MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chfacfpmmulfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chfacfpmmulfsupp 21175
Description: A mapping of values of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix is finitely supported. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cayhamlem1.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cayhamlem1.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cayhamlem1.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cayhamlem1.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cayhamlem1.r × = (.r𝑌)
cayhamlem1.s = (-g𝑌)
cayhamlem1.0 0 = (0g𝑌)
cayhamlem1.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cayhamlem1.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))))
cayhamlem1.e = (.g‘(mulGrp‘𝑌))
Assertion
Ref Expression
chfacfpmmulfsupp (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖))) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   𝑛,𝑏   𝑛,𝑠   0 ,𝑛   𝐵,𝑖   𝑖,𝐺   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑇,𝑖   × ,𝑖   ,𝑖   𝑖,𝑠   𝑖,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑛,𝑠,𝑏)   × (𝑛,𝑠,𝑏)   (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   (𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑌(𝑖,𝑠,𝑏)   0 (𝑖,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem chfacfpmmulfsupp
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cayhamlem1.0 . . . 4 0 = (0g𝑌)
21fvexi 6513 . . 3 0 ∈ V
32a1i 11 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 0 ∈ V)
4 ovexd 7010 . 2 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) ∈ V)
5 nnnn0 11715 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℕ0)
65ad2antrl 715 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
7 1nn0 11725 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 1 ∈ ℕ0)
96, 8nn0addcld 11771 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
10 vex 3418 . . . . . . 7 𝑘 ∈ V
11 csbov12g 7019 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) = (𝑘 / 𝑖(𝑖 (𝑇𝑀)) × 𝑘 / 𝑖(𝐺𝑖)))
12 nfcvd 2933 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ V → 𝑖(𝑘 (𝑇𝑀)))
13 oveq1 6983 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 (𝑇𝑀)) = (𝑘 (𝑇𝑀)))
1412, 13csbiegf 3812 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖(𝑖 (𝑇𝑀)) = (𝑘 (𝑇𝑀)))
15 csbfv 6545 . . . . . . . . . 10 𝑘 / 𝑖(𝐺𝑖) = (𝐺𝑘)
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖(𝐺𝑖) = (𝐺𝑘))
1714, 16oveq12d 6994 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ V → (𝑘 / 𝑖(𝑖 (𝑇𝑀)) × 𝑘 / 𝑖(𝐺𝑖)) = ((𝑘 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑘)))
1811, 17eqtrd 2814 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) = ((𝑘 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑘)))
1910, 18mp1i 13 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 / 𝑖((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) = ((𝑘 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑘)))
20 simplll 762 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵))
21 simpllr 763 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))))
225adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
2322ad2antlr 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℕ0)
2423nn0zd 11898 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℤ)
2524adantr 473 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑠 ∈ ℤ)
26 2z 11827 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 2 ∈ ℤ)
2825, 27zaddcld 11904 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 + 2) ∈ ℤ)
29 simplr 756 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3029nn0zd 11898 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℤ)
31 peano2nn0 11749 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
325, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
3332ad2antrl 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
3433nn0zd 11898 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
35 nn0z 11818 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
36 zltp1le 11845 . . . . . . . . . . 11 (((𝑠 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑠 + 1) < 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
3734, 35, 36syl2an 586 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 1) < 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
3837biimpa 469 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘)
39 nncn 11448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℂ)
40 add1p1 11698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℂ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
4241breq1d 4939 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℕ → (((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘 ↔ (𝑠 + 2) ≤ 𝑘))
4342bicomd 215 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
4443adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
4544ad2antlr 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
4645adantr 473 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
4738, 46mpbird 249 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 + 2) ≤ 𝑘)
48 eluz2 12064 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2)) ↔ ((𝑠 + 2) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝑘))
4928, 30, 47, 48syl3anbrc 1323 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2)))
50 cayhamlem1.a . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
51 cayhamlem1.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐴)
52 cayhamlem1.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
53 cayhamlem1.y . . . . . . . 8 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
54 cayhamlem1.r . . . . . . . 8 × = (.r𝑌)
55 cayhamlem1.s . . . . . . . 8 = (-g𝑌)
56 cayhamlem1.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
57 cayhamlem1.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))))
58 cayhamlem1.e . . . . . . . 8 = (.g‘(mulGrp‘𝑌))
5950, 51, 52, 53, 54, 55, 1, 56, 57, 58chfacfpmmul0 21174 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2))) → ((𝑘 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑘)) = 0 )
6020, 21, 49, 59syl3anc 1351 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑘 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑘)) = 0 )
6119, 60eqtrd 2814 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 / 𝑖((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) = 0 )
6261ex 405 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 1) < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) = 0 ))
6362ralrimiva 3132 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑠 + 1) < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) = 0 ))
64 breq1 4932 . . . 4 (𝑥 = (𝑠 + 1) → (𝑥 < 𝑘 ↔ (𝑠 + 1) < 𝑘))
6564rspceaimv 3543 . . 3 (((𝑠 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑠 + 1) < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) = 0 )) → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) = 0 ))
669, 63, 65syl2anc 576 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ∃𝑥 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖)) = 0 ))
673, 4, 66mptnn0fsupp 13180 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝑖))) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3088  wrex 3089  Vcvv 3415  csb 3786  ifcif 4350   class class class wbr 4929  cmpt 5008  cfv 6188  (class class class)co 6976  𝑚 cmap 8206  Fincfn 8306   finSupp cfsupp 8628  cc 10333  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   < clt 10474  cle 10475  cmin 10670  cn 11439  2c2 11495  0cn0 11707  cz 11793  cuz 12058  ...cfz 12708  Basecbs 16339  .rcmulr 16422  0gc0g 16569  -gcsg 17893  .gcmg 18011  mulGrpcmgp 18962  CRingccrg 19021  Poly1cpl1 20048   Mat cmat 20720   matToPolyMat cmat2pmat 21016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-ot 4450  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-ofr 7228  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-sup 8701  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-hash 13506  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-hom 16445  df-cco 16446  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-prds 16577  df-pws 16579  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-mulg 18012  df-subg 18060  df-ghm 18127  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-cring 19023  df-subrg 19256  df-lmod 19358  df-lss 19426  df-sra 19666  df-rgmod 19667  df-ascl 19808  df-psr 19850  df-mpl 19852  df-opsr 19854  df-psr1 20051  df-ply1 20053  df-dsmm 20578  df-frlm 20593  df-mamu 20697  df-mat 20721  df-mat2pmat 21019
This theorem is referenced by:  chfacfpmmulgsum  21176
  Copyright terms: Public domain W3C validator