Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mccllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mccllem 41441
Description: * Induction step for mccl 41442. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mccllem.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
mccllem.c (𝜑𝐶𝐴)
mccllem.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐶))
mccllem.b (𝜑𝐵 ∈ (ℕ0𝑚 (𝐶 ∪ {𝐷})))
mccllem.6 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝐶)((!‘Σ𝑘𝐶 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
mccllem (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑏,𝑘   𝐶,𝑏,𝑘   𝐷,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏)   𝐴(𝑏)   𝐷(𝑏)

Proof of Theorem mccllem
StepHypRef Expression
1 nfv 1896 . . . . 5 𝑘𝜑
2 nfcv 2951 . . . . 5 𝑘(!‘(𝐵𝐷))
3 mccllem.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4 mccllem.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
5 ssfi 8591 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶𝐴) → 𝐶 ∈ Fin)
63, 4, 5syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
7 mccllem.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐶))
8 eldifn 4031 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (𝐴𝐶) → ¬ 𝐷𝐶)
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐷𝐶)
10 mccllem.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ (ℕ0𝑚 (𝐶 ∪ {𝐷})))
11 elmapi 8285 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (ℕ0𝑚 (𝐶 ∪ {𝐷})) → 𝐵:(𝐶 ∪ {𝐷})⟶ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵:(𝐶 ∪ {𝐷})⟶ℕ0)
1312adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐵:(𝐶 ∪ {𝐷})⟶ℕ0)
14 elun1 4079 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐶𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷}))
1514adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷}))
1613, 15ffvelrnd 6724 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐶) → (𝐵𝑘) ∈ ℕ0)
1716faccld 13498 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐶) → (!‘(𝐵𝑘)) ∈ ℕ)
1817nncnd 11508 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐶) → (!‘(𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
19 2fveq3 6550 . . . . 5 (𝑘 = 𝐷 → (!‘(𝐵𝑘)) = (!‘(𝐵𝐷)))
20 snidg 4510 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (𝐴𝐶) → 𝐷 ∈ {𝐷})
217, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ {𝐷})
22 elun2 4080 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ {𝐷} → 𝐷 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷}))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷}))
2412, 23ffvelrnd 6724 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐷) ∈ ℕ0)
2524faccld 13498 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝐵𝐷)) ∈ ℕ)
2625nncnd 11508 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝐵𝐷)) ∈ ℂ)
271, 2, 6, 7, 9, 18, 19, 26fprodsplitsn 15180 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(!‘(𝐵𝑘)) = (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))))
2827oveq2d 7039 . . 3 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(!‘(𝐵𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷)))))
297eldifad 3877 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷𝐴)
30 snssi 4654 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝐴 → {𝐷} ⊆ 𝐴)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐷} ⊆ 𝐴)
324, 31unssd 4089 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∪ {𝐷}) ⊆ 𝐴)
33 ssfi 8591 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐶 ∪ {𝐷}) ⊆ 𝐴) → (𝐶 ∪ {𝐷}) ∈ Fin)
343, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∪ {𝐷}) ∈ Fin)
3512ffvelrnda 6723 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})) → (𝐵𝑘) ∈ ℕ0)
3634, 35fsumnn0cl 14930 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) ∈ ℕ0)
3736faccld 13498 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) ∈ ℕ)
3837nncnd 11508 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
391, 6, 18fprodclf 15183 . . . . . . 7 (𝜑 → ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
4039, 26mulcld 10514 . . . . . 6 (𝜑 → (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))) ∈ ℂ)
4117nnne0d 11541 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐶) → (!‘(𝐵𝑘)) ≠ 0)
426, 18, 41fprodn0 15170 . . . . . . 7 (𝜑 → ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) ≠ 0)
4325nnne0d 11541 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘(𝐵𝐷)) ≠ 0)
4439, 26, 42, 43mulne0d 11146 . . . . . 6 (𝜑 → (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))) ≠ 0)
4538, 40, 44divcld 11270 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷)))) ∈ ℂ)
4645mulid2d 10512 . . . 4 (𝜑 → (1 · ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷)))))
4746eqcomd 2803 . . 3 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷)))) = (1 · ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))))))
486, 16fsumnn0cl 14930 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ ℕ0)
4948faccld 13498 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) ∈ ℕ)
5049nncnd 11508 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
51 nnne0 11525 . . . . . . . 8 ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) ∈ ℕ → (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) ≠ 0)
5249, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) ≠ 0)
5350, 52dividd 11268 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) = 1)
5453eqcomd 2803 . . . . 5 (𝜑 → 1 = ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))))
5539, 26mulcomd 10515 . . . . . . 7 (𝜑 → (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))) = ((!‘(𝐵𝐷)) · ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))))
5655oveq2d 7039 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷)))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(𝐵𝐷)) · ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))))
5738, 26, 39, 43, 42divdiv1d 11301 . . . . . . 7 (𝜑 → (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(𝐵𝐷)) · ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))))
5857eqcomd 2803 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(𝐵𝐷)) · ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))) = (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))))
5956, 58eqtrd 2833 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷)))) = (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))))
6054, 59oveq12d 7041 . . . 4 (𝜑 → (1 · ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))))) = (((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))))
6138, 26, 43divcld 11270 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) ∈ ℂ)
6250, 50, 61, 39, 52, 42divmul13d 11312 . . . 4 (𝜑 → (((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))) = ((((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))))
6360, 62eqtrd 2833 . . 3 (𝜑 → (1 · ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)) · (!‘(𝐵𝐷))))) = ((((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))))
6428, 47, 633eqtrd 2837 . 2 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(!‘(𝐵𝑘))) = ((((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))))
6538, 26, 50, 43, 52divdiv1d 11301 . . . . 5 (𝜑 → (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(𝐵𝐷)) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))))
66 nfcsb1v 3839 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘)
6716nn0cnd 11811 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐶) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
68 csbeq1a 3830 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐷 → (𝐵𝑘) = 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘))
69 csbfv 6590 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘) = (𝐵𝐷)
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘) = (𝐵𝐷))
7124nn0cnd 11811 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐷) ∈ ℂ)
7270, 71eqeltrd 2885 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘) ∈ ℂ)
731, 66, 6, 29, 9, 67, 68, 72fsumsplitsn 14937 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) = (Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) + 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘)))
7473oveq1d 7038 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) = ((Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) + 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘)) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))
7548nn0cnd 11811 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
7675, 72pncan2d 10853 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) + 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘)) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) = 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘))
7774, 76, 703eqtrrd 2838 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐷) = (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))
7877fveq2d 6549 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘(𝐵𝐷)) = (!‘(Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))))
7978oveq1d 7038 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘(𝐵𝐷)) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) = ((!‘(Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))))
8079oveq2d 7039 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(𝐵𝐷)) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))))
81 0zd 11847 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
8236nn0zd 11939 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) ∈ ℤ)
8348nn0zd 11939 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ ℤ)
8481, 82, 833jca 1121 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ ℤ))
8548nn0ge0d 11812 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))
8624nn0ge0d 11812 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐷))
8770eqcomd 2803 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵𝐷) = 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘))
8886, 87breqtrd 4994 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘))
8948nn0red 11810 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
9024nn0red 11810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝐷) ∈ ℝ)
9170, 90eqeltrd 2885 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘) ∈ ℝ)
9289, 91addge01d 11082 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 ≤ 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘) ↔ Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ≤ (Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) + 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘))))
9388, 92mpbid 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ≤ (Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) + 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘)))
9473eqcomd 2803 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) + 𝐷 / 𝑘(𝐵𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘))
9593, 94breqtrd 4994 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘))
9684, 85, 95jca32 516 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∧ Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘))))
97 elfz2 12753 . . . . . . . 8 𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ (0...Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∧ Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘))))
9896, 97sylibr 235 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ (0...Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)))
99 bcval2 13519 . . . . . . 7 𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ (0...Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) → (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)CΣ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))))
10098, 99syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)CΣ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))))
101100eqcomd 2803 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ((!‘(Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘) − Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)CΣ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))
10265, 80, 1013eqtrd 2837 . . . 4 (𝜑 → (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)CΣ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))
103 bccl2 13537 . . . . 5 𝑘𝐶 (𝐵𝑘) ∈ (0...Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) → (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)CΣ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) ∈ ℕ)
10498, 103syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)CΣ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) ∈ ℕ)
105102, 104eqeltrd 2885 . . 3 (𝜑 → (((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
106 mccllem.6 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝐶)((!‘Σ𝑘𝐶 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
107 ssun1 4075 . . . . . 6 𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ {𝐷})
108107a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ {𝐷}))
109 elmapssres 8288 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℕ0𝑚 (𝐶 ∪ {𝐷})) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ {𝐷})) → (𝐵𝐶) ∈ (ℕ0𝑚 𝐶))
11010, 108, 109syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ (ℕ0𝑚 𝐶))
111 fveq1 6544 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝐵𝐶) → (𝑏𝑘) = ((𝐵𝐶)‘𝑘))
112111adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = (𝐵𝐶) ∧ 𝑘𝐶) → (𝑏𝑘) = ((𝐵𝐶)‘𝑘))
113 fvres 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐶 → ((𝐵𝐶)‘𝑘) = (𝐵𝑘))
114113adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = (𝐵𝐶) ∧ 𝑘𝐶) → ((𝐵𝐶)‘𝑘) = (𝐵𝑘))
115112, 114eqtrd 2833 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = (𝐵𝐶) ∧ 𝑘𝐶) → (𝑏𝑘) = (𝐵𝑘))
116115sumeq2dv 14897 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐵𝐶) → Σ𝑘𝐶 (𝑏𝑘) = Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))
117116fveq2d 6549 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐵𝐶) → (!‘Σ𝑘𝐶 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)))
118115fveq2d 6549 . . . . . . . 8 ((𝑏 = (𝐵𝐶) ∧ 𝑘𝐶) → (!‘(𝑏𝑘)) = (!‘(𝐵𝑘)))
119118prodeq2dv 15114 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐵𝐶) → ∏𝑘𝐶 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))
120117, 119oveq12d 7041 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐵𝐶) → ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))))
121120eleq1d 2869 . . . . 5 (𝑏 = (𝐵𝐶) → (((!‘Σ𝑘𝐶 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ))
122121rspccva 3560 . . . 4 ((∀𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝐶)((!‘Σ𝑘𝐶 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ∧ (𝐵𝐶) ∈ (ℕ0𝑚 𝐶)) → ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
123106, 110, 122syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
124105, 123nnmulcld 11544 . 2 (𝜑 → ((((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / (!‘(𝐵𝐷))) / (!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘))) · ((!‘Σ𝑘𝐶 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐶 (!‘(𝐵𝑘)))) ∈ ℕ)
12564, 124eqeltrd 2885 1 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(𝐵𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝐶 ∪ {𝐷})(!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986  wral 3107  csb 3817  cdif 3862  cun 3863  wss 3865  {csn 4478   class class class wbr 4968  cres 5452  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  𝑚 cmap 8263  Fincfn 8364  cc 10388  cr 10389  0cc0 10390  1c1 10391   + caddc 10393   · cmul 10395  cle 10529  cmin 10723   / cdiv 11151  cn 11492  0cn0 11751  cz 11835  ...cfz 12746  !cfa 13487  Ccbc 13516  Σcsu 14880  cprod 15096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-sup 8759  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-exp 13284  df-fac 13488  df-bc 13517  df-hash 13545  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-clim 14683  df-sum 14881  df-prod 15097
This theorem is referenced by:  mccl  41442
  Copyright terms: Public domain W3C validator