MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chfacfscmulfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chfacfscmulfsupp 22748
Description: A mapping of scaled values of the "characteristic factor function" is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chfacfisf.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
chfacfisf.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
chfacfisf.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
chfacfisf.y ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
chfacfisf.r ร— = (.rโ€˜๐‘Œ)
chfacfisf.s โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
chfacfisf.0 0 = (0gโ€˜๐‘Œ)
chfacfisf.t ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
chfacfisf.g ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘› = 0, ( 0 โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))), if(๐‘› = (๐‘  + 1), (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )), if((๐‘  + 1) < ๐‘›, 0 , ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘› โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘›))))))))
chfacfscmulcl.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
chfacfscmulcl.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
chfacfscmulcl.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
Assertion
Ref Expression
chfacfscmulfsupp (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–))) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘›   ๐‘›,๐‘€   ๐‘›,๐‘   ๐‘…,๐‘›   ๐‘›,๐‘Œ   ๐‘›,๐‘   ๐‘›,๐‘ ,๐ต   0 ,๐‘›   ๐ต,๐‘–,๐‘    ๐‘–,๐บ   ๐‘–,๐‘€   ๐‘–,๐‘   ๐‘…,๐‘–   ๐‘–,๐‘‹   ๐‘–,๐‘Œ   โ†‘ ,๐‘–   ยท ,๐‘,๐‘–
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘›,๐‘ ,๐‘)   ๐ต(๐‘)   ๐‘ƒ(๐‘–,๐‘›,๐‘ ,๐‘)   ๐‘…(๐‘ ,๐‘)   ๐‘‡(๐‘–,๐‘›,๐‘ ,๐‘)   ยท (๐‘›,๐‘ )   ร— (๐‘–,๐‘›,๐‘ ,๐‘)   โ†‘ (๐‘›,๐‘ ,๐‘)   ๐บ(๐‘›,๐‘ ,๐‘)   ๐‘€(๐‘ ,๐‘)   โˆ’ (๐‘–,๐‘›,๐‘ ,๐‘)   ๐‘(๐‘ ,๐‘)   ๐‘‹(๐‘›,๐‘ ,๐‘)   ๐‘Œ(๐‘ ,๐‘)   0 (๐‘–,๐‘ ,๐‘)

Proof of Theorem chfacfscmulfsupp
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chfacfisf.0 . . . 4 0 = (0gโ€˜๐‘Œ)
21fvexi 6905 . . 3 0 โˆˆ V
32a1i 11 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ 0 โˆˆ V)
4 ovexd 7449 . 2 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) โˆˆ V)
5 nnnn0 12501 . . . . 5 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„•0)
6 peano2nn0 12534 . . . . 5 (๐‘  โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘  + 1) โˆˆ โ„•0)
75, 6syl 17 . . . 4 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘  + 1) โˆˆ โ„•0)
87ad2antrl 727 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘  + 1) โˆˆ โ„•0)
9 vex 3473 . . . . . . 7 ๐‘˜ โˆˆ V
10 csbov12g 7458 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ V โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) = (โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ(๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ(๐บโ€˜๐‘–)))
11 csbov1g 7459 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ V โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ(๐‘– โ†‘ ๐‘‹) = (โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ๐‘– โ†‘ ๐‘‹))
12 csbvarg 4427 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ V โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ๐‘– = ๐‘˜)
1312oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ V โ†’ (โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ๐‘– โ†‘ ๐‘‹) = (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))
1411, 13eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ V โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ(๐‘– โ†‘ ๐‘‹) = (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))
15 csbfv 6941 . . . . . . . . . 10 โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ(๐บโ€˜๐‘–) = (๐บโ€˜๐‘˜)
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ V โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ(๐บโ€˜๐‘–) = (๐บโ€˜๐‘˜))
1714, 16oveq12d 7432 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ V โ†’ (โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ(๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ(๐บโ€˜๐‘–)) = ((๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)))
1810, 17eqtrd 2767 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ V โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) = ((๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)))
199, 18mp1i 13 . . . . . 6 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) = ((๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)))
20 simplll 774 . . . . . . 7 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต))
21 simpllr 775 . . . . . . 7 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))))
225adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„•0)
2322ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„•0)
2423nn0zd 12606 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„ค)
2524adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„ค)
26 2z 12616 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„ค
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
2825, 27zaddcld 12692 . . . . . . . 8 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ (๐‘  + 2) โˆˆ โ„ค)
29 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
3029nn0zd 12606 . . . . . . . 8 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
318nn0zd 12606 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘  + 1) โˆˆ โ„ค)
32 nn0z 12605 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
33 zltp1le 12634 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘  + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘  + 1) < ๐‘˜ โ†” ((๐‘  + 1) + 1) โ‰ค ๐‘˜))
3431, 32, 33syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘  + 1) < ๐‘˜ โ†” ((๐‘  + 1) + 1) โ‰ค ๐‘˜))
3534biimpa 476 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ ((๐‘  + 1) + 1) โ‰ค ๐‘˜)
36 nncn 12242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„‚)
37 add1p1 12485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘  โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘  + 1) + 1) = (๐‘  + 2))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘  + 1) + 1) = (๐‘  + 2))
3938breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘  + 1) + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†” (๐‘  + 2) โ‰ค ๐‘˜))
4039bicomd 222 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘  + 2) โ‰ค ๐‘˜ โ†” ((๐‘  + 1) + 1) โ‰ค ๐‘˜))
4140adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ ((๐‘  + 2) โ‰ค ๐‘˜ โ†” ((๐‘  + 1) + 1) โ‰ค ๐‘˜))
4241ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘  + 2) โ‰ค ๐‘˜ โ†” ((๐‘  + 1) + 1) โ‰ค ๐‘˜))
4342adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ ((๐‘  + 2) โ‰ค ๐‘˜ โ†” ((๐‘  + 1) + 1) โ‰ค ๐‘˜))
4435, 43mpbird 257 . . . . . . . 8 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ (๐‘  + 2) โ‰ค ๐‘˜)
45 eluz2 12850 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘  + 2)) โ†” ((๐‘  + 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘  + 2) โ‰ค ๐‘˜))
4628, 30, 44, 45syl3anbrc 1341 . . . . . . 7 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘  + 2)))
47 chfacfisf.a . . . . . . . 8 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
48 chfacfisf.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
49 chfacfisf.p . . . . . . . 8 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
50 chfacfisf.y . . . . . . . 8 ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
51 chfacfisf.r . . . . . . . 8 ร— = (.rโ€˜๐‘Œ)
52 chfacfisf.s . . . . . . . 8 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
53 chfacfisf.t . . . . . . . 8 ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
54 chfacfisf.g . . . . . . . 8 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘› = 0, ( 0 โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))), if(๐‘› = (๐‘  + 1), (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )), if((๐‘  + 1) < ๐‘›, 0 , ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘› โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘›))))))))
55 chfacfscmulcl.x . . . . . . . 8 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
56 chfacfscmulcl.m . . . . . . . 8 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
57 chfacfscmulcl.e . . . . . . . 8 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
5847, 48, 49, 50, 51, 52, 1, 53, 54, 55, 56, 57chfacfscmul0 22747 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘  + 2))) โ†’ ((๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)) = 0 )
5920, 21, 46, 58syl3anc 1369 . . . . . 6 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ ((๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)) = 0 )
6019, 59eqtrd 2767 . . . . 5 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) = 0 )
6160ex 412 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘  + 1) < ๐‘˜ โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) = 0 ))
6261ralrimiva 3141 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐‘  + 1) < ๐‘˜ โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) = 0 ))
63 breq1 5145 . . . 4 (๐‘ง = (๐‘  + 1) โ†’ (๐‘ง < ๐‘˜ โ†” (๐‘  + 1) < ๐‘˜))
6463rspceaimv 3613 . . 3 (((๐‘  + 1) โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐‘  + 1) < ๐‘˜ โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) = 0 )) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘˜ โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) = 0 ))
658, 62, 64syl2anc 583 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘˜ โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) = 0 ))
663, 4, 65mptnn0fsupp 13986 1 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–))) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3056  โˆƒwrex 3065  Vcvv 3469  โฆ‹csb 3889  ifcif 4524   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โ†‘m cmap 8836  Fincfn 8955   finSupp cfsupp 9377  โ„‚cc 11128  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   < clt 11270   โ‰ค cle 11271   โˆ’ cmin 11466  โ„•cn 12234  2c2 12289  โ„•0cn0 12494  โ„คcz 12580  โ„คโ‰ฅcuz 12844  ...cfz 13508  Basecbs 17171  .rcmulr 17225   ยท๐‘  cvsca 17228  0gc0g 17412  -gcsg 18883  .gcmg 19014  mulGrpcmgp 20065  CRingccrg 20165  var1cv1 22082  Poly1cpl1 22083   Mat cmat 22294   matToPolyMat cmat2pmat 22593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-dsmm 21653  df-frlm 21668  df-psr 21829  df-mvr 21830  df-mpl 21831  df-opsr 21833  df-psr1 22086  df-vr1 22087  df-ply1 22088  df-mat 22295
This theorem is referenced by:  chfacfscmulgsum  22749
  Copyright terms: Public domain W3C validator