MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cayleyhamilton1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cayleyhamilton1 22781
Description: The Cayley-Hamilton theorem: A matrix over a commutative ring "satisfies its own characteristic equation", or, in other words, a matrix over a commutative ring "inserted" into its characteristic polynomial results in zero. In this variant of cayleyhamilton 22779, the meaning of "inserted" is made more transparent: If the characteristic polynomial is a polynomial with coefficients (๐นโ€˜๐‘›), then a matrix over a commutative ring "inserted" into its characteristic polynomial is the sum of these coefficients multiplied with the corresponding power of the matrix. (Contributed by AV, 25-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cayleyhamilton.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
cayleyhamilton.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
cayleyhamilton.0 0 = (0gโ€˜๐ด)
cayleyhamilton.c ๐ถ = (๐‘ CharPlyMat ๐‘…)
cayleyhamilton.k ๐พ = (coe1โ€˜(๐ถโ€˜๐‘€))
cayleyhamilton.m โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
cayleyhamilton.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐ด))
cayleyhamilton1.l ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘…)
cayleyhamilton1.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
cayleyhamilton1.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
cayleyhamilton1.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
cayleyhamilton1.e ๐ธ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
cayleyhamilton1.z ๐‘ = (0gโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
cayleyhamilton1 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘€) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) ยท (๐‘›๐ธ๐‘‹)))) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) โˆ— (๐‘› โ†‘ ๐‘€)))) = 0 ))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›   ๐ต,๐‘›   ๐ถ,๐‘›   ๐‘›,๐‘€   ๐‘›,๐‘   ๐‘…,๐‘›   โˆ— ,๐‘›   โ†‘ ,๐‘›   ๐‘›,๐ธ   ๐‘›,๐น   ๐‘›,๐ฟ   ๐‘ƒ,๐‘›   ๐‘›,๐‘‹   ๐‘›,๐‘   ยท ,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐พ(๐‘›)   0 (๐‘›)

Proof of Theorem cayleyhamilton1
Dummy variables ๐‘š ๐‘– are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cayleyhamilton.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 cayleyhamilton.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
3 cayleyhamilton.0 . . . 4 0 = (0gโ€˜๐ด)
4 cayleyhamilton.c . . . 4 ๐ถ = (๐‘ CharPlyMat ๐‘…)
5 cayleyhamilton.k . . . 4 ๐พ = (coe1โ€˜(๐ถโ€˜๐‘€))
6 cayleyhamilton.m . . . 4 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
7 cayleyhamilton.e . . . 4 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐ด))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7cayleyhamilton 22779 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐พโ€˜๐‘›) โˆ— (๐‘› โ†‘ ๐‘€)))) = 0 )
98adantr 480 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐พโ€˜๐‘›) โˆ— (๐‘› โ†‘ ๐‘€)))) = 0 )
10 nfv 1910 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘›((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘))
11 nfcv 2898 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘›๐‘ƒ
12 nfcv 2898 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘› ฮฃg
13 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘›(๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) ยท (๐‘›๐ธ๐‘‹)))
1411, 12, 13nfov 7444 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘›(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) ยท (๐‘›๐ธ๐‘‹))))
1514nfeq2 2915 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘›(๐ถโ€˜๐‘€) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) ยท (๐‘›๐ธ๐‘‹))))
1610, 15nfan 1895 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘›(((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โˆง (๐ถโ€˜๐‘€) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) ยท (๐‘›๐ธ๐‘‹)))))
17 crngring 20176 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
18173ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
20 cayleyhamilton1.p . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
21 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
224, 1, 2, 20, 21chpmatply1 22721 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
24 cayleyhamilton1.x . . . . . . . . . . . 12 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
25 cayleyhamilton1.e . . . . . . . . . . . 12 ๐ธ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
26 cayleyhamilton1.l . . . . . . . . . . . 12 ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘…)
27 cayleyhamilton1.m . . . . . . . . . . . 12 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
28 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
29 elmapi 8859 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โ†’ ๐น:โ„•0โŸถ๐ฟ)
30 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐น:โ„•0โŸถ๐ฟ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ฟ)
3130ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐น:โ„•0โŸถ๐ฟ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐นโ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ฟ)
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐นโ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ฟ)
3332ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐นโ€˜๐‘›) โˆˆ ๐ฟ)
3429feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โ†’ ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐นโ€˜๐‘›)))
35 cayleyhamilton1.z . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐‘ = (0gโ€˜๐‘…)
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โ†’ ๐‘ = (0gโ€˜๐‘…))
3734, 36breq12d 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โ†’ (๐น finSupp ๐‘ โ†” (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐นโ€˜๐‘›)) finSupp (0gโ€˜๐‘…)))
3837biimpa 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐นโ€˜๐‘›)) finSupp (0gโ€˜๐‘…))
3938adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐นโ€˜๐‘›)) finSupp (0gโ€˜๐‘…))
4020, 21, 24, 25, 19, 26, 27, 28, 33, 39gsumsmonply1 22213 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) ยท (๐‘›๐ธ๐‘‹)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
41 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘– = ๐‘› โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) = (๐นโ€˜๐‘›))
42 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘– = ๐‘› โ†’ (๐‘–๐ธ๐‘‹) = (๐‘›๐ธ๐‘‹))
4341, 42oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– = ๐‘› โ†’ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)) = ((๐นโ€˜๐‘›) ยท (๐‘›๐ธ๐‘‹)))
4443cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) ยท (๐‘›๐ธ๐‘‹)))
4544oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)))) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) ยท (๐‘›๐ธ๐‘‹))))
4645fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . 12 (coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹))))) = (coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) ยท (๐‘›๐ธ๐‘‹)))))
4720, 21, 5, 46ply1coe1eq 22206 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐ถโ€˜๐‘€) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ) โˆง (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) ยท (๐‘›๐ธ๐‘‹)))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„•0 (๐พโ€˜๐‘š) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)))))โ€˜๐‘š) โ†” (๐ถโ€˜๐‘€) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) ยท (๐‘›๐ธ๐‘‹))))))
4819, 23, 40, 47syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„•0 (๐พโ€˜๐‘š) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)))))โ€˜๐‘š) โ†” (๐ถโ€˜๐‘€) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) ยท (๐‘›๐ธ๐‘‹))))))
49 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐พโ€˜๐‘š) = (๐พโ€˜๐‘›))
50 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)))))โ€˜๐‘š) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)))))โ€˜๐‘›))
5149, 50eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐พโ€˜๐‘š) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)))))โ€˜๐‘š) โ†” (๐พโ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)))))โ€˜๐‘›)))
5251rspcva 3605 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„•0 (๐พโ€˜๐‘š) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)))))โ€˜๐‘š)) โ†’ (๐พโ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)))))โ€˜๐‘›))
53 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐พโ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)))))โ€˜๐‘›) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)))) โ†’ (๐พโ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)))))โ€˜๐‘›))
5418ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
55 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐น:โ„•0โŸถ๐ฟ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ฟ)
5655ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐น:โ„•0โŸถ๐ฟ โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ โ„•0 (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ฟ)
5729, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ โ„•0 (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ฟ)
5857ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ โ„•0 (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ฟ)
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ โ„•0 (๐นโ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ฟ)
6029feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โ†’ ๐น = (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐นโ€˜๐‘–)))
6160breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โ†’ (๐น finSupp ๐‘ โ†” (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐นโ€˜๐‘–)) finSupp ๐‘))
6261biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘) โ†’ (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐นโ€˜๐‘–)) finSupp ๐‘)
6362adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โ†’ (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐นโ€˜๐‘–)) finSupp ๐‘)
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘))) โ†’ (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐นโ€˜๐‘–)) finSupp ๐‘)
65 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
6620, 21, 24, 25, 54, 26, 27, 35, 59, 64, 65gsummoncoe1 22214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘))) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)))))โ€˜๐‘›) = โฆ‹๐‘› / ๐‘–โฆŒ(๐นโ€˜๐‘–))
67 csbfv 6941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 โฆ‹๐‘› / ๐‘–โฆŒ(๐นโ€˜๐‘–) = (๐นโ€˜๐‘›)
6866, 67eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘))) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)))))โ€˜๐‘›) = (๐นโ€˜๐‘›))
6968adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐พโ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)))))โ€˜๐‘›) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)))) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)))))โ€˜๐‘›) = (๐นโ€˜๐‘›))
7053, 69eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐พโ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)))))โ€˜๐‘›) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)))) โ†’ (๐พโ€˜๐‘›) = (๐นโ€˜๐‘›))
7170exp32 420 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐พโ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)))))โ€˜๐‘›) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โ†’ (๐พโ€˜๐‘›) = (๐นโ€˜๐‘›))))
7271com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐พโ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)))))โ€˜๐‘›) โ†’ (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โ†’ (๐พโ€˜๐‘›) = (๐นโ€˜๐‘›))))
7372adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„•0 (๐พโ€˜๐‘š) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)))))โ€˜๐‘š)) โ†’ ((๐พโ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)))))โ€˜๐‘›) โ†’ (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โ†’ (๐พโ€˜๐‘›) = (๐นโ€˜๐‘›))))
7452, 73mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„•0 (๐พโ€˜๐‘š) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)))))โ€˜๐‘š)) โ†’ (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โ†’ (๐พโ€˜๐‘›) = (๐นโ€˜๐‘›)))
7574com12 32 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„•0 (๐พโ€˜๐‘š) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)))))โ€˜๐‘š)) โ†’ (๐พโ€˜๐‘›) = (๐นโ€˜๐‘›)))
7675expcomd 416 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„•0 (๐พโ€˜๐‘š) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘–) ยท (๐‘–๐ธ๐‘‹)))))โ€˜๐‘š) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐พโ€˜๐‘›) = (๐นโ€˜๐‘›))))
7748, 76sylbird 260 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘€) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) ยท (๐‘›๐ธ๐‘‹)))) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐พโ€˜๐‘›) = (๐นโ€˜๐‘›))))
7877imp31 417 . . . . . . . 8 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โˆง (๐ถโ€˜๐‘€) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) ยท (๐‘›๐ธ๐‘‹))))) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐พโ€˜๐‘›) = (๐นโ€˜๐‘›))
7978oveq1d 7429 . . . . . . 7 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โˆง (๐ถโ€˜๐‘€) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) ยท (๐‘›๐ธ๐‘‹))))) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐พโ€˜๐‘›) โˆ— (๐‘› โ†‘ ๐‘€)) = ((๐นโ€˜๐‘›) โˆ— (๐‘› โ†‘ ๐‘€)))
8016, 79mpteq2da 5240 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โˆง (๐ถโ€˜๐‘€) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) ยท (๐‘›๐ธ๐‘‹))))) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐พโ€˜๐‘›) โˆ— (๐‘› โ†‘ ๐‘€))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) โˆ— (๐‘› โ†‘ ๐‘€))))
8180oveq2d 7430 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โˆง (๐ถโ€˜๐‘€) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) ยท (๐‘›๐ธ๐‘‹))))) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐พโ€˜๐‘›) โˆ— (๐‘› โ†‘ ๐‘€)))) = (๐ด ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) โˆ— (๐‘› โ†‘ ๐‘€)))))
8281eqeq1d 2729 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โˆง (๐ถโ€˜๐‘€) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) ยท (๐‘›๐ธ๐‘‹))))) โ†’ ((๐ด ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐พโ€˜๐‘›) โˆ— (๐‘› โ†‘ ๐‘€)))) = 0 โ†” (๐ด ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) โˆ— (๐‘› โ†‘ ๐‘€)))) = 0 ))
8382biimpd 228 . . 3 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โˆง (๐ถโ€˜๐‘€) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) ยท (๐‘›๐ธ๐‘‹))))) โ†’ ((๐ด ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐พโ€˜๐‘›) โˆ— (๐‘› โ†‘ ๐‘€)))) = 0 โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) โˆ— (๐‘› โ†‘ ๐‘€)))) = 0 ))
8483ex 412 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘€) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) ยท (๐‘›๐ธ๐‘‹)))) โ†’ ((๐ด ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐พโ€˜๐‘›) โˆ— (๐‘› โ†‘ ๐‘€)))) = 0 โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) โˆ— (๐‘› โ†‘ ๐‘€)))) = 0 )))
859, 84mpid 44 1 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐น โˆˆ (๐ฟ โ†‘m โ„•0) โˆง ๐น finSupp ๐‘)) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘€) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) ยท (๐‘›๐ธ๐‘‹)))) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘›) โˆ— (๐‘› โ†‘ ๐‘€)))) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3056  โฆ‹csb 3889   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โ†‘m cmap 8836  Fincfn 8955   finSupp cfsupp 9377  โ„•0cn0 12494  Basecbs 17171   ยท๐‘  cvsca 17228  0gc0g 17412   ฮฃg cgsu 17413  .gcmg 19014  mulGrpcmgp 20065  Ringcrg 20164  CRingccrg 20165  var1cv1 22082  Poly1cpl1 22083  coe1cco1 22084   Mat cmat 22294   CharPlyMat cchpmat 22715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1506  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-cur 8266  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-word 14489  df-lsw 14537  df-concat 14545  df-s1 14570  df-substr 14615  df-pfx 14645  df-splice 14724  df-reverse 14733  df-s2 14823  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-efmnd 18812  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-gim 19204  df-cntz 19259  df-oppg 19288  df-symg 19313  df-pmtr 19388  df-psgn 19437  df-evpm 19438  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-srg 20118  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-rhm 20400  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-drng 20615  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-cnfld 21267  df-zring 21360  df-zrh 21416  df-dsmm 21653  df-frlm 21668  df-assa 21774  df-ascl 21776  df-psr 21829  df-mvr 21830  df-mpl 21831  df-opsr 21833  df-psr1 22086  df-vr1 22087  df-ply1 22088  df-coe1 22089  df-mamu 22273  df-mat 22295  df-mdet 22474  df-madu 22523  df-cpmat 22595  df-mat2pmat 22596  df-cpmat2mat 22597  df-decpmat 22652  df-pm2mp 22682  df-chpmat 22716
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator