Theorem chfacfpmmulfsupp 22853

Description: A mapping of values of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix is finitely supported. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cayhamlem1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cayhamlem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cayhamlem1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cayhamlem1.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cayhamlem1.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
cayhamlem1.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
cayhamlem1.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
cayhamlem1.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cayhamlem1.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
cayhamlem1.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
chfacfpmmulfsupp	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖))) finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   𝑛,𝑏   𝑛,𝑠   0 ,𝑛   𝐵,𝑖   𝑖,𝐺   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑇,𝑖   × ,𝑖   ↑ ,𝑖   𝑖,𝑠   𝑖,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑛,𝑠,𝑏)   × (𝑛,𝑠,𝑏)   ↑ (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   − (𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑌(𝑖,𝑠,𝑏)   0 (𝑖,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem chfacfpmmulfsupp

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cayhamlem1.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
2	1	fvexi 6848	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 0 ∈ V)
4		ovexd 7398	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)) ∈ V)
5		nnnn0 12442	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℕ0)
6	5	ad2antrl 734	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
7		1nn0 12451	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 1 ∈ ℕ0)
9	6, 8	nn0addcld 12500	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
10		vex 3436	. . . . . . 7 ⊢ 𝑘 ∈ V
11		csbov12g 7409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ V → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)) = (⦋𝑘 / 𝑖⦌(𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × ⦋𝑘 / 𝑖⦌(𝐺‘𝑖)))
12		nfcvd 2903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ V → Ⅎ𝑖(𝑘 ↑ (𝑇‘𝑀)))
13		oveq1 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) = (𝑘 ↑ (𝑇‘𝑀)))
14	12, 13	csbiegf 3871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ V → ⦋𝑘 / 𝑖⦌(𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) = (𝑘 ↑ (𝑇‘𝑀)))
15		csbfv 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑖⦌(𝐺‘𝑖) = (𝐺‘𝑘)
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ V → ⦋𝑘 / 𝑖⦌(𝐺‘𝑖) = (𝐺‘𝑘))
17	14, 16	oveq12d 7381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ V → (⦋𝑘 / 𝑖⦌(𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × ⦋𝑘 / 𝑖⦌(𝐺‘𝑖)) = ((𝑘 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑘)))
18	11, 17	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ V → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)) = ((𝑘 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑘)))
19	10, 18	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)) = ((𝑘 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑘)))
20		simplll 780	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
21		simpllr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))))
22	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
23	22	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℕ0)
24	23	nn0zd 12547	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℤ)
25	24	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑠 ∈ ℤ)
26		2z 12557	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 2 ∈ ℤ)
28	25, 27	zaddcld 12635	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 + 2) ∈ ℤ)
29		simplr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ0)
30	29	nn0zd 12547	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℤ)
31		peano2nn0 12475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
32	5, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
33	32	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
34	33	nn0zd 12547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
35		nn0z 12546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
36		zltp1le 12575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑠 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑠 + 1) < 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
37	34, 35, 36	syl2an 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 1) < 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
38	37	biimpa 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘)
39		nncn 12180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℂ)
40		add1p1 12426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
42	41	breq1d 5089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘 ↔ (𝑠 + 2) ≤ 𝑘))
43	42	bicomd 224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
45	44	ad2antlr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
46	45	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
47	38, 46	mpbird 258	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 + 2) ≤ 𝑘)
48		eluz2 12792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2)) ↔ ((𝑠 + 2) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝑘))
49	28, 30, 47, 48	syl3anbrc 1350	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2)))
50		cayhamlem1.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
51		cayhamlem1.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
52		cayhamlem1.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
53		cayhamlem1.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
54		cayhamlem1.r	. . . . . . . 8 ⊢ × = (.r‘𝑌)
55		cayhamlem1.s	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑌)
56		cayhamlem1.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
57		cayhamlem1.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
58		cayhamlem1.e	. . . . . . . 8 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑌))
59	50, 51, 52, 53, 54, 55, 1, 56, 57, 58	chfacfpmmul0 22852	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2))) → ((𝑘 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑘)) = 0 )
60	20, 21, 49, 59	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑘 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑘)) = 0 )
61	19, 60	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)) = 0 )
62	61	ex 413	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 1) < 𝑘 → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)) = 0 ))
63	62	ralrimiva 3132	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑠 + 1) < 𝑘 → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)) = 0 ))
64		breq1 5082	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑠 + 1) → (𝑥 < 𝑘 ↔ (𝑠 + 1) < 𝑘))
65	64	rspceaimv 3573	. . 3 ⊢ (((𝑠 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑠 + 1) < 𝑘 → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)) = 0 )) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑘 → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)) = 0 ))
66	9, 63, 65	syl2anc 590	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑘 → ⦋𝑘 / 𝑖⦌((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖)) = 0 ))
67	3, 4, 66	mptnn0fsupp 13957	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝑖))) finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  Vcvv 3432  ⦋csb 3838  ifcif 4461   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↑_m cmap 8770  Fincfn 8890   finSupp cfsupp 9271  ℂcc 11034  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375  ℕcn 12172  2c2 12234  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ...cfz 13459  Basecbs 17177  ._rcmulr 17219  0_gc0g 17400  -_gcsg 18909  ._gcmg 19041  mulGrpcmgp 20119  CRingccrg 20213  Poly₁cpl1 22169   Mat cmat 22397   matToPolyMat cmat2pmat 22694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-ot 4571  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-sra 21170  df-rgmod 21171  df-dsmm 21714  df-frlm 21729  df-ascl 21837  df-psr 21891  df-mpl 21893  df-opsr 21895  df-psr1 22172  df-ply1 22174  df-mamu 22381  df-mat 22398  df-mat2pmat 22697

This theorem is referenced by:  chfacfpmmulgsum  22854