mp2pm2mplem4 - Metamath Proof Explorer

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Theorem mp2pm2mplem4 23040

Description: Lemma 4 for mp2pm2mp 23042. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
mp2pm2mp.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mp2pm2mp.q	⊢ 𝑄 = (Poly₁‘𝐴)
mp2pm2mp.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
mp2pm2mp.m	⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑃)
mp2pm2mp.e	⊢ 𝐸 = (._g‘(mulGrp‘𝑃))
mp2pm2mp.y	⊢ 𝑌 = (var₁‘𝑅)
mp2pm2mp.i	⊢ 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σ_g (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑖((coe₁‘𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
mp2pm2mplem2.p	⊢ 𝑃 = (Poly₁‘𝑅)

**Assertion**
Ref	Expression
mp2pm2mplem4	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((𝐼‘𝑂) decompPMat 𝐾) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾))

Distinct variable groups: 𝐸,𝑝 𝐿,𝑝 𝑖,𝑁,𝑗,𝑝 𝑖,𝑂,𝑗,𝑝,𝑘 𝑃,𝑝 𝑅,𝑝 𝑌,𝑝 · ,𝑝 𝑘,𝐿 𝑃,𝑖,𝑗,𝑘 𝑅,𝑘 · ,𝑘 𝑖,𝐸,𝑗 𝑖,𝐾,𝑗 𝑖,𝐿,𝑗 𝑘,𝑁 𝑅,𝑖,𝑗 𝑖,𝑌,𝑗 · ,𝑖,𝑗 𝐴,𝑖,𝑗,𝑘 𝑘,𝐸 𝑘,𝐾 𝑘,𝑌 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑝) 𝑄(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑝) 𝐼(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑝) 𝐾(𝑝)

Proof of Theorem mp2pm2mplem4 Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑥 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mp2pm2mp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		mp2pm2mp.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (Poly₁‘𝐴)
3		mp2pm2mp.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
4		mp2pm2mp.m	. . 3 ⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑃)
5		mp2pm2mp.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (._g‘(mulGrp‘𝑃))
6		mp2pm2mp.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (var₁‘𝑅)
7		mp2pm2mp.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σ_g (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑖((coe₁‘𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
8		mp2pm2mplem2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly₁‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mp2pm2mplem3 23039	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((𝐼‘𝑂) decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe₁‘(𝑃 Σ_g (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾)))
10		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
11		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (0_g‘𝑃) = (0_g‘𝑃)
12	8	ply1ring 22478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
13	12	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑃 ∈ Ring)
14		ringcmn 20429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑃 ∈ CMnd)
16	15	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) → 𝑃 ∈ CMnd)
17	16	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ CMnd)
18		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → 𝑅 ∈ Ring)
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) → 𝑅 ∈ Ring)
20	19	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 𝑅 ∈ Ring)
22		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
23		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
24		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 𝑖 ∈ 𝑁)
25		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 𝑗 ∈ 𝑁)
26		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → 𝑂 ∈ 𝐿)
27	26	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) → 𝑂 ∈ 𝐿)
28	27	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑂 ∈ 𝐿)
29		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (coe₁‘𝑂) = (coe₁‘𝑂)
30	29, 3, 2, 23	coe1fvalcl 22443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐿 ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((coe₁‘𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
31	28, 30	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((coe₁‘𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
32	1, 22, 23, 24, 25, 31	matecld 22654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
33		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
34		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
35	22, 8, 6, 4, 34, 5, 10	ply1tmcl 22504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃))
36	21, 32, 33, 35	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃))
37	36	ralrimiva 3156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ∀𝑘 ∈ ℕ₀ ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃))
38		simp1lr 1256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑠 ∈ ℕ₀)
39		oveq 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴) → (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑥)𝑗) = (𝑖(0_g‘𝐴)𝑗))
40	39	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴) → ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑥)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = ((𝑖(0_g‘𝐴)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)))
41		3simpa 1166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
42	41	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
43		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0_g‘𝑅) = (0_g‘𝑅)
44	1, 43	mat0op 22647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0_g‘𝐴) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (0_g‘𝑅)))
45	42, 44	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (0_g‘𝐴) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (0_g‘𝑅)))
46		eqidd 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑎 = 𝑖 ∧ 𝑏 = 𝑗)) → (0_g‘𝑅) = (0_g‘𝑅))
47		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
48		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
49		fvexd 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (0_g‘𝑅) ∈ V)
50	45, 46, 47, 48, 49	ovmpod 7569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(0_g‘𝐴)𝑗) = (0_g‘𝑅))
51	50	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) → (𝑖(0_g‘𝐴)𝑗) = (0_g‘𝑅))
52	51	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) → ((𝑖(0_g‘𝐴)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = ((0_g‘𝑅) · (𝑥𝐸𝑌)))
53	18	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) → 𝑅 ∈ Ring)
54	8	ply1sca 22483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
55	53, 54	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
56	55	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) → (0_g‘𝑅) = (0_g‘(Scalar‘𝑃)))
57	56	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) → ((0_g‘𝑅) · (𝑥𝐸𝑌)) = ((0_g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑥𝐸𝑌)))
58	8	ply1lmod 22482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
59	58	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑃 ∈ LMod)
60	59	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) → 𝑃 ∈ LMod)
61		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) → 𝑥 ∈ ℕ₀)
62	8, 6, 34, 5, 10	ply1moncl 22503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) → (𝑥𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
63	53, 61, 62	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) → (𝑥𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
64		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
65		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0_g‘(Scalar‘𝑃)) = (0_g‘(Scalar‘𝑃))
66	10, 64, 4, 65, 11	lmod0vs 21085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑥𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃)) → ((0_g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0_g‘𝑃))
67	60, 63, 66	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) → ((0_g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0_g‘𝑃))
68	52, 57, 67	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) → ((𝑖(0_g‘𝐴)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0_g‘𝑃))
69	68	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 < 𝑥) → ((𝑖(0_g‘𝐴)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0_g‘𝑃))
70	40, 69	sylan9eqr 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)) → ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑥)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0_g‘𝑃))
71	70	exp31 425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) → (𝑠 < 𝑥 → (((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴) → ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑥)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0_g‘𝑃))))
72	71	a2d 30	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ₀) → ((𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)) → (𝑠 < 𝑥 → ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑥)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0_g‘𝑃))))
73	72	ralimdva 3176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑥)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0_g‘𝑃))))
74	73	impancom 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑥)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0_g‘𝑃))))
75	74	3impib 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑥)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0_g‘𝑃)))
76		breq2 5111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑠 < 𝑘 ↔ 𝑠 < 𝑥))
77		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑘) = ((coe₁‘𝑂)‘𝑥))
78	77	oveqd 7434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) = (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑥)𝑗))
79		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘𝐸𝑌) = (𝑥𝐸𝑌))
80	78, 79	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) = ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑥)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)))
81	80	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) = (0_g‘𝑃) ↔ ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑥)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0_g‘𝑃)))
82	76, 81	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝑠 < 𝑘 → ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) = (0_g‘𝑃)) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑥)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0_g‘𝑃))))
83	82	cbvralvw 3242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑘 → ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) = (0_g‘𝑃)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑥)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0_g‘𝑃)))
84	75, 83	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ∀𝑘 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑘 → ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) = (0_g‘𝑃)))
85	10, 11, 17, 37, 38, 84	gsummptnn0fz 20119	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑃 Σ_g (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))) = (𝑃 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))
86	85	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (coe₁‘(𝑃 Σ_g (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) = (coe₁‘(𝑃 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
87	86	fveq1d 6884	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe₁‘(𝑃 Σ_g (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾) = ((coe₁‘(𝑃 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾))
88		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
89	88	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
90	36	expcom 419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃)))
91		elfznn0 13679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑠) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
92	90, 91	syl11 34	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃)))
93	92	ralrimiv 3155	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ∀𝑘 ∈ (0...𝑠)((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃))
94		fzfid 14041	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (0...𝑠) ∈ Fin)
95	8, 10, 20, 89, 93, 94	coe1fzgsumd 22535	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe₁‘(𝑃 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾) = (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((coe₁‘((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))‘𝐾))))
96	87, 95	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe₁‘(𝑃 Σ_g (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾) = (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((coe₁‘((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))‘𝐾))))
97	96	mpoeq3dva 7494	. . . 4 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe₁‘(𝑃 Σ_g (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((coe₁‘((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))‘𝐾)))))
98	18	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
99	98	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → 𝑅 ∈ Ring)
100		simpl2 1211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
101		simpl3 1212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
102	26	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑂 ∈ 𝐿)
103	102, 91, 30	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → ((coe₁‘𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
104	1, 22, 23, 100, 101, 103	matecld 22654	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
105	91	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
106	43, 22, 8, 6, 4, 34, 5	coe1tm 22505	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (coe₁‘((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))) = (𝑙 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑙 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))))
107	99, 104, 105, 106	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → (coe₁‘((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))) = (𝑙 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑙 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))))
108		eqeq1 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝐾 → (𝑙 = 𝑘 ↔ 𝐾 = 𝑘))
109	108	ifbid 4509	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝐾 → if(𝑙 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅)) = if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅)))
110	109	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) ∧ 𝑙 = 𝐾) → if(𝑙 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅)) = if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅)))
111		simpl1r 1244	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
112		ovex 7450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ V
113		fvex 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0_g‘𝑅) ∈ V
114	112, 113	ifex 4536	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅)) ∈ V
115	114	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅)) ∈ V)
116	107, 110, 111, 115	fvmptd 6998	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → ((coe₁‘((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))‘𝐾) = if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅)))
117	116	mpteq2dva 5202	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((coe₁‘((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))‘𝐾)) = (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))))
118	117	oveq2d 7433	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((coe₁‘((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))‘𝐾))) = (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅)))))
119	118	mpoeq3dva 7494	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((coe₁‘((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))‘𝐾)))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))))))
120	119	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((coe₁‘((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))‘𝐾)))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))))))
121		breq2 5111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑠 < 𝑥 ↔ 𝑠 < 𝐾))
122		fveqeq2 6891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴) ↔ ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) = (0_g‘𝐴)))
123	121, 122	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)) ↔ (𝑠 < 𝐾 → ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) = (0_g‘𝐴))))
124	123	rspcva 3577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) → (𝑠 < 𝐾 → ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) = (0_g‘𝐴)))
125	1, 43	mat0op 22647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0_g‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0_g‘𝑅)))
126	125	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0_g‘𝑅)) = (0_g‘𝐴))
127	126	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0_g‘𝑅)) = (0_g‘𝐴))
128	127	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) = (0_g‘𝐴)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0_g‘𝑅)) = (0_g‘𝐴))
129		elfz2nn0 13677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↔ (𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ≤ 𝑠))
130		nn0re 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → 𝑘 ∈ ℝ)
131	130	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → 𝑘 ∈ ℝ)
132		nn0re 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ₀ → 𝑠 ∈ ℝ)
133	132	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → 𝑠 ∈ ℝ)
134		nn0re 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℝ)
135	134	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → 𝐾 ∈ ℝ)
136		lelttr 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑘 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < 𝐾) → 𝑘 < 𝐾))
137	131, 133, 135, 136	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((𝑘 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < 𝐾) → 𝑘 < 𝐾))
138		animorr 994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 < 𝐾) → (𝐾 < 𝑘 ∨ 𝑘 < 𝐾))
139		df-ne 2958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑘 ↔ ¬ 𝐾 = 𝑘)
140	130	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) → 𝑘 ∈ ℝ)
141		lttri2 11320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐾 ≠ 𝑘 ↔ (𝐾 < 𝑘 ∨ 𝑘 < 𝐾)))
142	134, 140, 141	syl2anr 609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ≠ 𝑘 ↔ (𝐾 < 𝑘 ∨ 𝑘 < 𝐾)))
143	142	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 < 𝐾) → (𝐾 ≠ 𝑘 ↔ (𝐾 < 𝑘 ∨ 𝑘 < 𝐾)))
144	139, 143	bitr3id 288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 < 𝐾) → (¬ 𝐾 = 𝑘 ↔ (𝐾 < 𝑘 ∨ 𝑘 < 𝐾)))
145	138, 144	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑘 < 𝐾) → ¬ 𝐾 = 𝑘)
146	145	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝑘 < 𝐾 → ¬ 𝐾 = 𝑘))
147	137, 146	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((𝑘 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < 𝐾) → ¬ 𝐾 = 𝑘))
148	147	exp4b 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ∈ ℕ₀ → (𝑘 ≤ 𝑠 → (𝑠 < 𝐾 → ¬ 𝐾 = 𝑘))))
149	148	com24 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) → (𝑠 < 𝐾 → (𝑘 ≤ 𝑠 → (𝐾 ∈ ℕ₀ → ¬ 𝐾 = 𝑘))))
150	149	expimpd 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → ((𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 < 𝐾) → (𝑘 ≤ 𝑠 → (𝐾 ∈ ℕ₀ → ¬ 𝐾 = 𝑘))))
151	150	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → (𝑘 ≤ 𝑠 → ((𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 < 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ₀ → ¬ 𝐾 = 𝑘))))
152	151	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ≤ 𝑠) → ((𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 < 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ₀ → ¬ 𝐾 = 𝑘)))
153	152	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ≤ 𝑠) → ((𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 < 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ₀ → ¬ 𝐾 = 𝑘)))
154	129, 153	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ((𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 < 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ₀ → ¬ 𝐾 = 𝑘)))
155	154	com13 89	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → ((𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 < 𝐾) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ¬ 𝐾 = 𝑘)))
156	155	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿)) → ((𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 < 𝐾) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ¬ 𝐾 = 𝑘)))
157	156	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 < 𝐾)) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ¬ 𝐾 = 𝑘))
158	157	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) = (0_g‘𝐴)) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ¬ 𝐾 = 𝑘))
159	158	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) = (0_g‘𝐴)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ¬ 𝐾 = 𝑘))
160	159	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) = (0_g‘𝐴)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → ¬ 𝐾 = 𝑘)
161	160	iffalsed 4496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) = (0_g‘𝐴)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅)) = (0_g‘𝑅))
162	161	mpteq2dva 5202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) = (0_g‘𝐴)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))) = (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ (0_g‘𝑅)))
163	162	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) = (0_g‘𝐴)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅)))) = (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ (0_g‘𝑅))))
164		ringmnd 20388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
165	164	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑅 ∈ Mnd)
166		ovex 7450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0...𝑠) ∈ V
167	43	gsumz 18951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (0...𝑠) ∈ V) → (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ (0_g‘𝑅))) = (0_g‘𝑅))
168	165, 166, 167	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ (0_g‘𝑅))) = (0_g‘𝑅))
169	168	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) = (0_g‘𝐴)) → (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ (0_g‘𝑅))) = (0_g‘𝑅))
170	169	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) = (0_g‘𝐴)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ (0_g‘𝑅))) = (0_g‘𝑅))
171	163, 170	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) = (0_g‘𝐴)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅)))) = (0_g‘𝑅))
172	171	mpoeq3dva 7494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) = (0_g‘𝐴)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0_g‘𝑅)))
173		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) = (0_g‘𝐴)) → ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) = (0_g‘𝐴))
174	128, 172, 173	3eqtr4d 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) = (0_g‘𝐴)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))))) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾))
175	174	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 < 𝐾)) → (((coe₁‘𝑂)‘𝐾) = (0_g‘𝐴) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))))) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾)))
176	175	expr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿)) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) → (𝑠 < 𝐾 → (((coe₁‘𝑂)‘𝐾) = (0_g‘𝐴) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))))) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾))))
177	176	a2d 30	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿)) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) → ((𝑠 < 𝐾 → ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) = (0_g‘𝐴)) → (𝑠 < 𝐾 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))))) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾))))
178	177	exp31 425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝑠 ∈ ℕ₀ → ((𝑠 < 𝐾 → ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) = (0_g‘𝐴)) → (𝑠 < 𝐾 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))))) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾))))))
179	178	com14 97	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 < 𝐾 → ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) = (0_g‘𝐴)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝑠 ∈ ℕ₀ → (𝐾 ∈ ℕ₀ → (𝑠 < 𝐾 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))))) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾))))))
180	124, 179	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝑠 ∈ ℕ₀ → (𝐾 ∈ ℕ₀ → (𝑠 < 𝐾 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))))) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾))))))
181	180	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝑠 ∈ ℕ₀ → (𝐾 ∈ ℕ₀ → (𝑠 < 𝐾 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))))) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾)))))))
182	181	com25 100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (𝐾 ∈ ℕ₀ → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝑠 ∈ ℕ₀ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)) → (𝑠 < 𝐾 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))))) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾)))))))
183	182	pm2.43i 53	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝑠 ∈ ℕ₀ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)) → (𝑠 < 𝐾 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))))) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾))))))
184	183	impcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝑠 ∈ ℕ₀ → (∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)) → (𝑠 < 𝐾 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))))) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾)))))
185	184	imp31 423	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) → (𝑠 < 𝐾 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))))) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾)))
186	185	com12 33	. . . . 5 ⊢ (𝑠 < 𝐾 → (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))))) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾)))
187	165	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) → 𝑅 ∈ Mnd)
188	187	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)))) → 𝑅 ∈ Mnd)
189	188	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Mnd)
190		ovexd 7452	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (0...𝑠) ∈ V)
191		lenlt 11316	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 𝑠 ↔ ¬ 𝑠 < 𝐾))
192	134, 132, 191	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ≤ 𝑠 ↔ ¬ 𝑠 < 𝐾))
193		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 ≤ 𝑠) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
194		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 ≤ 𝑠) → 𝑠 ∈ ℕ₀)
195		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 ≤ 𝑠) → 𝐾 ≤ 𝑠)
196		elfz2nn0 13677	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑠) ↔ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ≤ 𝑠))
197	193, 194, 195, 196	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 ≤ 𝑠) → 𝐾 ∈ (0...𝑠))
198	197	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ≤ 𝑠 → 𝐾 ∈ (0...𝑠)))
199	192, 198	sylbird 263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) → (¬ 𝑠 < 𝐾 → 𝐾 ∈ (0...𝑠)))
200	199	ad4ant23 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) → (¬ 𝑠 < 𝐾 → 𝐾 ∈ (0...𝑠)))
201	200	impcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)))) → 𝐾 ∈ (0...𝑠))
202	201	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑠))
203		eqcom 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = 𝑘 ↔ 𝑘 = 𝐾)
204		ifbi 4508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 = 𝑘 ↔ 𝑘 = 𝐾) → if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅)) = if(𝑘 = 𝐾, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅)))
205	203, 204	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅)) = if(𝑘 = 𝐾, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))
206	205	mpteq2i 5205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))) = (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝑘 = 𝐾, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅)))
207		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 𝑖 ∈ 𝑁)
208		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → 𝑗 ∈ 𝑁)
209	27	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)))) → 𝑂 ∈ 𝐿)
210	209	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑂 ∈ 𝐿)
211	210, 30	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((coe₁‘𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
212	1, 22, 23, 207, 208, 211	matecld 22654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
213	91, 212	sylan2 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
214	213	ralrimiva 3156	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ∀𝑘 ∈ (0...𝑠)(𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
215	43, 189, 190, 202, 206, 214	gsummpt1n0 20098	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅)))) = ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗))
216	215	mpoeq3dva 7494	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)))) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗)))
217		csbov 7462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) = (𝑖⦋𝐾 / 𝑘⦌((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗)
218		csbfv 6929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ⦋𝐾 / 𝑘⦌((coe₁‘𝑂)‘𝑘) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾)
219	218	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → ⦋𝐾 / 𝑘⦌((coe₁‘𝑂)‘𝑘) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾))
220	219	oveqd 7434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (𝑖⦋𝐾 / 𝑘⦌((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) = (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝐾)𝑗))
221	217, 220	eqtrid 2809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) = (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝐾)𝑗))
222	221	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) = (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝐾)𝑗))
223	222	mpoeq3dv 7496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝐾)𝑗)))
224		oveq12 7426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝐾)𝑗) = (𝑎((coe₁‘𝑂)‘𝐾)𝑏))
225	224	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏)) → (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝐾)𝑗) = (𝑎((coe₁‘𝑂)‘𝐾)𝑏))
226		simprl 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑎 ∈ 𝑁)
227		simprr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → 𝑏 ∈ 𝑁)
228		ovexd 7452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → (𝑎((coe₁‘𝑂)‘𝐾)𝑏) ∈ V)
229	223, 225, 226, 227, 228	ovmpod 7569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗))𝑏) = (𝑎((coe₁‘𝑂)‘𝐾)𝑏))
230	229	ralrimivva 3207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ∀𝑎 ∈ 𝑁 ∀𝑏 ∈ 𝑁 (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗))𝑏) = (𝑎((coe₁‘𝑂)‘𝐾)𝑏))
231		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ Fin)
232	218	oveqi 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖⦋𝐾 / 𝑘⦌((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) = (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝐾)𝑗)
233	217, 232	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) = (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝐾)𝑗)
234		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
235		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
236	29, 3, 2, 23	coe1fvalcl 22443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) ∈ (Base‘𝐴))
237	236	3ad2antl3 1206	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) ∈ (Base‘𝐴))
238	237	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) ∈ (Base‘𝐴))
239	1, 22, 23, 234, 235, 238	matecld 22654	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝐾)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
240	233, 239	eqeltrid 2866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
241	1, 22, 23, 231, 18, 240	matbas2d 22651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗)) ∈ (Base‘𝐴))
242	1, 23	eqmat 22652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗)) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗)) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑁 ∀𝑏 ∈ 𝑁 (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗))𝑏) = (𝑎((coe₁‘𝑂)‘𝐾)𝑏)))
243	241, 237, 242	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗)) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑁 ∀𝑏 ∈ 𝑁 (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗))𝑏) = (𝑎((coe₁‘𝑂)‘𝐾)𝑏)))
244	230, 243	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗)) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾))
245	244	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗)) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾))
246	245	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)))) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗)) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾))
247	216, 246	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)))) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))))) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾))
248	247	ex 418	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑠 < 𝐾 → (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))))) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾)))
249	186, 248	pm2.61i 184	. . . 4 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σ_g (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗), (0_g‘𝑅))))) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾))
250	97, 120, 249	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑠 ∈ ℕ₀) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe₁‘(𝑃 Σ_g (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾)) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾))
251		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0_g‘𝐴) = (0_g‘𝐴)
252	29, 3, 2, 251	coe1sfi 22444	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ 𝐿 → (coe₁‘𝑂) finSupp (0_g‘𝐴))
253	26, 252	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (coe₁‘𝑂) finSupp (0_g‘𝐴))
254	29, 3, 2, 251, 23	coe1fsupp 22445	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ 𝐿 → (coe₁‘𝑂) ∈ {𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ↑_m ℕ₀) ∣ 𝑥 finSupp (0_g‘𝐴)})
255		elrabi 3644	. . . . . 6 ⊢ ((coe₁‘𝑂) ∈ {𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ↑_m ℕ₀) ∣ 𝑥 finSupp (0_g‘𝐴)} → (coe₁‘𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑_m ℕ₀))
256	26, 254, 255	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (coe₁‘𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑_m ℕ₀))
257		fvex 6895	. . . . 5 ⊢ (0_g‘𝐴) ∈ V
258		fsuppmapnn0ub 14063	. . . . 5 ⊢ (((coe₁‘𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑_m ℕ₀) ∧ (0_g‘𝐴) ∈ V) → ((coe₁‘𝑂) finSupp (0_g‘𝐴) → ∃𝑠 ∈ ℕ₀ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))))
259	256, 257, 258	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((coe₁‘𝑂) finSupp (0_g‘𝐴) → ∃𝑠 ∈ ℕ₀ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴))))
260	253, 259	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ∃𝑠 ∈ ℕ₀ ∀𝑥 ∈ ℕ₀ (𝑠 < 𝑥 → ((coe₁‘𝑂)‘𝑥) = (0_g‘𝐴)))
261	250, 260	r19.29a 3172	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe₁‘(𝑃 Σ_g (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑖((coe₁‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾)) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾))
262	9, 261	eqtrd 2797	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → ((𝐼‘𝑂) decompPMat 𝐾) = ((coe₁‘𝑂)‘𝐾))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2957 ∀wral 3078 ∃wrex 3088 {crab 3414 Vcvv 3453 ⦋csb 3850 ifcif 4485 class class class wbr 5107 ↦ cmpt 5190 ‘cfv 6537 (class class class)co 7417 ∈ cmpo 7419 ↑_m cmap 8830 Fincfn 8956 finSupp cfsupp 9335 ℝcr 11127 0cc0 11128 < clt 11271 ≤ cle 11272 ℕ₀cn0 12532 ...cfz 13565 Basecbs 17307 Scalarcsca 17351 ·_𝑠 cvsca 17352 0_gc0g 17530 Σ_g cgsu 17531 Mndcmnd 18842 ._gcmg 19196 CMndccmn 19913 mulGrpcmgp 20279 Ringcrg 20378 LModclmod 21050 var₁cv1 22407 Poly₁cpl1 22408 coe₁cco1 22409 Mat cmat 22635 decompPMat cdecpmat 22993

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2215 ax-ext 2734 ax-rep 5236 ax-sep 5255 ax-nul 5267 ax-pow 5334 ax-pr 5402 ax-un 7740 ax-cnex 11184 ax-resscn 11185 ax-1cn 11186 ax-icn 11187 ax-addcl 11188 ax-addrcl 11189 ax-mulcl 11190 ax-mulrcl 11191 ax-mulcom 11192 ax-addass 11193 ax-mulass 11194 ax-distr 11195 ax-i2m1 11196 ax-1ne0 11197 ax-1rid 11198 ax-rnegex 11199 ax-rrecex 11200 ax-cnre 11201 ax-pre-lttri 11202 ax-pre-lttrn 11203 ax-pre-ltadd 11204 ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2566 df-eu 2596 df-clab 2741 df-cleq 2754 df-clel 2837 df-nfc 2911 df-ne 2958 df-nel 3064 df-ral 3079 df-rex 3089 df-rmo 3367 df-reu 3368 df-rab 3415 df-v 3455 df-sbc 3743 df-csb 3851 df-dif 3905 df-un 3907 df-in 3909 df-ss 3919 df-pss 3922 df-nul 4283 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4588 df-pr 4590 df-tp 4592 df-op 4594 df-ot 4596 df-uni 4871 df-int 4911 df-iun 4956 df-iin 4957 df-br 5108 df-opab 5172 df-mpt 5191 df-tr 5217 df-id 5554 df-eprel 5559 df-po 5567 df-so 5568 df-fr 5612 df-se 5613 df-we 5614 df-xp 5665 df-rel 5666 df-cnv 5667 df-co 5668 df-dm 5669 df-rn 5670 df-res 5671 df-ima 5672 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7374 df-ov 7420 df-oprab 7421 df-mpo 7422 df-of 7682 df-ofr 7683 df-om 7867 df-1st 7990 df-2nd 7991 df-supp 8163 df-frecs 8284 df-wrecs 8315 df-recs 8364 df-rdg 8403 df-1o 8459 df-2o 8460 df-er 8700 df-map 8832 df-pm 8833 df-ixp 8909 df-en 8957 df-dom 8958 df-sdom 8959 df-fin 8960 df-fsupp 9336 df-sup 9416 df-oi 9486 df-card 9948 df-pnf 11273 df-mnf 11274 df-xr 11275 df-ltxr 11276 df-le 11277 df-sub 11471 df-neg 11472 df-nn 12262 df-2 12331 df-3 12332 df-4 12333 df-5 12334 df-6 12335 df-7 12336 df-8 12337 df-9 12338 df-n0 12533 df-z 12620 df-dec 12741 df-uz 12892 df-fz 13566 df-fzo 13714 df-seq 14070 df-hash 14399 df-struct 17245 df-sets 17262 df-slot 17280 df-ndx 17292 df-base 17308 df-ress 17329 df-plusg 17361 df-mulr 17362 df-sca 17364 df-vsca 17365 df-ip 17366 df-tset 17367 df-ple 17368 df-ds 17370 df-hom 17372 df-cco 17373 df-0g 17532 df-gsum 17533 df-prds 17538 df-pws 17540 df-mre 17676 df-mrc 17677 df-acs 17679 df-mgm 18736 df-sgrp 18827 df-mnd 18843 df-mhm 18897 df-submnd 18898 df-grp 19066 df-minusg 19067 df-sbg 19068 df-mulg 19197 df-subg 19252 df-ghm 19347 df-cntz 19450 df-cmn 19915 df-abl 19916 df-mgp 20280 df-rng 20294 df-ur 20327 df-ring 20380 df-subrng 20714 df-subrg 20738 df-lmod 21052 df-lss 21122 df-sra 21363 df-rgmod 21364 df-dsmm 21951 df-frlm 21966 df-psr 22130 df-mvr 22131 df-mpl 22132 df-opsr 22134 df-psr1 22411 df-vr1 22412 df-ply1 22413 df-coe1 22414 df-mat 22636 df-decpmat 22994

This theorem is used by: mp2pm2mplem5 23041 mp2pm2mp 23042

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