MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chfacfscmulfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chfacfscmulfsupp 22231
Description: A mapping of scaled values of the "characteristic factor function" is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chfacfisf.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
chfacfisf.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
chfacfisf.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
chfacfisf.y ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
chfacfisf.r ร— = (.rโ€˜๐‘Œ)
chfacfisf.s โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
chfacfisf.0 0 = (0gโ€˜๐‘Œ)
chfacfisf.t ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
chfacfisf.g ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘› = 0, ( 0 โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))), if(๐‘› = (๐‘  + 1), (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )), if((๐‘  + 1) < ๐‘›, 0 , ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘› โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘›))))))))
chfacfscmulcl.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
chfacfscmulcl.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
chfacfscmulcl.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
Assertion
Ref Expression
chfacfscmulfsupp (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–))) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘›   ๐‘›,๐‘€   ๐‘›,๐‘   ๐‘…,๐‘›   ๐‘›,๐‘Œ   ๐‘›,๐‘   ๐‘›,๐‘ ,๐ต   0 ,๐‘›   ๐ต,๐‘–,๐‘    ๐‘–,๐บ   ๐‘–,๐‘€   ๐‘–,๐‘   ๐‘…,๐‘–   ๐‘–,๐‘‹   ๐‘–,๐‘Œ   โ†‘ ,๐‘–   ยท ,๐‘,๐‘–
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘›,๐‘ ,๐‘)   ๐ต(๐‘)   ๐‘ƒ(๐‘–,๐‘›,๐‘ ,๐‘)   ๐‘…(๐‘ ,๐‘)   ๐‘‡(๐‘–,๐‘›,๐‘ ,๐‘)   ยท (๐‘›,๐‘ )   ร— (๐‘–,๐‘›,๐‘ ,๐‘)   โ†‘ (๐‘›,๐‘ ,๐‘)   ๐บ(๐‘›,๐‘ ,๐‘)   ๐‘€(๐‘ ,๐‘)   โˆ’ (๐‘–,๐‘›,๐‘ ,๐‘)   ๐‘(๐‘ ,๐‘)   ๐‘‹(๐‘›,๐‘ ,๐‘)   ๐‘Œ(๐‘ ,๐‘)   0 (๐‘–,๐‘ ,๐‘)

Proof of Theorem chfacfscmulfsupp
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chfacfisf.0 . . . 4 0 = (0gโ€˜๐‘Œ)
21fvexi 6860 . . 3 0 โˆˆ V
32a1i 11 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ 0 โˆˆ V)
4 ovexd 7396 . 2 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) โˆˆ V)
5 nnnn0 12428 . . . . 5 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„•0)
6 peano2nn0 12461 . . . . 5 (๐‘  โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘  + 1) โˆˆ โ„•0)
75, 6syl 17 . . . 4 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘  + 1) โˆˆ โ„•0)
87ad2antrl 727 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘  + 1) โˆˆ โ„•0)
9 vex 3451 . . . . . . 7 ๐‘˜ โˆˆ V
10 csbov12g 7405 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ V โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) = (โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ(๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ(๐บโ€˜๐‘–)))
11 csbov1g 7406 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ V โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ(๐‘– โ†‘ ๐‘‹) = (โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ๐‘– โ†‘ ๐‘‹))
12 csbvarg 4395 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ V โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ๐‘– = ๐‘˜)
1312oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ V โ†’ (โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ๐‘– โ†‘ ๐‘‹) = (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))
1411, 13eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ V โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ(๐‘– โ†‘ ๐‘‹) = (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))
15 csbfv 6896 . . . . . . . . . 10 โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ(๐บโ€˜๐‘–) = (๐บโ€˜๐‘˜)
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ V โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ(๐บโ€˜๐‘–) = (๐บโ€˜๐‘˜))
1714, 16oveq12d 7379 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ V โ†’ (โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ(๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ(๐บโ€˜๐‘–)) = ((๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)))
1810, 17eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ V โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) = ((๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)))
199, 18mp1i 13 . . . . . 6 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) = ((๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)))
20 simplll 774 . . . . . . 7 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต))
21 simpllr 775 . . . . . . 7 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))))
225adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„•0)
2322ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„•0)
2423nn0zd 12533 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„ค)
2524adantr 482 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„ค)
26 2z 12543 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„ค
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
2825, 27zaddcld 12619 . . . . . . . 8 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ (๐‘  + 2) โˆˆ โ„ค)
29 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
3029nn0zd 12533 . . . . . . . 8 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
318nn0zd 12533 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘  + 1) โˆˆ โ„ค)
32 nn0z 12532 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
33 zltp1le 12561 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘  + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘  + 1) < ๐‘˜ โ†” ((๐‘  + 1) + 1) โ‰ค ๐‘˜))
3431, 32, 33syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘  + 1) < ๐‘˜ โ†” ((๐‘  + 1) + 1) โ‰ค ๐‘˜))
3534biimpa 478 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ ((๐‘  + 1) + 1) โ‰ค ๐‘˜)
36 nncn 12169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„‚)
37 add1p1 12412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘  โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘  + 1) + 1) = (๐‘  + 2))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘  + 1) + 1) = (๐‘  + 2))
3938breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘  + 1) + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†” (๐‘  + 2) โ‰ค ๐‘˜))
4039bicomd 222 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘  โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘  + 2) โ‰ค ๐‘˜ โ†” ((๐‘  + 1) + 1) โ‰ค ๐‘˜))
4140adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โ†’ ((๐‘  + 2) โ‰ค ๐‘˜ โ†” ((๐‘  + 1) + 1) โ‰ค ๐‘˜))
4241ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘  + 2) โ‰ค ๐‘˜ โ†” ((๐‘  + 1) + 1) โ‰ค ๐‘˜))
4342adantr 482 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ ((๐‘  + 2) โ‰ค ๐‘˜ โ†” ((๐‘  + 1) + 1) โ‰ค ๐‘˜))
4435, 43mpbird 257 . . . . . . . 8 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ (๐‘  + 2) โ‰ค ๐‘˜)
45 eluz2 12777 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘  + 2)) โ†” ((๐‘  + 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘  + 2) โ‰ค ๐‘˜))
4628, 30, 44, 45syl3anbrc 1344 . . . . . . 7 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘  + 2)))
47 chfacfisf.a . . . . . . . 8 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
48 chfacfisf.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
49 chfacfisf.p . . . . . . . 8 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
50 chfacfisf.y . . . . . . . 8 ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
51 chfacfisf.r . . . . . . . 8 ร— = (.rโ€˜๐‘Œ)
52 chfacfisf.s . . . . . . . 8 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘Œ)
53 chfacfisf.t . . . . . . . 8 ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
54 chfacfisf.g . . . . . . . 8 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘› = 0, ( 0 โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜0)))), if(๐‘› = (๐‘  + 1), (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘ )), if((๐‘  + 1) < ๐‘›, 0 , ((๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜(๐‘› โˆ’ 1))) โˆ’ ((๐‘‡โ€˜๐‘€) ร— (๐‘‡โ€˜(๐‘โ€˜๐‘›))))))))
55 chfacfscmulcl.x . . . . . . . 8 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
56 chfacfscmulcl.m . . . . . . . 8 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
57 chfacfscmulcl.e . . . . . . . 8 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
5847, 48, 49, 50, 51, 52, 1, 53, 54, 55, 56, 57chfacfscmul0 22230 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘  + 2))) โ†’ ((๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)) = 0 )
5920, 21, 46, 58syl3anc 1372 . . . . . 6 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ ((๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)) = 0 )
6019, 59eqtrd 2773 . . . . 5 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘  + 1) < ๐‘˜) โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) = 0 )
6160ex 414 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘  + 1) < ๐‘˜ โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) = 0 ))
6261ralrimiva 3140 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐‘  + 1) < ๐‘˜ โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) = 0 ))
63 breq1 5112 . . . 4 (๐‘ง = (๐‘  + 1) โ†’ (๐‘ง < ๐‘˜ โ†” (๐‘  + 1) < ๐‘˜))
6463rspceaimv 3587 . . 3 (((๐‘  + 1) โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((๐‘  + 1) < ๐‘˜ โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) = 0 )) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘˜ โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) = 0 ))
658, 62, 64syl2anc 585 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘˜ โ†’ โฆ‹๐‘˜ / ๐‘–โฆŒ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–)) = 0 ))
663, 4, 65mptnn0fsupp 13911 1 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘  โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ต โ†‘m (0...๐‘ )))) โ†’ (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘– โ†‘ ๐‘‹) ยท (๐บโ€˜๐‘–))) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  Vcvv 3447  โฆ‹csb 3859  ifcif 4490   class class class wbr 5109   โ†ฆ cmpt 5192  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โ†‘m cmap 8771  Fincfn 8889   finSupp cfsupp 9311  โ„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   < clt 11197   โ‰ค cle 11198   โˆ’ cmin 11393  โ„•cn 12161  2c2 12216  โ„•0cn0 12421  โ„คcz 12507  โ„คโ‰ฅcuz 12771  ...cfz 13433  Basecbs 17091  .rcmulr 17142   ยท๐‘  cvsca 17145  0gc0g 17329  -gcsg 18758  .gcmg 18880  mulGrpcmgp 19904  CRingccrg 19973  var1cv1 21570  Poly1cpl1 21571   Mat cmat 21777   matToPolyMat cmat2pmat 22076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-psr 21334  df-mvr 21335  df-mpl 21336  df-opsr 21338  df-psr1 21574  df-vr1 21575  df-ply1 21576  df-mat 21778
This theorem is referenced by:  chfacfscmulgsum  22232
  Copyright terms: Public domain W3C validator