Theorem chfacfpmmulfsupp 22012

Description: A mapping of values of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix is finitely supported. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cayhamlem1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cayhamlem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cayhamlem1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cayhamlem1.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cayhamlem1.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
cayhamlem1.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
cayhamlem1.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
cayhamlem1.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cayhamlem1.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
cayhamlem1.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
chfacfpmmulfsupp	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖))) finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   𝑛,𝑏   𝑛,𝑠   0 ,𝑛   𝐵,𝑖   𝑖,𝐺   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑇,𝑖   × ,𝑖   ↑ ,𝑖   𝑖,𝑠   𝑖,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑛,𝑠,𝑏)   × (𝑛,𝑠,𝑏)   ↑ (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   − (𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑌(𝑖,𝑠,𝑏)   0 (𝑖,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem chfacfpmmulfsupp

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cayhamlem1.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
2	1	fvexi 6788	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 0 ∈ V)
4		ovexd 7310	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)) ∈ V)
5		nnnn0 12240	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℕ0)
6	5	ad2antrl 725	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
7		1nn0 12249	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 1 ∈ ℕ0)
9	6, 8	nn0addcld 12297	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
10		vex 3436	. . . . . . 7 ⊢ 𝑘 ∈ V
11		csbov12g 7319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ V → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)) = (⦋𝑘 / 𝑖⦌(𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × ⦋𝑘 / 𝑖⦌(𝐺‘𝑖)))
12		nfcvd 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ V → Ⅎ𝑖(𝑘 ↑ (𝑇‘𝑀)))
13		oveq1 7282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) = (𝑘 ↑ (𝑇‘𝑀)))
14	12, 13	csbiegf 3866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ V → ⦋𝑘 / 𝑖⦌(𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) = (𝑘 ↑ (𝑇‘𝑀)))
15		csbfv 6819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑖⦌(𝐺‘𝑖) = (𝐺‘𝑘)
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ V → ⦋𝑘 / 𝑖⦌(𝐺‘𝑖) = (𝐺‘𝑘))
17	14, 16	oveq12d 7293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ V → (⦋𝑘 / 𝑖⦌(𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × ⦋𝑘 / 𝑖⦌(𝐺‘𝑖)) = ((𝑘 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑘)))
18	11, 17	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ V → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)) = ((𝑘 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑘)))
19	10, 18	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)) = ((𝑘 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑘)))
20		simplll 772	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
21		simpllr 773	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))))
22	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
23	22	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℕ0)
24	23	nn0zd 12424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℤ)
25	24	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑠 ∈ ℤ)
26		2z 12352	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 2 ∈ ℤ)
28	25, 27	zaddcld 12430	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 + 2) ∈ ℤ)
29		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ0)
30	29	nn0zd 12424	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℤ)
31		peano2nn0 12273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
32	5, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
33	32	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
34	33	nn0zd 12424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
35		nn0z 12343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
36		zltp1le 12370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑠 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑠 + 1) < 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
37	34, 35, 36	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 1) < 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
38	37	biimpa 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘)
39		nncn 11981	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℂ)
40		add1p1 12224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
42	41	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘 ↔ (𝑠 + 2) ≤ 𝑘))
43	42	bicomd 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
45	44	ad2antlr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
46	45	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
47	38, 46	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 + 2) ≤ 𝑘)
48		eluz2 12588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2)) ↔ ((𝑠 + 2) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝑘))
49	28, 30, 47, 48	syl3anbrc 1342	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2)))
50		cayhamlem1.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
51		cayhamlem1.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
52		cayhamlem1.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
53		cayhamlem1.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
54		cayhamlem1.r	. . . . . . . 8 ⊢ × = (.r‘𝑌)
55		cayhamlem1.s	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑌)
56		cayhamlem1.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
57		cayhamlem1.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
58		cayhamlem1.e	. . . . . . . 8 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑌))
59	50, 51, 52, 53, 54, 55, 1, 56, 57, 58	chfacfpmmul0 22011	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2))) → ((𝑘 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑘)) = 0 )
60	20, 21, 49, 59	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑘 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑘)) = 0 )
61	19, 60	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)) = 0 )
62	61	ex 413	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 1) < 𝑘 → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)) = 0 ))
63	62	ralrimiva 3103	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑠 + 1) < 𝑘 → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)) = 0 ))
64		breq1 5077	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑠 + 1) → (𝑥 < 𝑘 ↔ (𝑠 + 1) < 𝑘))
65	64	rspceaimv 3565	. . 3 ⊢ (((𝑠 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑠 + 1) < 𝑘 → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)) = 0 )) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑘 → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)) = 0 ))
66	9, 63, 65	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑘 → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)) = 0 ))
67	3, 4, 66	mptnn0fsupp 13717	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖))) finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432  ⦋csb 3832  ifcif 4459   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733   finSupp cfsupp 9128  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  0_gc0g 17150  -_gcsg 18579  ._gcmg 18700  mulGrpcmgp 19720  CRingccrg 19784  Poly₁cpl1 21348   Mat cmat 21554   matToPolyMat cmat2pmat 21853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-ascl 21062  df-psr 21112  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-psr1 21351  df-ply1 21353  df-mamu 21533  df-mat 21555  df-mat2pmat 21856

This theorem is referenced by:  chfacfpmmulgsum  22013