Theorem mptcoe1matfsupp 22525

Description: The mapping extracting the entries of the coefficient matrices of a polynomial over matrices at a fixed position is finitely supported. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 23-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptcoe1matfsupp.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mptcoe1matfsupp.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
mptcoe1matfsupp.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
mptcoe1matfsupp	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽)) finSupp (0g‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐿   𝑘,𝐼   𝑘,𝐽   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑅,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑄(𝑘)

Proof of Theorem mptcoe1matfsupp

Dummy variables 𝑐 𝑠 𝑥 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6906	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ V)
2		mptcoe1matfsupp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
5		simp2 1136	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ 𝑁)
7		simp3 1137	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝐽 ∈ 𝑁)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐽 ∈ 𝑁)
9		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑂 ∈ 𝐿)
10	9	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝑂 ∈ 𝐿)
11		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝑂) = (coe1‘𝑂)
12		mptcoe1matfsupp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
13		mptcoe1matfsupp.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
14	11, 12, 13, 4	coe1fvalcl 21956	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐿 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
15	10, 14	sylan 579	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
16	2, 3, 4, 6, 8, 15	matecld 22149	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
17		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
18	11, 12, 13, 17, 4	coe1fsupp 21958	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ 𝐿 → (coe1‘𝑂) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0) ∣ 𝑐 finSupp (0g‘𝐴)})
19		elrabi 3677	. . . . . 6 ⊢ ((coe1‘𝑂) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0) ∣ 𝑐 finSupp (0g‘𝐴)} → (coe1‘𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0))
20	10, 18, 19	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (coe1‘𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0))
21		fvex 6904	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐴) ∈ V
22	20, 21	jctir 520	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ((coe1‘𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0) ∧ (0g‘𝐴) ∈ V))
23	11, 12, 13, 17	coe1sfi 21957	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ 𝐿 → (coe1‘𝑂) finSupp (0g‘𝐴))
24	10, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (coe1‘𝑂) finSupp (0g‘𝐴))
25		fsuppmapnn0ub 13965	. . . 4 ⊢ (((coe1‘𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0) ∧ (0g‘𝐴) ∈ V) → ((coe1‘𝑂) finSupp (0g‘𝐴) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴))))
26	22, 24, 25	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)))
27		csbov 7455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽)
28		csbfv 6941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑂)‘𝑥)
29	28	oveqi 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽)
30	27, 29	eqtri 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽)
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽))
32		oveq 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴) → (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽) = (𝐼(0g‘𝐴)𝐽))
33	32	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽) = (𝐼(0g‘𝐴)𝐽))
34		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
35	2, 34	mat0op 22142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
36	35	3adant3 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (0g‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
37	36	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (0g‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
38		eqidd 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
39	37, 38, 5, 7, 1	ovmpod 7563	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼(0g‘𝐴)𝐽) = (0g‘𝑅))
40	39	ad4antr 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → (𝐼(0g‘𝐴)𝐽) = (0g‘𝑅))
41	31, 33, 40	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))
42	41	exp31 419	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑥 → (((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))))
43	42	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))))
44	43	ralimdva 3166	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))))
45	44	reximdva 3167	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))))
46	26, 45	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅)))
47	1, 16, 46	mptnn0fsupp 13967	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽)) finSupp (0g‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473  ⦋csb 3893   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ↑_m cmap 8824  Fincfn 8943   finSupp cfsupp 9365   < clt 11253  ℕ₀cn0 12477  Basecbs 17149  0_gc0g 17390  Ringcrg 20128  Poly₁cpl1 21921  coe₁cco1 21922   Mat cmat 22128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-dsmm 21507  df-frlm 21522  df-psr 21682  df-mpl 21684  df-opsr 21686  df-psr1 21924  df-ply1 21926  df-coe1 21927  df-mat 22129

This theorem is referenced by:  mply1topmatcllem  22526