmat 20959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-xor 1635  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-ot 4377  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-ofr 7132  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-sup 8590  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-rp 12075  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-word 13535  df-lsw 13583  df-concat 13591  df-s1 13616  df-substr 13665  df-pfx 13714  df-splice 13821  df-reverse 13839  df-s2 13933  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-hom 16291  df-cco 16292  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-prds 16423  df-pws 16425  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-ghm 17971  df-gim 18014  df-cntz 18062  df-oppg 18088  df-symg 18110  df-pmtr 18174  df-psgn 18223  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-cring 18866  df-oppr 18939  df-dvdsr 18957  df-unit 18958  df-invr 18988  df-dvr 18999  df-rnghom 19033  df-drng 19067  df-subrg 19096  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-sra 19495  df-rgmod 19496  df-ascl 19637  df-psr 19679  df-mvr 19680  df-mpl 19681  df-opsr 19683  df-psr1 19872  df-vr1 19873  df-ply1 19874  df-coe1 19875  df-cnfld 20069  df-zring 20141  df-zrh 20174  df-dsmm 20401  df-frlm 20416  df-mamu 20515  df-mat 20539  df-mdet 20717  df-mat2pmat 20840  df-chpmat 20960
This theorem is referenced by:  cpmidpmat  21006
  Copyright terms: Public domain W3C validator