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Theorem mccllem 44313
Description: * Induction step for mccl 44314. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mccllem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
mccllem.c (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
mccllem.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝐴 βˆ– 𝐢))
mccllem.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (β„•0 ↑m (𝐢 βˆͺ {𝐷})))
mccllem.6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ (β„•0 ↑m 𝐢)((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π‘β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
mccllem (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(!β€˜(π΅β€˜π‘˜))) ∈ β„•)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐡,𝑏,π‘˜   𝐢,𝑏,π‘˜   𝐷,π‘˜   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑏)   𝐴(𝑏)   𝐷(𝑏)

Proof of Theorem mccllem
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘˜πœ‘
2 nfcv 2904 . . . . 5 β„²π‘˜(!β€˜(π΅β€˜π·))
3 mccllem.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
4 mccllem.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
5 ssfi 9173 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐢 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ Fin)
63, 4, 5syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Fin)
7 mccllem.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝐴 βˆ– 𝐢))
8 eldifn 4128 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (𝐴 βˆ– 𝐢) β†’ Β¬ 𝐷 ∈ 𝐢)
97, 8syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐷 ∈ 𝐢)
10 mccllem.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (β„•0 ↑m (𝐢 βˆͺ {𝐷})))
11 elmapi 8843 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ (β„•0 ↑m (𝐢 βˆͺ {𝐷})) β†’ 𝐡:(𝐢 βˆͺ {𝐷})βŸΆβ„•0)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡:(𝐢 βˆͺ {𝐷})βŸΆβ„•0)
1312adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ 𝐡:(𝐢 βˆͺ {𝐷})βŸΆβ„•0)
14 elun1 4177 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝐢 β†’ π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷}))
1514adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷}))
1613, 15ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
1716faccld 14244 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) ∈ β„•)
1817nncnd 12228 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
19 2fveq3 6897 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐷 β†’ (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) = (!β€˜(π΅β€˜π·)))
20 snidg 4663 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (𝐴 βˆ– 𝐢) β†’ 𝐷 ∈ {𝐷})
217, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ {𝐷})
22 elun2 4178 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ {𝐷} β†’ 𝐷 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷}))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷}))
2412, 23ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΅β€˜π·) ∈ β„•0)
2524faccld 14244 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (!β€˜(π΅β€˜π·)) ∈ β„•)
2625nncnd 12228 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (!β€˜(π΅β€˜π·)) ∈ β„‚)
271, 2, 6, 7, 9, 18, 19, 26fprodsplitsn 15933 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·))))
2827oveq2d 7425 . . 3 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(!β€˜(π΅β€˜π‘˜))) = ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·)))))
297eldifad 3961 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝐴)
30 snssi 4812 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ 𝐴 β†’ {𝐷} βŠ† 𝐴)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ {𝐷} βŠ† 𝐴)
324, 31unssd 4187 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆͺ {𝐷}) βŠ† 𝐴)
33 ssfi 9173 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐢 βˆͺ {𝐷}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐢 βˆͺ {𝐷}) ∈ Fin)
343, 32, 33syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆͺ {𝐷}) ∈ Fin)
3512ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
3634, 35fsumnn0cl 15682 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
3736faccld 14244 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) ∈ β„•)
3837nncnd 12228 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
391, 6, 18fprodclf 15936 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
4039, 26mulcld 11234 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·))) ∈ β„‚)
4117nnne0d 12262 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) β‰  0)
426, 18, 41fprodn0 15923 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) β‰  0)
4325nnne0d 12262 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (!β€˜(π΅β€˜π·)) β‰  0)
4439, 26, 42, 43mulne0d 11866 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·))) β‰  0)
4538, 40, 44divcld 11990 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·)))) ∈ β„‚)
4645mullidd 11232 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 Β· ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·))))) = ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·)))))
4746eqcomd 2739 . . 3 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·)))) = (1 Β· ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·))))))
486, 16fsumnn0cl 15682 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
4948faccld 14244 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) ∈ β„•)
5049nncnd 12228 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
51 nnne0 12246 . . . . . . . 8 ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) ∈ β„• β†’ (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) β‰  0)
5249, 51syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) β‰  0)
5350, 52dividd 11988 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) = 1)
5453eqcomd 2739 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 = ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))))
5539, 26mulcomd 11235 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·))) = ((!β€˜(π΅β€˜π·)) Β· βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜))))
5655oveq2d 7425 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·)))) = ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / ((!β€˜(π΅β€˜π·)) Β· βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)))))
5738, 26, 39, 43, 42divdiv1d 12021 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜))) = ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / ((!β€˜(π΅β€˜π·)) Β· βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)))))
5857eqcomd 2739 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / ((!β€˜(π΅β€˜π·)) Β· βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)))) = (((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜))))
5956, 58eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·)))) = (((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜))))
6054, 59oveq12d 7427 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 Β· ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·))))) = (((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) Β· (((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)))))
6138, 26, 43divcld 11990 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) ∈ β„‚)
6250, 50, 61, 39, 52, 42divmul13d 12032 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) Β· (((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)))) = ((((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) Β· ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)))))
6360, 62eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 Β· ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·))))) = ((((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) Β· ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)))))
6428, 47, 633eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(!β€˜(π΅β€˜π‘˜))) = ((((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) Β· ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)))))
6538, 26, 50, 43, 52divdiv1d 12021 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) = ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / ((!β€˜(π΅β€˜π·)) Β· (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)))))
66 nfcsb1v 3919 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜β¦‹π· / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜)
6716nn0cnd 12534 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
68 csbeq1a 3908 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝐷 β†’ (π΅β€˜π‘˜) = ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜))
69 csbfv 6942 . . . . . . . . . . . . 13 ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π·)
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π·))
7124nn0cnd 12534 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π΅β€˜π·) ∈ β„‚)
7270, 71eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
731, 66, 6, 29, 9, 67, 68, 72fsumsplitsn 15690 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) + ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜)))
7473oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) = ((Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) + ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜)) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)))
7548nn0cnd 12534 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7675, 72pncan2d 11573 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) + ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜)) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) = ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜))
7774, 76, 703eqtrrd 2778 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π΅β€˜π·) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)))
7877fveq2d 6896 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (!β€˜(π΅β€˜π·)) = (!β€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))))
7978oveq1d 7424 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((!β€˜(π΅β€˜π·)) Β· (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) = ((!β€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) Β· (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))))
8079oveq2d 7425 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / ((!β€˜(π΅β€˜π·)) Β· (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)))) = ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / ((!β€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) Β· (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)))))
81 0zd 12570 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
8236nn0zd 12584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜) ∈ β„€)
8348nn0zd 12584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) ∈ β„€)
8448nn0ge0d 12535 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))
8524nn0ge0d 12535 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π΅β€˜π·))
8670eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π΅β€˜π·) = ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜))
8785, 86breqtrd 5175 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜))
8848nn0red 12533 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8924nn0red 12533 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π΅β€˜π·) ∈ ℝ)
9070, 89eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
9188, 90addge01d 11802 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0 ≀ ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜) ↔ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) ≀ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) + ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜))))
9287, 91mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) ≀ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) + ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜)))
9373eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) + ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜))
9492, 93breqtrd 5175 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜))
9581, 82, 83, 84, 94elfzd 13492 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) ∈ (0...Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)))
96 bcval2 14265 . . . . . . 7 (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) ∈ (0...Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)CΞ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) = ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / ((!β€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) Β· (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)))))
9795, 96syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)CΞ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) = ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / ((!β€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) Β· (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)))))
9897eqcomd 2739 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / ((!β€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) Β· (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)))) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)CΞ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)))
9965, 80, 983eqtrd 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)CΞ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)))
100 bccl2 14283 . . . . 5 (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) ∈ (0...Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)CΞ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) ∈ β„•)
10195, 100syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)CΞ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) ∈ β„•)
10299, 101eqeltrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ (((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) ∈ β„•)
103 mccllem.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ (β„•0 ↑m 𝐢)((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π‘β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) ∈ β„•)
104 ssun1 4173 . . . . . 6 𝐢 βŠ† (𝐢 βˆͺ {𝐷})
105104a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† (𝐢 βˆͺ {𝐷}))
106 elmapssres 8861 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (β„•0 ↑m (𝐢 βˆͺ {𝐷})) ∧ 𝐢 βŠ† (𝐢 βˆͺ {𝐷})) β†’ (𝐡 β†Ύ 𝐢) ∈ (β„•0 ↑m 𝐢))
10710, 105, 106syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 β†Ύ 𝐢) ∈ (β„•0 ↑m 𝐢))
108 fveq1 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝐡 β†Ύ 𝐢) β†’ (π‘β€˜π‘˜) = ((𝐡 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘˜))
109108adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = (𝐡 β†Ύ 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (π‘β€˜π‘˜) = ((𝐡 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘˜))
110 fvres 6911 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ 𝐢 β†’ ((𝐡 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘˜))
111110adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = (𝐡 β†Ύ 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ ((𝐡 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘˜))
112109, 111eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = (𝐡 β†Ύ 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘˜))
113112sumeq2dv 15649 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐡 β†Ύ 𝐢) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π‘β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))
114113fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐡 β†Ύ 𝐢) β†’ (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π‘β€˜π‘˜)) = (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)))
115112fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((𝑏 = (𝐡 β†Ύ 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘˜)) = (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)))
116115prodeq2dv 15867 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐡 β†Ύ 𝐢) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π‘β€˜π‘˜)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)))
117114, 116oveq12d 7427 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐡 β†Ύ 𝐢) β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π‘β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) = ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜))))
118117eleq1d 2819 . . . . 5 (𝑏 = (𝐡 β†Ύ 𝐢) β†’ (((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π‘β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) ∈ β„• ↔ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜))) ∈ β„•))
119118rspccva 3612 . . . 4 ((βˆ€π‘ ∈ (β„•0 ↑m 𝐢)((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π‘β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) ∈ β„• ∧ (𝐡 β†Ύ 𝐢) ∈ (β„•0 ↑m 𝐢)) β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜))) ∈ β„•)
120103, 107, 119syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜))) ∈ β„•)
121102, 120nnmulcld 12265 . 2 (πœ‘ β†’ ((((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) Β· ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)))) ∈ β„•)
12264, 121eqeltrd 2834 1 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(!β€˜(π΅β€˜π‘˜))) ∈ β„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  β¦‹csb 3894   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  ...cfz 13484  !cfa 14233  Ccbc 14262  Ξ£csu 15632  βˆcprod 15849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-prod 15850
This theorem is referenced by:  mccl  44314
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