MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptcoe1matfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptcoe1matfsupp 22809
Description: The mapping extracting the entries of the coefficient matrices of a polynomial over matrices at a fixed position is finitely supported. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 23-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptcoe1matfsupp.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mptcoe1matfsupp.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
mptcoe1matfsupp.l 𝐿 = (Base‘𝑄)
Assertion
Ref Expression
mptcoe1matfsupp (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽)) finSupp (0g𝑅))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐿   𝑘,𝐼   𝑘,𝐽   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑅,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑄(𝑘)

Proof of Theorem mptcoe1matfsupp
Dummy variables 𝑐 𝑠 𝑥 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6920 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (0g𝑅) ∈ V)
2 mptcoe1matfsupp.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 eqid 2736 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 eqid 2736 . . 3 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
5 simp2 1137 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → 𝐼𝑁)
65adantr 480 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐼𝑁)
7 simp3 1138 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → 𝐽𝑁)
87adantr 480 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐽𝑁)
9 simp3 1138 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑂𝐿)
1093ad2ant1 1133 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → 𝑂𝐿)
11 eqid 2736 . . . . 5 (coe1𝑂) = (coe1𝑂)
12 mptcoe1matfsupp.l . . . . 5 𝐿 = (Base‘𝑄)
13 mptcoe1matfsupp.q . . . . 5 𝑄 = (Poly1𝐴)
1411, 12, 13, 4coe1fvalcl 22215 . . . 4 ((𝑂𝐿𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
1510, 14sylan 580 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
162, 3, 4, 6, 8, 15matecld 22433 . 2 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
17 eqid 2736 . . . . . . 7 (0g𝐴) = (0g𝐴)
1811, 12, 13, 17, 4coe1fsupp 22217 . . . . . 6 (𝑂𝐿 → (coe1𝑂) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝐴) ↑m0) ∣ 𝑐 finSupp (0g𝐴)})
19 elrabi 3686 . . . . . 6 ((coe1𝑂) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝐴) ↑m0) ∣ 𝑐 finSupp (0g𝐴)} → (coe1𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m0))
2010, 18, 193syl 18 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (coe1𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m0))
21 fvex 6918 . . . . 5 (0g𝐴) ∈ V
2220, 21jctir 520 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → ((coe1𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m0) ∧ (0g𝐴) ∈ V))
2311, 12, 13, 17coe1sfi 22216 . . . . 5 (𝑂𝐿 → (coe1𝑂) finSupp (0g𝐴))
2410, 23syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (coe1𝑂) finSupp (0g𝐴))
25 fsuppmapnn0ub 14037 . . . 4 (((coe1𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m0) ∧ (0g𝐴) ∈ V) → ((coe1𝑂) finSupp (0g𝐴) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))))
2622, 24, 25sylc 65 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)))
27 csbov 7477 . . . . . . . . . 10 𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼𝑥 / 𝑘((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽)
28 csbfv 6955 . . . . . . . . . . 11 𝑥 / 𝑘((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑂)‘𝑥)
2928oveqi 7445 . . . . . . . . . 10 (𝐼𝑥 / 𝑘((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1𝑂)‘𝑥)𝐽)
3027, 29eqtri 2764 . . . . . . . . 9 𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1𝑂)‘𝑥)𝐽)
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → 𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1𝑂)‘𝑥)𝐽))
32 oveq 7438 . . . . . . . . 9 (((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴) → (𝐼((coe1𝑂)‘𝑥)𝐽) = (𝐼(0g𝐴)𝐽))
3332adantl 481 . . . . . . . 8 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → (𝐼((coe1𝑂)‘𝑥)𝐽) = (𝐼(0g𝐴)𝐽))
34 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑅) = (0g𝑅)
352, 34mat0op 22426 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅)))
36353adant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (0g𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅)))
37363ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (0g𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅)))
38 eqidd 2737 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → (0g𝑅) = (0g𝑅))
3937, 38, 5, 7, 1ovmpod 7586 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (𝐼(0g𝐴)𝐽) = (0g𝑅))
4039ad4antr 732 . . . . . . . 8 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → (𝐼(0g𝐴)𝐽) = (0g𝑅))
4131, 33, 403eqtrd 2780 . . . . . . 7 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → 𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g𝑅))
4241exp31 419 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑥 → (((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴) → 𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g𝑅))))
4342a2d 29 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g𝑅))))
4443ralimdva 3166 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g𝑅))))
4544reximdva 3167 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g𝑅))))
4626, 45mpd 15 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g𝑅)))
471, 16, 46mptnn0fsupp 14039 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽)) finSupp (0g𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  wrex 3069  {crab 3435  Vcvv 3479  csb 3898   class class class wbr 5142  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  cmpo 7434  m cmap 8867  Fincfn 8986   finSupp cfsupp 9402   < clt 11296  0cn0 12528  Basecbs 17248  0gc0g 17485  Ringcrg 20231  Poly1cpl1 22179  coe1cco1 22180   Mat cmat 22412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-dsmm 21753  df-frlm 21768  df-psr 21930  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-psr1 22182  df-ply1 22184  df-coe1 22185  df-mat 22413
This theorem is referenced by:  mply1topmatcllem  22810
  Copyright terms: Public domain W3C validator