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Theorem mccllem 43845
Description: * Induction step for mccl 43846. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mccllem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
mccllem.c (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
mccllem.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝐴 βˆ– 𝐢))
mccllem.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (β„•0 ↑m (𝐢 βˆͺ {𝐷})))
mccllem.6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ (β„•0 ↑m 𝐢)((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π‘β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
mccllem (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(!β€˜(π΅β€˜π‘˜))) ∈ β„•)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐡,𝑏,π‘˜   𝐢,𝑏,π‘˜   𝐷,π‘˜   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑏)   𝐴(𝑏)   𝐷(𝑏)

Proof of Theorem mccllem
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘˜πœ‘
2 nfcv 2908 . . . . 5 β„²π‘˜(!β€˜(π΅β€˜π·))
3 mccllem.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
4 mccllem.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
5 ssfi 9118 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐢 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ Fin)
63, 4, 5syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Fin)
7 mccllem.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝐴 βˆ– 𝐢))
8 eldifn 4088 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (𝐴 βˆ– 𝐢) β†’ Β¬ 𝐷 ∈ 𝐢)
97, 8syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐷 ∈ 𝐢)
10 mccllem.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (β„•0 ↑m (𝐢 βˆͺ {𝐷})))
11 elmapi 8788 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ (β„•0 ↑m (𝐢 βˆͺ {𝐷})) β†’ 𝐡:(𝐢 βˆͺ {𝐷})βŸΆβ„•0)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡:(𝐢 βˆͺ {𝐷})βŸΆβ„•0)
1312adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ 𝐡:(𝐢 βˆͺ {𝐷})βŸΆβ„•0)
14 elun1 4137 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝐢 β†’ π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷}))
1514adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷}))
1613, 15ffvelcdmd 7037 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
1716faccld 14185 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) ∈ β„•)
1817nncnd 12170 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
19 2fveq3 6848 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐷 β†’ (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) = (!β€˜(π΅β€˜π·)))
20 snidg 4621 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (𝐴 βˆ– 𝐢) β†’ 𝐷 ∈ {𝐷})
217, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ {𝐷})
22 elun2 4138 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ {𝐷} β†’ 𝐷 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷}))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷}))
2412, 23ffvelcdmd 7037 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΅β€˜π·) ∈ β„•0)
2524faccld 14185 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (!β€˜(π΅β€˜π·)) ∈ β„•)
2625nncnd 12170 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (!β€˜(π΅β€˜π·)) ∈ β„‚)
271, 2, 6, 7, 9, 18, 19, 26fprodsplitsn 15873 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·))))
2827oveq2d 7374 . . 3 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(!β€˜(π΅β€˜π‘˜))) = ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·)))))
297eldifad 3923 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝐴)
30 snssi 4769 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ 𝐴 β†’ {𝐷} βŠ† 𝐴)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ {𝐷} βŠ† 𝐴)
324, 31unssd 4147 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆͺ {𝐷}) βŠ† 𝐴)
33 ssfi 9118 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐢 βˆͺ {𝐷}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐢 βˆͺ {𝐷}) ∈ Fin)
343, 32, 33syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆͺ {𝐷}) ∈ Fin)
3512ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
3634, 35fsumnn0cl 15622 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
3736faccld 14185 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) ∈ β„•)
3837nncnd 12170 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
391, 6, 18fprodclf 15876 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
4039, 26mulcld 11176 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·))) ∈ β„‚)
4117nnne0d 12204 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) β‰  0)
426, 18, 41fprodn0 15863 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) β‰  0)
4325nnne0d 12204 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (!β€˜(π΅β€˜π·)) β‰  0)
4439, 26, 42, 43mulne0d 11808 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·))) β‰  0)
4538, 40, 44divcld 11932 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·)))) ∈ β„‚)
4645mulid2d 11174 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 Β· ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·))))) = ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·)))))
4746eqcomd 2743 . . 3 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·)))) = (1 Β· ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·))))))
486, 16fsumnn0cl 15622 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
4948faccld 14185 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) ∈ β„•)
5049nncnd 12170 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
51 nnne0 12188 . . . . . . . 8 ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) ∈ β„• β†’ (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) β‰  0)
5249, 51syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) β‰  0)
5350, 52dividd 11930 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) = 1)
5453eqcomd 2743 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 = ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))))
5539, 26mulcomd 11177 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·))) = ((!β€˜(π΅β€˜π·)) Β· βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜))))
5655oveq2d 7374 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·)))) = ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / ((!β€˜(π΅β€˜π·)) Β· βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)))))
5738, 26, 39, 43, 42divdiv1d 11963 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜))) = ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / ((!β€˜(π΅β€˜π·)) Β· βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)))))
5857eqcomd 2743 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / ((!β€˜(π΅β€˜π·)) Β· βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)))) = (((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜))))
5956, 58eqtrd 2777 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·)))) = (((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜))))
6054, 59oveq12d 7376 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 Β· ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·))))) = (((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) Β· (((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)))))
6138, 26, 43divcld 11932 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) ∈ β„‚)
6250, 50, 61, 39, 52, 42divmul13d 11974 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) Β· (((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)))) = ((((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) Β· ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)))))
6360, 62eqtrd 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 Β· ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)) Β· (!β€˜(π΅β€˜π·))))) = ((((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) Β· ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)))))
6428, 47, 633eqtrd 2781 . 2 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(!β€˜(π΅β€˜π‘˜))) = ((((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) Β· ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)))))
6538, 26, 50, 43, 52divdiv1d 11963 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) = ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / ((!β€˜(π΅β€˜π·)) Β· (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)))))
66 nfcsb1v 3881 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜β¦‹π· / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜)
6716nn0cnd 12476 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
68 csbeq1a 3870 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝐷 β†’ (π΅β€˜π‘˜) = ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜))
69 csbfv 6893 . . . . . . . . . . . . 13 ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π·)
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π·))
7124nn0cnd 12476 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π΅β€˜π·) ∈ β„‚)
7270, 71eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
731, 66, 6, 29, 9, 67, 68, 72fsumsplitsn 15630 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) + ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜)))
7473oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) = ((Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) + ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜)) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)))
7548nn0cnd 12476 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7675, 72pncan2d 11515 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) + ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜)) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) = ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜))
7774, 76, 703eqtrrd 2782 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π΅β€˜π·) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)))
7877fveq2d 6847 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (!β€˜(π΅β€˜π·)) = (!β€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))))
7978oveq1d 7373 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((!β€˜(π΅β€˜π·)) Β· (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) = ((!β€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) Β· (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))))
8079oveq2d 7374 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / ((!β€˜(π΅β€˜π·)) Β· (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)))) = ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / ((!β€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) Β· (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)))))
81 0zd 12512 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
8236nn0zd 12526 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜) ∈ β„€)
8348nn0zd 12526 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) ∈ β„€)
8448nn0ge0d 12477 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))
8524nn0ge0d 12477 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π΅β€˜π·))
8670eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π΅β€˜π·) = ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜))
8785, 86breqtrd 5132 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜))
8848nn0red 12475 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8924nn0red 12475 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π΅β€˜π·) ∈ ℝ)
9070, 89eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
9188, 90addge01d 11744 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0 ≀ ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜) ↔ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) ≀ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) + ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜))))
9287, 91mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) ≀ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) + ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜)))
9373eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) + ⦋𝐷 / π‘˜β¦Œ(π΅β€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜))
9492, 93breqtrd 5132 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜))
9581, 82, 83, 84, 94elfzd 13433 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) ∈ (0...Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)))
96 bcval2 14206 . . . . . . 7 (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) ∈ (0...Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)CΞ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) = ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / ((!β€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) Β· (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)))))
9795, 96syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)CΞ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) = ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / ((!β€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) Β· (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)))))
9897eqcomd 2743 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / ((!β€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) Β· (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)))) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)CΞ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)))
9965, 80, 983eqtrd 2781 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)CΞ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)))
100 bccl2 14224 . . . . 5 (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜) ∈ (0...Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)CΞ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) ∈ β„•)
10195, 100syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)CΞ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) ∈ β„•)
10299, 101eqeltrd 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ (((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) ∈ β„•)
103 mccllem.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ (β„•0 ↑m 𝐢)((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π‘β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) ∈ β„•)
104 ssun1 4133 . . . . . 6 𝐢 βŠ† (𝐢 βˆͺ {𝐷})
105104a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† (𝐢 βˆͺ {𝐷}))
106 elmapssres 8806 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (β„•0 ↑m (𝐢 βˆͺ {𝐷})) ∧ 𝐢 βŠ† (𝐢 βˆͺ {𝐷})) β†’ (𝐡 β†Ύ 𝐢) ∈ (β„•0 ↑m 𝐢))
10710, 105, 106syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 β†Ύ 𝐢) ∈ (β„•0 ↑m 𝐢))
108 fveq1 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝐡 β†Ύ 𝐢) β†’ (π‘β€˜π‘˜) = ((𝐡 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘˜))
109108adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = (𝐡 β†Ύ 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (π‘β€˜π‘˜) = ((𝐡 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘˜))
110 fvres 6862 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ 𝐢 β†’ ((𝐡 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘˜))
111110adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = (𝐡 β†Ύ 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ ((𝐡 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘˜))
112109, 111eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = (𝐡 β†Ύ 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘˜))
113112sumeq2dv 15589 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐡 β†Ύ 𝐢) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π‘β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))
114113fveq2d 6847 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐡 β†Ύ 𝐢) β†’ (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π‘β€˜π‘˜)) = (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)))
115112fveq2d 6847 . . . . . . . 8 ((𝑏 = (𝐡 β†Ύ 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ 𝐢) β†’ (!β€˜(π‘β€˜π‘˜)) = (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)))
116115prodeq2dv 15807 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐡 β†Ύ 𝐢) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π‘β€˜π‘˜)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)))
117114, 116oveq12d 7376 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐡 β†Ύ 𝐢) β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π‘β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) = ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜))))
118117eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑏 = (𝐡 β†Ύ 𝐢) β†’ (((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π‘β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) ∈ β„• ↔ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜))) ∈ β„•))
119118rspccva 3581 . . . 4 ((βˆ€π‘ ∈ (β„•0 ↑m 𝐢)((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π‘β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π‘β€˜π‘˜))) ∈ β„• ∧ (𝐡 β†Ύ 𝐢) ∈ (β„•0 ↑m 𝐢)) β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜))) ∈ β„•)
120103, 107, 119syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜))) ∈ β„•)
121102, 120nnmulcld 12207 . 2 (πœ‘ β†’ ((((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / (!β€˜(π΅β€˜π·))) / (!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜))) Β· ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐢 (π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ 𝐢 (!β€˜(π΅β€˜π‘˜)))) ∈ β„•)
12264, 121eqeltrd 2838 1 (πœ‘ β†’ ((!β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(π΅β€˜π‘˜)) / βˆπ‘˜ ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐷})(!β€˜(π΅β€˜π‘˜))) ∈ β„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  β¦‹csb 3856   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911  {csn 4587   class class class wbr 5106   β†Ύ cres 5636  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8766  Fincfn 8884  β„‚cc 11050  β„cr 11051  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   Β· cmul 11057   ≀ cle 11191   βˆ’ cmin 11386   / cdiv 11813  β„•cn 12154  β„•0cn0 12414  ...cfz 13425  !cfa 14174  Ccbc 14203  Ξ£csu 15571  βˆcprod 15789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-oi 9447  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-fac 14175  df-bc 14204  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572  df-prod 15790
This theorem is referenced by:  mccl  43846
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