MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chfacfscmulfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chfacfscmulfsupp 21464
Description: A mapping of scaled values of the "characteristic factor function" is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chfacfisf.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chfacfisf.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
chfacfisf.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chfacfisf.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chfacfisf.r × = (.r𝑌)
chfacfisf.s = (-g𝑌)
chfacfisf.0 0 = (0g𝑌)
chfacfisf.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chfacfisf.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))))
chfacfscmulcl.x 𝑋 = (var1𝑅)
chfacfscmulcl.m · = ( ·𝑠𝑌)
chfacfscmulcl.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
Assertion
Ref Expression
chfacfscmulfsupp (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖))) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   𝑛,𝑏   𝑛,𝑠,𝐵   0 ,𝑛   𝐵,𝑖,𝑠   𝑖,𝐺   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   ,𝑖   · ,𝑏,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑏)   𝑃(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   · (𝑛,𝑠)   × (𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   (𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑋(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑌(𝑠,𝑏)   0 (𝑖,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem chfacfscmulfsupp
Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chfacfisf.0 . . . 4 0 = (0g𝑌)
21fvexi 6659 . . 3 0 ∈ V
32a1i 11 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 0 ∈ V)
4 ovexd 7170 . 2 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) ∈ V)
5 nnnn0 11892 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℕ0)
6 peano2nn0 11925 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
87ad2antrl 727 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
9 vex 3444 . . . . . . 7 𝑘 ∈ V
10 csbov12g 7179 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = (𝑘 / 𝑖(𝑖 𝑋) · 𝑘 / 𝑖(𝐺𝑖)))
11 csbov1g 7180 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖(𝑖 𝑋) = (𝑘 / 𝑖𝑖 𝑋))
12 csbvarg 4339 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖𝑖 = 𝑘)
1312oveq1d 7150 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ V → (𝑘 / 𝑖𝑖 𝑋) = (𝑘 𝑋))
1411, 13eqtrd 2833 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖(𝑖 𝑋) = (𝑘 𝑋))
15 csbfv 6690 . . . . . . . . . 10 𝑘 / 𝑖(𝐺𝑖) = (𝐺𝑘)
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖(𝐺𝑖) = (𝐺𝑘))
1714, 16oveq12d 7153 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ V → (𝑘 / 𝑖(𝑖 𝑋) · 𝑘 / 𝑖(𝐺𝑖)) = ((𝑘 𝑋) · (𝐺𝑘)))
1810, 17eqtrd 2833 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = ((𝑘 𝑋) · (𝐺𝑘)))
199, 18mp1i 13 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = ((𝑘 𝑋) · (𝐺𝑘)))
20 simplll 774 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵))
21 simpllr 775 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))))
225adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
2322ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℕ0)
2423nn0zd 12073 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℤ)
2524adantr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑠 ∈ ℤ)
26 2z 12002 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 2 ∈ ℤ)
2825, 27zaddcld 12079 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 + 2) ∈ ℤ)
29 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3029nn0zd 12073 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℤ)
318nn0zd 12073 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
32 nn0z 11993 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
33 zltp1le 12020 . . . . . . . . . . 11 (((𝑠 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑠 + 1) < 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
3431, 32, 33syl2an 598 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 1) < 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
3534biimpa 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘)
36 nncn 11633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℂ)
37 add1p1 11876 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℂ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
3938breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℕ → (((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘 ↔ (𝑠 + 2) ≤ 𝑘))
4039bicomd 226 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
4140adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
4241ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
4342adantr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
4435, 43mpbird 260 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 + 2) ≤ 𝑘)
45 eluz2 12237 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2)) ↔ ((𝑠 + 2) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝑘))
4628, 30, 44, 45syl3anbrc 1340 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2)))
47 chfacfisf.a . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
48 chfacfisf.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐴)
49 chfacfisf.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
50 chfacfisf.y . . . . . . . 8 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
51 chfacfisf.r . . . . . . . 8 × = (.r𝑌)
52 chfacfisf.s . . . . . . . 8 = (-g𝑌)
53 chfacfisf.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
54 chfacfisf.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))))
55 chfacfscmulcl.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑅)
56 chfacfscmulcl.m . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑌)
57 chfacfscmulcl.e . . . . . . . 8 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
5847, 48, 49, 50, 51, 52, 1, 53, 54, 55, 56, 57chfacfscmul0 21463 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2))) → ((𝑘 𝑋) · (𝐺𝑘)) = 0 )
5920, 21, 46, 58syl3anc 1368 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑘 𝑋) · (𝐺𝑘)) = 0 )
6019, 59eqtrd 2833 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 )
6160ex 416 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 1) < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 ))
6261ralrimiva 3149 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑠 + 1) < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 ))
63 breq1 5033 . . . 4 (𝑧 = (𝑠 + 1) → (𝑧 < 𝑘 ↔ (𝑠 + 1) < 𝑘))
6463rspceaimv 3576 . . 3 (((𝑠 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑠 + 1) < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 )) → ∃𝑧 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 ))
658, 62, 64syl2anc 587 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ∃𝑧 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 ))
663, 4, 65mptnn0fsupp 13360 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖))) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  wral 3106  wrex 3107  Vcvv 3441  csb 3828  ifcif 4425   class class class wbr 5030  cmpt 5110  cfv 6324  (class class class)co 7135  m cmap 8389  Fincfn 8492   finSupp cfsupp 8817  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  cn 11625  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12885  Basecbs 16475  .rcmulr 16558   ·𝑠 cvsca 16561  0gc0g 16705  -gcsg 18097  .gcmg 18216  mulGrpcmgp 19232  CRingccrg 19291  var1cv1 20805  Poly1cpl1 20806   Mat cmat 21012   matToPolyMat cmat2pmat 21309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-ofr 7390  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-dsmm 20421  df-frlm 20436  df-psr 20594  df-mvr 20595  df-mpl 20596  df-opsr 20598  df-psr1 20809  df-vr1 20810  df-ply1 20811  df-mat 21013
This theorem is referenced by:  chfacfscmulgsum  21465
  Copyright terms: Public domain W3C validator