MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmidpmatlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpmidpmatlem3 22101
Description: Lemma 3 for cpmidpmat 22102. (Contributed by AV, 14-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 7-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmidgsum.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmidgsum.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmidgsum.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cpmidgsum.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmidgsum.x 𝑋 = (var1𝑅)
cpmidgsum.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmidgsum.m · = ( ·𝑠𝑌)
cpmidgsum.1 1 = (1r𝑌)
cpmidgsum.u 𝑈 = (algSc‘𝑃)
cpmidgsum.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum.k 𝐾 = (𝐶𝑀)
cpmidgsum.h 𝐻 = (𝐾 · 1 )
cpmidgsumm2pm.o 𝑂 = (1r𝐴)
cpmidgsumm2pm.m = ( ·𝑠𝐴)
cpmidgsumm2pm.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmidpmat.g 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1𝐾)‘𝑘) 𝑂))
Assertion
Ref Expression
cpmidpmatlem3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 finSupp (0g𝐴))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐻   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑌   𝑘,𝐾   𝑘,𝑂   ,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   · (𝑘)   𝑈(𝑘)   1 (𝑘)   (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem cpmidpmatlem3
Dummy variables 𝑛 𝑙 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cpmidpmat.g . 2 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1𝐾)‘𝑘) 𝑂))
2 fvexd 6826 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (0g𝐴) ∈ V)
3 ovexd 7351 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1𝐾)‘𝑘) 𝑂) ∈ V)
4 fveq2 6811 . . . 4 (𝑘 = 𝑙 → ((coe1𝐾)‘𝑘) = ((coe1𝐾)‘𝑙))
54oveq1d 7331 . . 3 (𝑘 = 𝑙 → (((coe1𝐾)‘𝑘) 𝑂) = (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂))
6 fvexd 6826 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (0g𝑅) ∈ V)
7 cpmidgsum.k . . . . . . 7 𝐾 = (𝐶𝑀)
8 cpmidgsum.c . . . . . . . 8 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
9 cpmidgsum.a . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10 cpmidgsum.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐴)
11 cpmidgsum.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
12 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
138, 9, 10, 11, 12chpmatply1 22061 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐶𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
147, 13eqeltrid 2841 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
15 eqid 2736 . . . . . . 7 (coe1𝐾) = (coe1𝐾)
16 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1715, 12, 11, 16coe1fvalcl 21463 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1𝐾)‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
1814, 17sylan 580 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1𝐾)‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
19 crngring 19867 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
20193ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
21 eqid 2736 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2211, 12, 21mptcoe1fsupp 21466 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1𝐾)‘𝑛)) finSupp (0g𝑅))
2320, 14, 22syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1𝐾)‘𝑛)) finSupp (0g𝑅))
246, 18, 23mptnn0fsuppr 13798 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)))
25 csbfv 6858 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = ((coe1𝐾)‘𝑙)
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = ((coe1𝐾)‘𝑙))
2726eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ((coe1𝐾)‘𝑙) = (0g𝑅)))
2827biimpa 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → ((coe1𝐾)‘𝑙) = (0g𝑅))
299matsca2 21649 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
30293adant3 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
3130ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
3231fveq2d 6815 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝐴)))
3328, 32eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → ((coe1𝐾)‘𝑙) = (0g‘(Scalar‘𝐴)))
3433oveq1d 7331 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂) = ((0g‘(Scalar‘𝐴)) 𝑂))
359matlmod 21658 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
3619, 35sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ LMod)
37363adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝐴 ∈ LMod)
389matring 21672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
3919, 38sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
40 cpmidgsumm2pm.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = (1r𝐴)
4110, 40ringidcl 19879 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Ring → 𝑂𝐵)
4239, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑂𝐵)
43423adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑂𝐵)
44 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
45 cpmidgsumm2pm.m . . . . . . . . . . . 12 = ( ·𝑠𝐴)
46 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (0g‘(Scalar‘𝐴)) = (0g‘(Scalar‘𝐴))
47 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐴) = (0g𝐴)
4810, 44, 45, 46, 47lmod0vs 20236 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝑂𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) 𝑂) = (0g𝐴))
4937, 43, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) 𝑂) = (0g𝐴))
5049ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) 𝑂) = (0g𝐴))
5134, 50eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂) = (0g𝐴))
5251ex 413 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅) → (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂) = (0g𝐴)))
5352imim2d 57 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑙𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → (𝑠 < 𝑙 → (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂) = (0g𝐴))))
5453ralimdva 3160 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂) = (0g𝐴))))
5554reximdv 3163 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙𝑙 / 𝑛((coe1𝐾)‘𝑛) = (0g𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂) = (0g𝐴))))
5624, 55mpd 15 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1𝐾)‘𝑙) 𝑂) = (0g𝐴)))
572, 3, 5, 56mptnn0fsuppd 13797 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1𝐾)‘𝑘) 𝑂)) finSupp (0g𝐴))
581, 57eqbrtrid 5121 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 finSupp (0g𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3440  csb 3841   class class class wbr 5086  cmpt 5169  cfv 6465  (class class class)co 7316  Fincfn 8782   finSupp cfsupp 9204   < clt 11088  0cn0 12312  Basecbs 16986  Scalarcsca 17039   ·𝑠 cvsca 17040  0gc0g 17224  .gcmg 18773  mulGrpcmgp 19792  1rcur 19809  Ringcrg 19855  CRingccrg 19856  LModclmod 20203  algSccascl 21139  var1cv1 21427  Poly1cpl1 21428  coe1cco1 21429   Mat cmat 21634   matToPolyMat cmat2pmat 21933   CharPlyMat cchpmat 22055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-addf 11029  ax-mulf 11030
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-ot 4579  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-of 7574  df-ofr 7575  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-supp 8026  df-tpos 8090  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-2o 8346  df-er 8547  df-map 8666  df-pm 8667  df-ixp 8735  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-fsupp 9205  df-sup 9277  df-oi 9345  df-card 9774  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-7 12120  df-8 12121  df-9 12122  df-n0 12313  df-xnn0 12385  df-z 12399  df-dec 12517  df-uz 12662  df-rp 12810  df-fz 13319  df-fzo 13462  df-seq 13801  df-exp 13862  df-hash 14124  df-word 14296  df-lsw 14344  df-concat 14352  df-s1 14378  df-substr 14430  df-pfx 14460  df-splice 14539  df-reverse 14548  df-s2 14637  df-struct 16922  df-sets 16939  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-ress 17016  df-plusg 17049  df-mulr 17050  df-starv 17051  df-sca 17052  df-vsca 17053  df-ip 17054  df-tset 17055  df-ple 17056  df-ds 17058  df-unif 17059  df-hom 17060  df-cco 17061  df-0g 17226  df-gsum 17227  df-prds 17232  df-pws 17234  df-mre 17369  df-mrc 17370  df-acs 17372  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-mhm 18504  df-submnd 18505  df-efmnd 18581  df-grp 18653  df-minusg 18654  df-sbg 18655  df-mulg 18774  df-subg 18825  df-ghm 18905  df-gim 18948  df-cntz 18996  df-oppg 19023  df-symg 19048  df-pmtr 19123  df-psgn 19172  df-cmn 19460  df-abl 19461  df-mgp 19793  df-ur 19810  df-ring 19857  df-cring 19858  df-oppr 19934  df-dvdsr 19955  df-unit 19956  df-invr 19986  df-dvr 19997  df-rnghom 20031  df-drng 20069  df-subrg 20101  df-lmod 20205  df-lss 20274  df-sra 20514  df-rgmod 20515  df-cnfld 20678  df-zring 20751  df-zrh 20785  df-dsmm 21019  df-frlm 21034  df-ascl 21142  df-psr 21192  df-mvr 21193  df-mpl 21194  df-opsr 21196  df-psr1 21431  df-vr1 21432  df-ply1 21433  df-coe1 21434  df-mamu 21613  df-mat 21635  df-mdet 21814  df-mat2pmat 21936  df-chpmat 22056
This theorem is referenced by:  cpmidpmat  22102
  Copyright terms: Public domain W3C validator