Theorem cpmidpmatlem3 22221

Description: Lemma 3 for cpmidpmat 22222. (Contributed by AV, 14-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 7-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmidgsum.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmidgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmidgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmidgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmidgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmidgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmidgsum.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmidgsum.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmidgsum.u	⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
cpmidgsum.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum.k	⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
cpmidgsum.h	⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 )
cpmidgsumm2pm.o	⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmidpmat.g	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))

Assertion

Ref	Expression
cpmidpmatlem3	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 finSupp (0g‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐻   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑌   𝑘,𝐾   𝑘,𝑂   ∗ ,𝑘   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   · (𝑘)   𝑈(𝑘)   1 (𝑘)   ↑ (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem cpmidpmatlem3

Dummy variables 𝑛 𝑙 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmidpmat.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))
2		fvexd 6857	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐴) ∈ V)
3		ovexd 7392	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂) ∈ V)
4		fveq2 6842	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((coe1‘𝐾)‘𝑘) = ((coe1‘𝐾)‘𝑙))
5	4	oveq1d 7372	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂))
6		fvexd 6857	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ V)
7		cpmidgsum.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
8		cpmidgsum.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
9		cpmidgsum.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10		cpmidgsum.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
11		cpmidgsum.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	8, 9, 10, 11, 12	chpmatply1 22181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
14	7, 13	eqeltrid 2842	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
15		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐾) = (coe1‘𝐾)
16		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17	15, 12, 11, 16	coe1fvalcl 21583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
18	14, 17	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
19		crngring 19976	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
20	19	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
21		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
22	11, 12, 21	mptcoe1fsupp 21586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝐾)‘𝑛)) finSupp (0g‘𝑅))
23	20, 14, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝐾)‘𝑛)) finSupp (0g‘𝑅))
24	6, 18, 23	mptnn0fsuppr 13904	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
25		csbfv 6892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = ((coe1‘𝐾)‘𝑙)
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = ((coe1‘𝐾)‘𝑙))
27	26	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ((coe1‘𝐾)‘𝑙) = (0g‘𝑅)))
28	27	biimpa 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ((coe1‘𝐾)‘𝑙) = (0g‘𝑅))
29	9	matsca2 21769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
30	29	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
31	30	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
32	31	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝐴)))
33	28, 32	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ((coe1‘𝐾)‘𝑙) = (0g‘(Scalar‘𝐴)))
34	33	oveq1d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = ((0g‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 𝑂))
35	9	matlmod 21778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
36	19, 35	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ LMod)
37	36	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ LMod)
38	9	matring 21792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
39	19, 38	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
40		cpmidgsumm2pm.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴)
41	10, 40	ringidcl 19989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑂 ∈ 𝐵)
42	39, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑂 ∈ 𝐵)
43	42	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑂 ∈ 𝐵)
44		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
45		cpmidgsumm2pm.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
46		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐴)) = (0g‘(Scalar‘𝐴))
47		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
48	10, 44, 45, 46, 47	lmod0vs 20355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝑂 ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))
49	37, 43, 48	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))
50	49	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))
51	34, 50	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))
52	51	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅) → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴)))
53	52	imim2d 57	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑙 → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → (𝑠 < 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))))
54	53	ralimdva 3164	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))))
55	54	reximdv 3167	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))))
56	24, 55	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴)))
57	2, 3, 5, 56	mptnn0fsuppd 13903	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) finSupp (0g‘𝐴))
58	1, 57	eqbrtrid 5140	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 finSupp (0g‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  Vcvv 3445  ⦋csb 3855   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305   < clt 11189  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17083  Scalarcsca 17136   ·_𝑠 cvsca 17137  0_gc0g 17321  ._gcmg 18872  mulGrpcmgp 19896  1_rcur 19913  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  LModclmod 20322  algSccascl 21258  var₁cv1 21547  Poly₁cpl1 21548  coe₁cco1 21549   Mat cmat 21754   matToPolyMat cmat2pmat 22053   CharPlyMat cchpmat 22175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-reverse 14647  df-s2 14737  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-efmnd 18679  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-symg 19149  df-pmtr 19224  df-psgn 19273  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-coe1 21554  df-mamu 21733  df-mat 21755  df-mdet 21934  df-mat2pmat 22056  df-chpmat 22176

This theorem is referenced by:  cpmidpmat  22222