Theorem chfacfscmulfsupp 22907

Description: A mapping of scaled values of the "characteristic factor function" is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chfacfisf.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chfacfisf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chfacfisf.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chfacfisf.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chfacfisf.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
chfacfisf.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
chfacfisf.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
chfacfisf.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chfacfisf.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
chfacfscmulcl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chfacfscmulcl.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
chfacfscmulcl.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
chfacfscmulfsupp	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖))) finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   𝑛,𝑏   𝑛,𝑠,𝐵   0 ,𝑛   𝐵,𝑖,𝑠   𝑖,𝐺   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   ↑ ,𝑖   · ,𝑏,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑏)   𝑃(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   · (𝑛,𝑠)   × (𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   ↑ (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   − (𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑋(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑌(𝑠,𝑏)   0 (𝑖,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem chfacfscmulfsupp

Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chfacfisf.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
2	1	fvexi 6876	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 0 ∈ V)
4		ovexd 7426	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)) ∈ V)
5		nnnn0 12482	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℕ0)
6		peano2nn0 12515	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
8	7	ad2antrl 738	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
9		vex 3457	. . . . . . 7 ⊢ 𝑘 ∈ V
10		csbov12g 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ V → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)) = (⦋𝑘 / 𝑖⦌(𝑖 ↑ 𝑋) · ⦋𝑘 / 𝑖⦌(𝐺‘𝑖)))
11		csbov1g 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ V → ⦋𝑘 / 𝑖⦌(𝑖 ↑ 𝑋) = (⦋𝑘 / 𝑖⦌𝑖 ↑ 𝑋))
12		csbvarg 4385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ V → ⦋𝑘 / 𝑖⦌𝑖 = 𝑘)
13	12	oveq1d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ V → (⦋𝑘 / 𝑖⦌𝑖 ↑ 𝑋) = (𝑘 ↑ 𝑋))
14	11, 13	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ V → ⦋𝑘 / 𝑖⦌(𝑖 ↑ 𝑋) = (𝑘 ↑ 𝑋))
15		csbfv 6909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑖⦌(𝐺‘𝑖) = (𝐺‘𝑘)
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ V → ⦋𝑘 / 𝑖⦌(𝐺‘𝑖) = (𝐺‘𝑘))
17	14, 16	oveq12d 7409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ V → (⦋𝑘 / 𝑖⦌(𝑖 ↑ 𝑋) · ⦋𝑘 / 𝑖⦌(𝐺‘𝑖)) = ((𝑘 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑘)))
18	10, 17	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ V → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)) = ((𝑘 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑘)))
19	9, 18	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)) = ((𝑘 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑘)))
20		simplll 784	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
21		simpllr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))))
22	5	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
23	22	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℕ0)
24	23	nn0zd 12587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℤ)
25	24	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑠 ∈ ℤ)
26		2z 12597	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 2 ∈ ℤ)
28	25, 27	zaddcld 12675	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 + 2) ∈ ℤ)
29		simplr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ0)
30	29	nn0zd 12587	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℤ)
31	8	nn0zd 12587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
32		nn0z 12586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
33		zltp1le 12615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑠 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑠 + 1) < 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
34	31, 32, 33	syl2an 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 1) < 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
35	34	biimpa 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘)
36		nncn 12212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℂ)
37		add1p1 12466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
39	38	breq1d 5107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘 ↔ (𝑠 + 2) ≤ 𝑘))
40	39	bicomd 225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
41	40	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
42	41	ad2antlr 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
43	42	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
44	35, 43	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 + 2) ≤ 𝑘)
45		eluz2 12839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2)) ↔ ((𝑠 + 2) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝑘))
46	28, 30, 44, 45	syl3anbrc 1356	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2)))
47		chfacfisf.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
48		chfacfisf.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
49		chfacfisf.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
50		chfacfisf.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
51		chfacfisf.r	. . . . . . . 8 ⊢ × = (.r‘𝑌)
52		chfacfisf.s	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑌)
53		chfacfisf.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
54		chfacfisf.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
55		chfacfscmulcl.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
56		chfacfscmulcl.m	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
57		chfacfscmulcl.e	. . . . . . . 8 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
58	47, 48, 49, 50, 51, 52, 1, 53, 54, 55, 56, 57	chfacfscmul0 22906	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2))) → ((𝑘 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑘)) = 0 )
59	20, 21, 46, 58	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑘 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑘)) = 0 )
60	19, 59	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)) = 0 )
61	60	ex 416	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 1) < 𝑘 → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)) = 0 ))
62	61	ralrimiva 3153	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑠 + 1) < 𝑘 → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)) = 0 ))
63		breq1 5100	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝑠 + 1) → (𝑧 < 𝑘 ↔ (𝑠 + 1) < 𝑘))
64	63	rspceaimv 3586	. . 3 ⊢ (((𝑠 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑠 + 1) < 𝑘 → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)) = 0 )) → ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝑘 → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)) = 0 ))
65	8, 62, 64	syl2anc 593	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝑘 → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖)) = 0 ))
66	3, 4, 65	mptnn0fsupp 14004	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝑖))) finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  Vcvv 3453  ⦋csb 3850  ifcif 4477   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ↑_m cmap 8802  Fincfn 8921   finSupp cfsupp 9301  ℂcc 11065  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   < clt 11210   ≤ cle 11211   − cmin 11408  ℕcn 12204  2c2 12266  ℕ₀cn0 12475  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12833  ...cfz 13506  Basecbs 17236  ._rcmulr 17278   ·_𝑠 cvsca 17281  0_gc0g 17459  -_gcsg 18968  ._gcmg 19100  mulGrpcmgp 20177  CRingccrg 20271  var₁cv1 22226  Poly₁cpl1 22227   Mat cmat 22455   matToPolyMat cmat2pmat 22752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-ofr 7656  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-sup 9382  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-seq 14009  df-hash 14338  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-hom 17301  df-cco 17302  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-prds 17467  df-pws 17469  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-mulg 19101  df-subg 19156  df-ghm 19245  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-ring 20272  df-cring 20273  df-subrng 20583  df-subrg 20607  df-lmod 20917  df-lss 20987  df-sra 21228  df-rgmod 21229  df-dsmm 21772  df-frlm 21787  df-psr 21949  df-mvr 21950  df-mpl 21951  df-opsr 21953  df-psr1 22230  df-vr1 22231  df-ply1 22232  df-mat 22456

This theorem is referenced by:  chfacfscmulgsum  22908