Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mccllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mccllem 45218
Description: * Induction step for mccl 45219. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mccllem.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
mccllem.c (𝜑𝐶𝐴)
mccllem.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐶))
mccllem.b (𝜑𝐵 ∈ (ℕ0m (𝐶 ∪ {𝐷})))
mccllem.6 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝐶)((!‘Σ𝑘𝐶 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
mccllem (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑏,𝑘   𝐶,𝑏,𝑘   𝐷,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏)   𝐴(𝑏)   𝐷(𝑏)

Proof of Theorem mccllem
StepHypRef Expression
1 nfv 1910 . . . . 5 𝑘𝜑
2 nfcv 2892 . . . . 5 𝑘(!‘(𝐵𝐷))
3 mccllem.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4 mccllem.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
5 ssfi 9211 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶𝐴) → 𝐶 ∈ Fin)
63, 4, 5syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
7 mccllem.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐶))
8 eldifn 4127 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (𝐴𝐶) → ¬ 𝐷𝐶)
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐷𝐶)
10 mccllem.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ (ℕ0m (𝐶 ∪ {𝐷})))
11 elmapi 8878 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (ℕ0m (𝐶 ∪ {𝐷})) → 𝐵:(𝐶 ∪ {𝐷})⟶ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵:(𝐶 ∪ {𝐷})⟶ℕ0)
1312adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐵:(𝐶 ∪ {𝐷})⟶ℕ0)
14 elun1 4177 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐶𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷}))
1514adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷}))
1613, 15ffvelcdmd 7099 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐶) → (𝐵𝑘) ∈ ℕ0)
1716faccld 14301 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐶) → (!‘(𝐵𝑘)) ∈ ℕ)
1817nncnd 12280 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐶) → (!‘(𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
19 2fveq3 6906 . . . . 5 (𝑘 = 𝐷 → (!‘(𝐵𝑘)) = (!‘(𝐵𝐷)))
20 snidg 4667 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (𝐴𝐶) → 𝐷 ∈ {𝐷})
217, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ {𝐷})
22 elun2 4178 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ {𝐷} → 𝐷 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷}))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷}))
2412, 23ffvelcdmd 7099 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐷) ∈ ℕ0)
2524faccld 14301 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝐵𝐷)) ∈ ℕ)
2625nncnd 12280 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝐵𝐷)) ∈ ℂ)
271, 2, 6, 7, 9, 18, 19, 26fprodsplitsn 15991 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(!‘(𝐵𝑘)) = (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))))
2827oveq2d 7440 . . 3 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(!‘(𝐵𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷)))))
297eldifad 3959 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷𝐴)
30 snssi 4817 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝐴 → {𝐷} ⊆ 𝐴)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐷} ⊆ 𝐴)
324, 31unssd 4187 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∪ {𝐷}) ⊆ 𝐴)
33 ssfi 9211 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐶 ∪ {𝐷}) ⊆ 𝐴) → (𝐶 ∪ {𝐷}) ∈ Fin)
343, 32, 33syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∪ {𝐷}) ∈ Fin)
3512ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})) → (𝐵𝑘) ∈ ℕ0)
3634, 35fsumnn0cl 15740 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) ∈ ℕ0)
3736faccld 14301 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) ∈ ℕ)
3837nncnd 12280 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
391, 6, 18fprodclf 15994 . . . . . . 7 (𝜑 → ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
4039, 26mulcld 11284 . . . . . 6 (𝜑 → (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))) ∈ ℂ)
4117nnne0d 12314 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐶) → (!‘(𝐵𝑘)) ≠ 0)
426, 18, 41fprodn0 15981 . . . . . . 7 (𝜑 → ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) ≠ 0)
4325nnne0d 12314 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘(𝐵𝐷)) ≠ 0)
4439, 26, 42, 43mulne0d 11916 . . . . . 6 (𝜑 → (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))) ≠ 0)
4538, 40, 44divcld 12041 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷)))) ∈ ℂ)
4645mullidd 11282 . . . 4 (𝜑 → (1 · ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷)))))
4746eqcomd 2732 . . 3 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷)))) = (1 · ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))))))
486, 16fsumnn0cl 15740 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ ℕ0)
4948faccld 14301 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) ∈ ℕ)
5049nncnd 12280 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
51 nnne0 12298 . . . . . . . 8 ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) ∈ ℕ → (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) ≠ 0)
5249, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) ≠ 0)
5350, 52dividd 12039 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) = 1)
5453eqcomd 2732 . . . . 5 (𝜑 → 1 = ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))))
5539, 26mulcomd 11285 . . . . . . 7 (𝜑 → (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))) = ((!‘(𝐵𝐷)) · ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))))
5655oveq2d 7440 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷)))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(𝐵𝐷)) · ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))))
5738, 26, 39, 43, 42divdiv1d 12072 . . . . . . 7 (𝜑 → (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(𝐵𝐷)) · ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))))
5857eqcomd 2732 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(𝐵𝐷)) · ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))) = (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))))
5956, 58eqtrd 2766 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷)))) = (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))))
6054, 59oveq12d 7442 . . . 4 (𝜑 → (1 · ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))))) = (((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))))
6138, 26, 43divcld 12041 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) ∈ ℂ)
6250, 50, 61, 39, 52, 42divmul13d 12083 . . . 4 (𝜑 → (((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))) = ((((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))))
6360, 62eqtrd 2766 . . 3 (𝜑 → (1 · ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))))) = ((((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))))
6428, 47, 633eqtrd 2770 . 2 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(!‘(𝐵𝑘))) = ((((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))))
6538, 26, 50, 43, 52divdiv1d 12072 . . . . 5 (𝜑 → (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(𝐵𝐷)) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))))
66 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘)
6716nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐶) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
68 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐷 → (𝐵𝑘) = 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘))
69 csbfv 6951 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘) = (𝐵𝐷)
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘) = (𝐵𝐷))
7124nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐷) ∈ ℂ)
7270, 71eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘) ∈ ℂ)
731, 66, 6, 29, 9, 67, 68, 72fsumsplitsn 15748 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) = (Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) + 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘)))
7473oveq1d 7439 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) = ((Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) + 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘)) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))
7548nn0cnd 12586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
7675, 72pncan2d 11623 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) + 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘)) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) = 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘))
7774, 76, 703eqtrrd 2771 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐷) = (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))
7877fveq2d 6905 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘(𝐵𝐷)) = (!‘(Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))))
7978oveq1d 7439 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘(𝐵𝐷)) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) = ((!‘(Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))))
8079oveq2d 7440 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(𝐵𝐷)) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))))
81 0zd 12622 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
8236nn0zd 12636 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) ∈ ℤ)
8348nn0zd 12636 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ ℤ)
8448nn0ge0d 12587 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))
8524nn0ge0d 12587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐷))
8670eqcomd 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐷) = 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘))
8785, 86breqtrd 5179 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘))
8848nn0red 12585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
8924nn0red 12585 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐷) ∈ ℝ)
9070, 89eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘) ∈ ℝ)
9188, 90addge01d 11852 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 ≤ 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘) ↔ Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ≤ (Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) + 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘))))
9287, 91mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ≤ (Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) + 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘)))
9373eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) + 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘))
9492, 93breqtrd 5179 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘))
9581, 82, 83, 84, 94elfzd 13546 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ (0...Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)))
96 bcval2 14322 . . . . . . 7 𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ (0...Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) → (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)CΣ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))))
9795, 96syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)CΣ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))))
9897eqcomd 2732 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)CΣ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))
9965, 80, 983eqtrd 2770 . . . 4 (𝜑 → (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)CΣ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))
100 bccl2 14340 . . . . 5 𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ (0...Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) → (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)CΣ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) ∈ ℕ)
10195, 100syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)CΣ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) ∈ ℕ)
10299, 101eqeltrd 2826 . . 3 (𝜑 → (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
103 mccllem.6 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝐶)((!‘Σ𝑘𝐶 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
104 ssun1 4173 . . . . . 6 𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ {𝐷})
105104a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ {𝐷}))
106 elmapssres 8896 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℕ0m (𝐶 ∪ {𝐷})) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ {𝐷})) → (𝐵𝐶) ∈ (ℕ0m 𝐶))
10710, 105, 106syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ (ℕ0m 𝐶))
108 fveq1 6900 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝐵𝐶) → (𝑏𝑘) = ((𝐵𝐶)‘𝑘))
109108adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = (𝐵𝐶) ∧ 𝑘𝐶) → (𝑏𝑘) = ((𝐵𝐶)‘𝑘))
110 fvres 6920 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐶 → ((𝐵𝐶)‘𝑘) = (𝐵𝑘))
111110adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = (𝐵𝐶) ∧ 𝑘𝐶) → ((𝐵𝐶)‘𝑘) = (𝐵𝑘))
112109, 111eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = (𝐵𝐶) ∧ 𝑘𝐶) → (𝑏𝑘) = (𝐵𝑘))
113112sumeq2dv 15707 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐵𝐶) → Σ𝑘𝐶 (𝑏𝑘) = Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))
114113fveq2d 6905 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐵𝐶) → (!‘Σ𝑘𝐶 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))
115112fveq2d 6905 . . . . . . . 8 ((𝑏 = (𝐵𝐶) ∧ 𝑘𝐶) → (!‘(𝑏𝑘)) = (!‘(𝐵𝑘)))
116115prodeq2dv 15925 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐵𝐶) → ∏𝑘𝐶 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))
117114, 116oveq12d 7442 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐵𝐶) → ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))))
118117eleq1d 2811 . . . . 5 (𝑏 = (𝐵𝐶) → (((!‘Σ𝑘𝐶 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ))
119118rspccva 3607 . . . 4 ((∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝐶)((!‘Σ𝑘𝐶 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ∧ (𝐵𝐶) ∈ (ℕ0m 𝐶)) → ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
120103, 107, 119syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
121102, 120nnmulcld 12317 . 2 (𝜑 → ((((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))) ∈ ℕ)
12264, 121eqeltrd 2826 1 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  csb 3892  cdif 3944  cun 3945  wss 3947  {csn 4633   class class class wbr 5153  cres 5684  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  m cmap 8855  Fincfn 8974  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163  cle 11299  cmin 11494   / cdiv 11921  cn 12264  0cn0 12524  ...cfz 13538  !cfa 14290  Ccbc 14319  Σcsu 15690  cprod 15907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-sum 15691  df-prod 15908
This theorem is referenced by:  mccl  45219
  Copyright terms: Public domain W3C validator