Theorem cpmidpmatlem3 22990

Description: Lemma 3 for cpmidpmat 22991. (Contributed by AV, 14-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 7-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmidgsum.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmidgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmidgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmidgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmidgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmidgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmidgsum.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmidgsum.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmidgsum.u	⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
cpmidgsum.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum.k	⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
cpmidgsum.h	⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 )
cpmidgsumm2pm.o	⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmidpmat.g	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))

Assertion

Ref	Expression
cpmidpmatlem3	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 finSupp (0g‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐻   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑌   𝑘,𝐾   𝑘,𝑂   ∗ ,𝑘   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   · (𝑘)   𝑈(𝑘)   1 (𝑘)   ↑ (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem cpmidpmatlem3

Dummy variables 𝑛 𝑙 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmidpmat.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))
2		fvexd 6886	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐴) ∈ V)
3		ovexd 7435	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂) ∈ V)
4		fveq2 6871	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((coe1‘𝐾)‘𝑘) = ((coe1‘𝐾)‘𝑙))
5	4	oveq1d 7415	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂))
6		fvexd 6886	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ V)
7		cpmidgsum.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
8		cpmidgsum.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
9		cpmidgsum.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10		cpmidgsum.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
11		cpmidgsum.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	8, 9, 10, 11, 12	chpmatply1 22950	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
14	7, 13	eqeltrid 2869	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
15		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐾) = (coe1‘𝐾)
16		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17	15, 12, 11, 16	coe1fvalcl 22332	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
18	14, 17	sylan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
19		crngring 20318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
20	19	3ad2ant2 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
21		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
22	11, 12, 21	mptcoe1fsupp 22335	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝐾)‘𝑛)) finSupp (0g‘𝑅))
23	20, 14, 22	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝐾)‘𝑛)) finSupp (0g‘𝑅))
24	6, 18, 23	mptnn0fsuppr 14026	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
25		csbfv 6918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = ((coe1‘𝐾)‘𝑙)
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = ((coe1‘𝐾)‘𝑙))
27	26	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ((coe1‘𝐾)‘𝑙) = (0g‘𝑅)))
28	27	biimpa 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ((coe1‘𝐾)‘𝑙) = (0g‘𝑅))
29	9	matsca2 22538	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
30	29	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
31	30	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
32	31	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝐴)))
33	28, 32	eqtrd 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ((coe1‘𝐾)‘𝑙) = (0g‘(Scalar‘𝐴)))
34	33	oveq1d 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = ((0g‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 𝑂))
35	9	matlmod 22547	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
36	19, 35	sylan2 604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ LMod)
37	36	3adant3 1148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ LMod)
38	9	matring 22561	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
39	19, 38	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
40		cpmidgsumm2pm.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴)
41	10, 40	ringidcl 20339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑂 ∈ 𝐵)
42	39, 41	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑂 ∈ 𝐵)
43	42	3adant3 1148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑂 ∈ 𝐵)
44		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
45		cpmidgsumm2pm.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
46		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐴)) = (0g‘(Scalar‘𝐴))
47		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
48	10, 44, 45, 46, 47	lmod0vs 20985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝑂 ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))
49	37, 43, 48	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))
50	49	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))
51	34, 50	eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))
52	51	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅) → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴)))
53	52	imim2d 58	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑙 → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → (𝑠 < 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))))
54	53	ralimdva 3177	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))))
55	54	reximdv 3180	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))))
56	24, 55	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴)))
57	2, 3, 5, 56	mptnn0fsuppd 14025	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) finSupp (0g‘𝐴))
58	1, 57	eqbrtrid 5140	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 finSupp (0g‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3457  ⦋csb 3855   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Fincfn 8931   finSupp cfsupp 9309   < clt 11231  ℕ₀cn0 12495  Basecbs 17259  Scalarcsca 17303   ·_𝑠 cvsca 17304  0_gc0g 17482  ._gcmg 19124  mulGrpcmgp 20207  1_rcur 20254  Ringcrg 20306  CRingccrg 20307  LModclmod 20950  algSccascl 21962  var₁cv1 22296  Poly₁cpl1 22297  coe₁cco1 22298   Mat cmat 22525   matToPolyMat cmat2pmat 22822   CharPlyMat cchpmat 22944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-addf 11167  ax-mulf 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-xor 1535  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-word 14541  df-lsw 14590  df-concat 14598  df-s1 14624  df-substr 14669  df-pfx 14699  df-splice 14777  df-reverse 14786  df-s2 14875  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-prds 17490  df-pws 17492  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mhm 18831  df-submnd 18832  df-efmnd 18918  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-mulg 19125  df-subg 19180  df-ghm 19275  df-gim 19320  df-cntz 19378  df-oppg 19407  df-symg 19431  df-pmtr 19503  df-psgn 19552  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-cring 20309  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-invr 20461  df-dvr 20474  df-rhm 20545  df-subrng 20622  df-subrg 20646  df-drng 20806  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-sra 21263  df-rgmod 21264  df-cnfld 21483  df-zring 21557  df-zrh 21613  df-dsmm 21842  df-frlm 21857  df-ascl 21965  df-psr 22019  df-mvr 22020  df-mpl 22021  df-opsr 22023  df-psr1 22300  df-vr1 22301  df-ply1 22302  df-coe1 22303  df-mamu 22509  df-mat 22526  df-mdet 22703  df-mat2pmat 22825  df-chpmat 22945

This theorem is referenced by:  cpmidpmat  22991