Theorem cpmidpmatlem3 22878

Description: Lemma 3 for cpmidpmat 22879. (Contributed by AV, 14-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 7-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmidgsum.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmidgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmidgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmidgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmidgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmidgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmidgsum.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmidgsum.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmidgsum.u	⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
cpmidgsum.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum.k	⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
cpmidgsum.h	⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 )
cpmidgsumm2pm.o	⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmidpmat.g	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))

Assertion

Ref	Expression
cpmidpmatlem3	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 finSupp (0g‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐻   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑌   𝑘,𝐾   𝑘,𝑂   ∗ ,𝑘   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   · (𝑘)   𝑈(𝑘)   1 (𝑘)   ↑ (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem cpmidpmatlem3

Dummy variables 𝑛 𝑙 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmidpmat.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))
2		fvexd 6921	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐴) ∈ V)
3		ovexd 7466	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂) ∈ V)
4		fveq2 6906	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((coe1‘𝐾)‘𝑘) = ((coe1‘𝐾)‘𝑙))
5	4	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂))
6		fvexd 6921	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ V)
7		cpmidgsum.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
8		cpmidgsum.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
9		cpmidgsum.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10		cpmidgsum.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
11		cpmidgsum.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	8, 9, 10, 11, 12	chpmatply1 22838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
14	7, 13	eqeltrid 2845	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
15		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝐾) = (coe1‘𝐾)
16		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17	15, 12, 11, 16	coe1fvalcl 22214	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
18	14, 17	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
19		crngring 20242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
20	19	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
21		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
22	11, 12, 21	mptcoe1fsupp 22217	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝐾)‘𝑛)) finSupp (0g‘𝑅))
23	20, 14, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝐾)‘𝑛)) finSupp (0g‘𝑅))
24	6, 18, 23	mptnn0fsuppr 14040	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
25		csbfv 6956	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = ((coe1‘𝐾)‘𝑙)
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = ((coe1‘𝐾)‘𝑙))
27	26	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ((coe1‘𝐾)‘𝑙) = (0g‘𝑅)))
28	27	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ((coe1‘𝐾)‘𝑙) = (0g‘𝑅))
29	9	matsca2 22426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
30	29	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
31	30	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
32	31	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝐴)))
33	28, 32	eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ((coe1‘𝐾)‘𝑙) = (0g‘(Scalar‘𝐴)))
34	33	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = ((0g‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 𝑂))
35	9	matlmod 22435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
36	19, 35	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ LMod)
37	36	3adant3 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ LMod)
38	9	matring 22449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
39	19, 38	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
40		cpmidgsumm2pm.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴)
41	10, 40	ringidcl 20262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑂 ∈ 𝐵)
42	39, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑂 ∈ 𝐵)
43	42	3adant3 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑂 ∈ 𝐵)
44		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
45		cpmidgsumm2pm.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
46		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝐴)) = (0g‘(Scalar‘𝐴))
47		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
48	10, 44, 45, 46, 47	lmod0vs 20893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝑂 ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))
49	37, 43, 48	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))
50	49	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ((0g‘(Scalar‘𝐴)) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))
51	34, 50	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))
52	51	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅) → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴)))
53	52	imim2d 57	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑙 → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → (𝑠 < 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))))
54	53	ralimdva 3167	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))))
55	54	reximdv 3170	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → ⦋𝑙 / 𝑛⦌((coe1‘𝐾)‘𝑛) = (0g‘𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴))))
56	24, 55	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 𝑂) = (0g‘𝐴)))
57	2, 3, 5, 56	mptnn0fsuppd 14039	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) finSupp (0g‘𝐴))
58	1, 57	eqbrtrid 5178	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 finSupp (0g‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3480  ⦋csb 3899   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985   finSupp cfsupp 9401   < clt 11295  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484  ._gcmg 19085  mulGrpcmgp 20137  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  LModclmod 20858  algSccascl 21872  var₁cv1 22177  Poly₁cpl1 22178  coe₁cco1 22179   Mat cmat 22411   matToPolyMat cmat2pmat 22710   CharPlyMat cchpmat 22832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788  df-reverse 14797  df-s2 14887  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-efmnd 18882  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-symg 19387  df-pmtr 19460  df-psgn 19509  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-mamu 22395  df-mat 22412  df-mdet 22591  df-mat2pmat 22713  df-chpmat 22833

This theorem is referenced by:  cpmidpmat  22879