Theorem cpmidpmatlem3 22888

Description: Lemma 3 for cpmidpmat 22889. (Contributed by AV, 14-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 7-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmidgsum.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmidgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmidgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmidgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmidgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmidgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmidgsum.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmidgsum.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmidgsum.u	⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
cpmidgsum.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum.k	⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
cpmidgsum.h	⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 )
cpmidgsumm2pm.o	⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmidpmat.g	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))

Assertion

Ref	Expression
cpmidpmatlem3	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 finSupp (0g‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐻   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑌   𝑘,𝐾   𝑘,𝑂   ∗ ,𝑘   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   · (𝑘)   𝑈(𝑘)   1 (𝑘)   ↑ (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem cpmidpmatlem3

Dummy variables 𝑛 𝑙 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmidpmat.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))
2		fvexd 6920	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐴) ∈ V)
3		ovexd 7465	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂) ∈ V)
4		fveq2 6905	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((coe1‘𝐾)‘𝑘) = ((coe1‘𝐾)‘𝑙))
5	4	oveq1d 7445	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂))
6		fvexd 6920	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ V)
7		cpmidgsum.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
8		cpmidgsum.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
9		cpmidgsum.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10		cpmidgsum.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
11		cpmidgsum.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	8, 9, 10, 11, 12	chpmatply1 22848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
14	7, 13	eqeltrid 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐾) = (coe1‘𝐾)
16		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17	15, 12, 11, 16	coe1fvalcl 22224	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
18	14, 17	sylan 578	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
19		crngring 20250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
20	19	3ad2ant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
21		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
22	11, 12, 21	mptcoe1fsupp 22227	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝐾)‘𝑛)) finSupp (0g‘𝑅))
23	20, 14, 22	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝐾)‘𝑛)) finSupp (0g‘𝑅))
24	6, 18, 23	mptnn0fsuppr 14030	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
25		csbfv 6955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = ((coe1‘𝐾)‘𝑙)
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = ((coe1‘𝐾)‘𝑙))
27	26	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ((coe1‘𝐾)‘𝑙) = (0g‘𝑅)))
28	27	biimpa 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ((coe1‘𝐾)‘𝑙) = (0g‘𝑅))
29	9	matsca2 22436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
30	29	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
31	30	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
32	31	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝐴)))
33	28, 32	eqtrd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ((coe1‘𝐾)‘𝑙) = (0g‘(Scalar‘𝐴)))
34	33	oveq1d 7445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = ((0g‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 𝑂))
35	9	matlmod 22445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
36	19, 35	sylan2 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ LMod)
37	36	3adant3 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ LMod)
38	9	matring 22459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
39	19, 38	sylan2 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
40		cpmidgsumm2pm.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴)
41	10, 40	ringidcl 20267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑂 ∈ 𝐵)
42	39, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑂 ∈ 𝐵)
43	42	3adant3 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑂 ∈ 𝐵)
44		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
45		cpmidgsumm2pm.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
46		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐴)) = (0g‘(Scalar‘𝐴))
47		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
48	10, 44, 45, 46, 47	lmod0vs 20893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝑂 ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))
49	37, 43, 48	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))
50	49	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))
51	34, 50	eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))
52	51	ex 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅) → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴)))
53	52	imim2d 57	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑙 → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → (𝑠 < 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))))
54	53	ralimdva 3160	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))))
55	54	reximdv 3163	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))))
56	24, 55	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴)))
57	2, 3, 5, 56	mptnn0fsuppd 14029	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) finSupp (0g‘𝐴))
58	1, 57	eqbrtrid 5191	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 finSupp (0g‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2100  ∀wral 3054  ∃wrex 3063  Vcvv 3472  ⦋csb 3904   class class class wbr 5156   ↦ cmpt 5239  ‘cfv 6558  (class class class)co 7430  Fincfn 8982   finSupp cfsupp 9412   < clt 11305  ℕ₀cn0 12534  Basecbs 17234  Scalarcsca 17290   ·_𝑠 cvsca 17291  0_gc0g 17475  ._gcmg 19083  mulGrpcmgp 20139  1_rcur 20186  Ringcrg 20238  CRingccrg 20239  LModclmod 20858  algSccascl 21872  var₁cv1 22187  Poly₁cpl1 22188  coe₁cco1 22189   Mat cmat 22421   matToPolyMat cmat2pmat 22720   CharPlyMat cchpmat 22842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5293  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751  ax-cnex 11221  ax-resscn 11222  ax-1cn 11223  ax-icn 11224  ax-addcl 11225  ax-addrcl 11226  ax-mulcl 11227  ax-mulrcl 11228  ax-mulcom 11229  ax-addass 11230  ax-mulass 11231  ax-distr 11232  ax-i2m1 11233  ax-1ne0 11234  ax-1rid 11235  ax-rnegex 11236  ax-rrecex 11237  ax-cnre 11238  ax-pre-lttri 11239  ax-pre-lttrn 11240  ax-pre-ltadd 11241  ax-pre-mulgt0 11242  ax-addf 11244  ax-mulf 11245

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1506  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-pss 3979  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-tp 4641  df-op 4643  df-ot 4645  df-uni 4919  df-int 4960  df-iun 5008  df-iin 5009  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-tr 5274  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7386  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7695  df-ofr 7696  df-om 7885  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8183  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8742  df-map 8865  df-pm 8866  df-ixp 8935  df-en 8983  df-dom 8984  df-sdom 8985  df-fin 8986  df-fsupp 9413  df-sup 9492  df-oi 9560  df-card 9989  df-pnf 11307  df-mnf 11308  df-xr 11309  df-ltxr 11310  df-le 11311  df-sub 11503  df-neg 11504  df-div 11929  df-nn 12275  df-2 12337  df-3 12338  df-4 12339  df-5 12340  df-6 12341  df-7 12342  df-8 12343  df-9 12344  df-n0 12535  df-xnn0 12607  df-z 12621  df-dec 12740  df-uz 12885  df-rp 13039  df-fz 13549  df-fzo 13692  df-seq 14033  df-exp 14093  df-hash 14360  df-word 14544  df-lsw 14592  df-concat 14600  df-s1 14625  df-substr 14670  df-pfx 14700  df-splice 14779  df-reverse 14788  df-s2 14878  df-struct 17170  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-ress 17264  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-starv 17302  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-unif 17310  df-hom 17311  df-cco 17312  df-0g 17477  df-gsum 17478  df-prds 17483  df-pws 17485  df-mre 17620  df-mrc 17621  df-acs 17623  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18794  df-submnd 18795  df-efmnd 18880  df-grp 18952  df-minusg 18953  df-sbg 18954  df-mulg 19084  df-subg 19139  df-ghm 19229  df-gim 19275  df-cntz 19333  df-oppg 19362  df-symg 19387  df-pmtr 19462  df-psgn 19511  df-cmn 19802  df-abl 19803  df-mgp 20140  df-rng 20158  df-ur 20187  df-ring 20240  df-cring 20241  df-oppr 20338  df-dvdsr 20361  df-unit 20362  df-invr 20392  df-dvr 20405  df-rhm 20476  df-subrng 20550  df-subrg 20575  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20931  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-cnfld 21366  df-zring 21459  df-zrh 21515  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-ascl 21875  df-psr 21928  df-mvr 21929  df-mpl 21930  df-opsr 21932  df-psr1 22191  df-vr1 22192  df-ply1 22193  df-coe1 22194  df-mamu 22405  df-mat 22422  df-mdet 22601  df-mat2pmat 22723  df-chpmat 22843

This theorem is referenced by:  cpmidpmat  22889