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Theorem mp2pm2mplem4 22815
Description: Lemma 4 for mp2pm2mp 22817. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mp2pm2mp.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mp2pm2mp.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
mp2pm2mp.l 𝐿 = (Base‘𝑄)
mp2pm2mp.m · = ( ·𝑠𝑃)
mp2pm2mp.e 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
mp2pm2mp.y 𝑌 = (var1𝑅)
mp2pm2mp.i 𝐼 = (𝑝𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
mp2pm2mplem2.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
mp2pm2mplem4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐼𝑂) decompPMat 𝐾) = ((coe1𝑂)‘𝐾))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐿,𝑝   𝑖,𝑁,𝑗,𝑝   𝑖,𝑂,𝑗,𝑝,𝑘   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝑌,𝑝   · ,𝑝   𝑘,𝐿   𝑃,𝑖,𝑗,𝑘   𝑅,𝑘   · ,𝑘   𝑖,𝐸,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝐿,𝑗   𝑘,𝑁   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑌,𝑗   · ,𝑖,𝑗   𝐴,𝑖,𝑗,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝐾   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑄(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝐾(𝑝)

Proof of Theorem mp2pm2mplem4
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑥 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mp2pm2mp.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 mp2pm2mp.q . . 3 𝑄 = (Poly1𝐴)
3 mp2pm2mp.l . . 3 𝐿 = (Base‘𝑄)
4 mp2pm2mp.m . . 3 · = ( ·𝑠𝑃)
5 mp2pm2mp.e . . 3 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
6 mp2pm2mp.y . . 3 𝑌 = (var1𝑅)
7 mp2pm2mp.i . . 3 𝐼 = (𝑝𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
8 mp2pm2mplem2.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mp2pm2mplem3 22814 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐼𝑂) decompPMat 𝐾) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾)))
10 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
11 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (0g𝑃) = (0g𝑃)
128ply1ring 22249 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
13123ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑃 ∈ Ring)
14 ringcmn 20279 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑃 ∈ CMnd)
1615ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) → 𝑃 ∈ CMnd)
17163ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑃 ∈ CMnd)
18 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
1918ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) → 𝑅 ∈ Ring)
20193ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
22 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
23 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
24 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑖𝑁)
25 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑗𝑁)
26 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑂𝐿)
2726ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) → 𝑂𝐿)
28273ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑂𝐿)
29 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (coe1𝑂) = (coe1𝑂)
3029, 3, 2, 23coe1fvalcl 22214 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑂𝐿𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
3128, 30sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
321, 22, 23, 24, 25, 31matecld 22432 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
33 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
34 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
3522, 8, 6, 4, 34, 5, 10ply1tmcl 22275 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃))
3621, 32, 33, 35syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃))
3736ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃))
38 simp1lr 1238 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑠 ∈ ℕ0)
39 oveq 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴) → (𝑖((coe1𝑂)‘𝑥)𝑗) = (𝑖(0g𝐴)𝑗))
4039oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴) → ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑥)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = ((𝑖(0g𝐴)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)))
41 3simpa 1149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
4241ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
43 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0g𝑅) = (0g𝑅)
441, 43mat0op 22425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (0g𝑅)))
4542, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (0g𝐴) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (0g𝑅)))
46 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ (𝑎 = 𝑖𝑏 = 𝑗)) → (0g𝑅) = (0g𝑅))
47 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
48 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
49 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (0g𝑅) ∈ V)
5045, 46, 47, 48, 49ovmpod 7585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(0g𝐴)𝑗) = (0g𝑅))
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑖(0g𝐴)𝑗) = (0g𝑅))
5251oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑖(0g𝐴)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = ((0g𝑅) · (𝑥𝐸𝑌)))
5318ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
548ply1sca 22254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
5655fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
5756oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((0g𝑅) · (𝑥𝐸𝑌)) = ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑥𝐸𝑌)))
588ply1lmod 22253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
59583ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑃 ∈ LMod)
6059ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
61 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
628, 6, 34, 5, 10ply1moncl 22274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
6353, 61, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
64 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
65 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘(Scalar‘𝑃))
6610, 64, 4, 65, 11lmod0vs 20893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑥𝐸𝑌) ∈ (Base‘𝑃)) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0g𝑃))
6760, 63, 66syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0g𝑃))
6852, 57, 673eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑖(0g𝐴)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0g𝑃))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) → ((𝑖(0g𝐴)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0g𝑃))
7040, 69sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑥)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0g𝑃))
7170exp31 419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑥 → (((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴) → ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑥)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0g𝑃))))
7271a2d 29 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → (𝑠 < 𝑥 → ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑥)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0g𝑃))))
7372ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑥)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0g𝑃))))
7473impancom 451 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑥)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0g𝑃))))
75743impib 1117 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑥)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0g𝑃)))
76 breq2 5147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑥 → (𝑠 < 𝑘𝑠 < 𝑥))
77 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑂)‘𝑥))
7877oveqd 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑥 → (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) = (𝑖((coe1𝑂)‘𝑥)𝑗))
79 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑥 → (𝑘𝐸𝑌) = (𝑥𝐸𝑌))
8078, 79oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑥 → ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) = ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑥)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)))
8180eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑥 → (((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) = (0g𝑃) ↔ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑥)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0g𝑃)))
8276, 81imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑥 → ((𝑠 < 𝑘 → ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) = (0g𝑃)) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑥)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0g𝑃))))
8382cbvralvw 3237 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑘 → ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) = (0g𝑃)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑥)𝑗) · (𝑥𝐸𝑌)) = (0g𝑃)))
8475, 83sylibr 234 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑘 → ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) = (0g𝑃)))
8510, 11, 17, 37, 38, 84gsummptnn0fz 20004 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))
8685fveq2d 6910 . . . . . . 7 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
8786fveq1d 6908 . . . . . 6 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾))
88 simpllr 776 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
89883ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
9036expcom 413 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃)))
91 elfznn0 13660 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑠) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9290, 91syl11 33 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃)))
9392ralrimiv 3145 . . . . . . 7 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ∀𝑘 ∈ (0...𝑠)((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) ∈ (Base‘𝑃))
94 fzfid 14014 . . . . . . 7 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (0...𝑠) ∈ Fin)
958, 10, 20, 89, 93, 94coe1fzgsumd 22308 . . . . . 6 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((coe1‘((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))‘𝐾))))
9687, 95eqtrd 2777 . . . . 5 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((coe1‘((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))‘𝐾))))
9796mpoeq3dva 7510 . . . 4 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((coe1‘((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))‘𝐾)))))
98183ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
9998adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → 𝑅 ∈ Ring)
100 simpl2 1193 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → 𝑖𝑁)
101 simpl3 1194 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → 𝑗𝑁)
102263ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑂𝐿)
103102, 91, 30syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → ((coe1𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
1041, 22, 23, 100, 101, 103matecld 22432 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
10591adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10643, 22, 8, 6, 4, 34, 5coe1tm 22276 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1‘((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑙 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))))
10799, 104, 105, 106syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → (coe1‘((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑙 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))))
108 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝐾 → (𝑙 = 𝑘𝐾 = 𝑘))
109108ifbid 4549 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝐾 → if(𝑙 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅)) = if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅)))
110109adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) ∧ 𝑙 = 𝐾) → if(𝑙 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅)) = if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅)))
111 simpl1r 1226 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
112 ovex 7464 . . . . . . . . . . 11 (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ V
113 fvex 6919 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) ∈ V
114112, 113ifex 4576 . . . . . . . . . 10 if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅)) ∈ V
115114a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅)) ∈ V)
116107, 110, 111, 115fvmptd 7023 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → ((coe1‘((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))‘𝐾) = if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅)))
117116mpteq2dva 5242 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((coe1‘((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))‘𝐾)) = (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))))
118117oveq2d 7447 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((coe1‘((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅)))))
119118mpoeq3dva 7510 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((coe1‘((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))‘𝐾)))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))))))
120119ad2antrr 726 . . . 4 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((coe1‘((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))‘𝐾)))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))))))
121 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐾 → (𝑠 < 𝑥𝑠 < 𝐾))
122 fveqeq2 6915 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐾 → (((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴) ↔ ((coe1𝑂)‘𝐾) = (0g𝐴)))
123121, 122imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐾 → ((𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) ↔ (𝑠 < 𝐾 → ((coe1𝑂)‘𝐾) = (0g𝐴))))
124123rspcva 3620 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) → (𝑠 < 𝐾 → ((coe1𝑂)‘𝐾) = (0g𝐴)))
1251, 43mat0op 22425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅)))
126125eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅)) = (0g𝐴))
1271263adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅)) = (0g𝐴))
128127ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe1𝑂)‘𝐾) = (0g𝐴)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅)) = (0g𝐴))
129 elfz2nn0 13658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0𝑘𝑠))
130 nn0re 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
131130ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
132 nn0re 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℝ)
133132ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℝ)
134 nn0re 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
135134adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
136 lelttr 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑠𝑠 < 𝐾) → 𝑘 < 𝐾))
137131, 133, 135, 136syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑘𝑠𝑠 < 𝐾) → 𝑘 < 𝐾))
138 animorr 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝐾) → (𝐾 < 𝑘𝑘 < 𝐾))
139 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝐾𝑘 ↔ ¬ 𝐾 = 𝑘)
140130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
141 lttri2 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐾𝑘 ↔ (𝐾 < 𝑘𝑘 < 𝐾)))
142134, 140, 141syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑘 ↔ (𝐾 < 𝑘𝑘 < 𝐾)))
143142adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝐾) → (𝐾𝑘 ↔ (𝐾 < 𝑘𝑘 < 𝐾)))
144139, 143bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝐾) → (¬ 𝐾 = 𝑘 ↔ (𝐾 < 𝑘𝑘 < 𝐾)))
145138, 144mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝐾) → ¬ 𝐾 = 𝑘)
146145ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑘 < 𝐾 → ¬ 𝐾 = 𝑘))
147137, 146syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑘𝑠𝑠 < 𝐾) → ¬ 𝐾 = 𝑘))
148147exp4b 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑘𝑠 → (𝑠 < 𝐾 → ¬ 𝐾 = 𝑘))))
149148com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝐾 → (𝑘𝑠 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐾 = 𝑘))))
150149expimpd 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐾) → (𝑘𝑠 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐾 = 𝑘))))
151150com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘𝑠 → ((𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐾 = 𝑘))))
152151imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑘𝑠) → ((𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐾 = 𝑘)))
1531523adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0𝑘𝑠) → ((𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐾 = 𝑘)))
154129, 153sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ((𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐾 = 𝑘)))
155154com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐾) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ¬ 𝐾 = 𝑘)))
156155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿)) → ((𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐾) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ¬ 𝐾 = 𝑘)))
157156imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐾)) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ¬ 𝐾 = 𝑘))
158157adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe1𝑂)‘𝐾) = (0g𝐴)) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ¬ 𝐾 = 𝑘))
1591583ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe1𝑂)‘𝐾) = (0g𝐴)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ¬ 𝐾 = 𝑘))
160159imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe1𝑂)‘𝐾) = (0g𝐴)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → ¬ 𝐾 = 𝑘)
161160iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe1𝑂)‘𝐾) = (0g𝐴)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
162161mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe1𝑂)‘𝐾) = (0g𝐴)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))) = (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ (0g𝑅)))
163162oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe1𝑂)‘𝐾) = (0g𝐴)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ (0g𝑅))))
164 ringmnd 20240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
1651643ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑅 ∈ Mnd)
166 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0...𝑠) ∈ V
16743gsumz 18849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (0...𝑠) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
168165, 166, 167sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
169168ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe1𝑂)‘𝐾) = (0g𝐴)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
1701693ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe1𝑂)‘𝐾) = (0g𝐴)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
171163, 170eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe1𝑂)‘𝐾) = (0g𝐴)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅)))) = (0g𝑅))
172171mpoeq3dva 7510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe1𝑂)‘𝐾) = (0g𝐴)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅)))
173 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe1𝑂)‘𝐾) = (0g𝐴)) → ((coe1𝑂)‘𝐾) = (0g𝐴))
174128, 172, 1733eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐾)) ∧ ((coe1𝑂)‘𝐾) = (0g𝐴)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))))) = ((coe1𝑂)‘𝐾))
175174ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿)) ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐾)) → (((coe1𝑂)‘𝐾) = (0g𝐴) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))))) = ((coe1𝑂)‘𝐾)))
176175expr 456 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿)) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝐾 → (((coe1𝑂)‘𝐾) = (0g𝐴) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))))) = ((coe1𝑂)‘𝐾))))
177176a2d 29 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿)) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝐾 → ((coe1𝑂)‘𝐾) = (0g𝐴)) → (𝑠 < 𝐾 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))))) = ((coe1𝑂)‘𝐾))))
178177exp31 419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝑠 ∈ ℕ0 → ((𝑠 < 𝐾 → ((coe1𝑂)‘𝐾) = (0g𝐴)) → (𝑠 < 𝐾 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))))) = ((coe1𝑂)‘𝐾))))))
179178com14 96 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 < 𝐾 → ((coe1𝑂)‘𝐾) = (0g𝐴)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑠 < 𝐾 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))))) = ((coe1𝑂)‘𝐾))))))
180124, 179syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑠 < 𝐾 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))))) = ((coe1𝑂)‘𝐾))))))
181180ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑠 < 𝐾 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))))) = ((coe1𝑂)‘𝐾)))))))
182181com25 99 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝑠 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → (𝑠 < 𝐾 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))))) = ((coe1𝑂)‘𝐾)))))))
183182pm2.43i 52 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝑠 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → (𝑠 < 𝐾 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))))) = ((coe1𝑂)‘𝐾))))))
184183impcom 407 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑠 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → (𝑠 < 𝐾 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))))) = ((coe1𝑂)‘𝐾)))))
185184imp31 417 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) → (𝑠 < 𝐾 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))))) = ((coe1𝑂)‘𝐾)))
186185com12 32 . . . . 5 (𝑠 < 𝐾 → (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))))) = ((coe1𝑂)‘𝐾)))
187165ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) → 𝑅 ∈ Mnd)
188187adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)))) → 𝑅 ∈ Mnd)
1891883ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 (((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Mnd)
190 ovexd 7466 . . . . . . . . 9 (((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (0...𝑠) ∈ V)
191 lenlt 11339 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐾𝑠 ↔ ¬ 𝑠 < 𝐾))
192134, 132, 191syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑠 ↔ ¬ 𝑠 < 𝐾))
193 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑠) → 𝐾 ∈ ℕ0)
194 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑠) → 𝑠 ∈ ℕ0)
195 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑠) → 𝐾𝑠)
196 elfz2nn0 13658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (0...𝑠) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0𝐾𝑠))
197193, 194, 195, 196syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑠) → 𝐾 ∈ (0...𝑠))
198197ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑠𝐾 ∈ (0...𝑠)))
199192, 198sylbird 260 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑠 < 𝐾𝐾 ∈ (0...𝑠)))
200199ad4ant23 753 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) → (¬ 𝑠 < 𝐾𝐾 ∈ (0...𝑠)))
201200impcom 407 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)))) → 𝐾 ∈ (0...𝑠))
2022013ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 (((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑠))
203 eqcom 2744 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = 𝑘𝑘 = 𝐾)
204 ifbi 4548 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 = 𝑘𝑘 = 𝐾) → if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅)) = if(𝑘 = 𝐾, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅)))
205203, 204ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅)) = if(𝑘 = 𝐾, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))
206205mpteq2i 5247 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))) = (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝑘 = 𝐾, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅)))
207 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . 12 ((((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑖𝑁)
208 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . 12 ((((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑗𝑁)
20927adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)))) → 𝑂𝐿)
2102093ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑂𝐿)
211210, 30sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
2121, 22, 23, 207, 208, 211matecld 22432 . . . . . . . . . . 11 ((((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
21391, 212sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
214213ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 (((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ∀𝑘 ∈ (0...𝑠)(𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
21543, 189, 190, 202, 206, 214gsummpt1n0 19983 . . . . . . . 8 (((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)))) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅)))) = 𝐾 / 𝑘(𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗))
216215mpoeq3dva 7510 . . . . . . 7 ((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)))) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐾 / 𝑘(𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗)))
217 csbov 7476 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 / 𝑘(𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) = (𝑖𝐾 / 𝑘((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗)
218 csbfv 6956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐾 / 𝑘((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑂)‘𝐾)
219218a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 / 𝑘((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑂)‘𝐾))
220219oveqd 7448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑖𝐾 / 𝑘((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) = (𝑖((coe1𝑂)‘𝐾)𝑗))
221217, 220eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 / 𝑘(𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) = (𝑖((coe1𝑂)‘𝐾)𝑗))
222221ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝐾 / 𝑘(𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) = (𝑖((coe1𝑂)‘𝐾)𝑗))
223222mpoeq3dv 7512 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐾 / 𝑘(𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑖((coe1𝑂)‘𝐾)𝑗)))
224 oveq12 7440 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 = 𝑎𝑗 = 𝑏) → (𝑖((coe1𝑂)‘𝐾)𝑗) = (𝑎((coe1𝑂)‘𝐾)𝑏))
225224adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ (𝑖 = 𝑎𝑗 = 𝑏)) → (𝑖((coe1𝑂)‘𝐾)𝑗) = (𝑎((coe1𝑂)‘𝐾)𝑏))
226 simprl 771 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑎𝑁)
227 simprr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑏𝑁)
228 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎((coe1𝑂)‘𝐾)𝑏) ∈ V)
229223, 225, 226, 227, 228ovmpod 7585 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐾 / 𝑘(𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗))𝑏) = (𝑎((coe1𝑂)‘𝐾)𝑏))
230229ralrimivva 3202 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐾 / 𝑘(𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗))𝑏) = (𝑎((coe1𝑂)‘𝐾)𝑏))
231 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Fin)
232218oveqi 7444 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖𝐾 / 𝑘((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) = (𝑖((coe1𝑂)‘𝐾)𝑗)
233217, 232eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 / 𝑘(𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) = (𝑖((coe1𝑂)‘𝐾)𝑗)
234 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
235 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
23629, 3, 2, 23coe1fvalcl 22214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑂𝐿𝐾 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂)‘𝐾) ∈ (Base‘𝐴))
2372363ad2antl3 1188 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂)‘𝐾) ∈ (Base‘𝐴))
2382373ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1𝑂)‘𝐾) ∈ (Base‘𝐴))
2391, 22, 23, 234, 235, 238matecld 22432 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖((coe1𝑂)‘𝐾)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
240233, 239eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐾 / 𝑘(𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
2411, 22, 23, 231, 18, 240matbas2d 22429 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐾 / 𝑘(𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗)) ∈ (Base‘𝐴))
2421, 23eqmat 22430 . . . . . . . . . . 11 (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐾 / 𝑘(𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗)) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ((coe1𝑂)‘𝐾) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐾 / 𝑘(𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗)) = ((coe1𝑂)‘𝐾) ↔ ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐾 / 𝑘(𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗))𝑏) = (𝑎((coe1𝑂)‘𝐾)𝑏)))
243241, 237, 242syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐾 / 𝑘(𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗)) = ((coe1𝑂)‘𝐾) ↔ ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 (𝑎(𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐾 / 𝑘(𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗))𝑏) = (𝑎((coe1𝑂)‘𝐾)𝑏)))
244230, 243mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐾 / 𝑘(𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗)) = ((coe1𝑂)‘𝐾))
245244ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐾 / 𝑘(𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗)) = ((coe1𝑂)‘𝐾))
246245adantl 481 . . . . . . 7 ((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)))) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐾 / 𝑘(𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗)) = ((coe1𝑂)‘𝐾))
247216, 246eqtrd 2777 . . . . . 6 ((¬ 𝑠 < 𝐾 ∧ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)))) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))))) = ((coe1𝑂)‘𝐾))
248247ex 412 . . . . 5 𝑠 < 𝐾 → (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))))) = ((coe1𝑂)‘𝐾)))
249186, 248pm2.61i 182 . . . 4 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐾 = 𝑘, (𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗), (0g𝑅))))) = ((coe1𝑂)‘𝐾))
25097, 120, 2493eqtrd 2781 . . 3 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾)) = ((coe1𝑂)‘𝐾))
251 eqid 2737 . . . . . 6 (0g𝐴) = (0g𝐴)
25229, 3, 2, 251coe1sfi 22215 . . . . 5 (𝑂𝐿 → (coe1𝑂) finSupp (0g𝐴))
25326, 252syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (coe1𝑂) finSupp (0g𝐴))
25429, 3, 2, 251, 23coe1fsupp 22216 . . . . . 6 (𝑂𝐿 → (coe1𝑂) ∈ {𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ↑m0) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝐴)})
255 elrabi 3687 . . . . . 6 ((coe1𝑂) ∈ {𝑥 ∈ ((Base‘𝐴) ↑m0) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝐴)} → (coe1𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m0))
25626, 254, 2553syl 18 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (coe1𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m0))
257 fvex 6919 . . . . 5 (0g𝐴) ∈ V
258 fsuppmapnn0ub 14036 . . . . 5 (((coe1𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m0) ∧ (0g𝐴) ∈ V) → ((coe1𝑂) finSupp (0g𝐴) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))))
259256, 257, 258sylancl 586 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂) finSupp (0g𝐴) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))))
260253, 259mpd 15 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)))
261250, 260r19.29a 3162 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾)) = ((coe1𝑂)‘𝐾))
2629, 261eqtrd 2777 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐼𝑂) decompPMat 𝐾) = ((coe1𝑂)‘𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  csb 3899  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8866  Fincfn 8985   finSupp cfsupp 9401  cr 11154  0cc0 11155   < clt 11295  cle 11296  0cn0 12526  ...cfz 13547  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  Mndcmnd 18747  .gcmg 19085  CMndccmn 19798  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  LModclmod 20858  var1cv1 22177  Poly1cpl1 22178  coe1cco1 22179   Mat cmat 22411   decompPMat cdecpmat 22768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-mat 22412  df-decpmat 22769
This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem5  22816  mp2pm2mp  22817
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