Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptcoe1matfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptcoe1matfsupp 21410
 Description: The mapping extracting the entries of the coefficient matrices of a polynomial over matrices at a fixed position is finitely supported. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 23-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptcoe1matfsupp.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mptcoe1matfsupp.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
mptcoe1matfsupp.l 𝐿 = (Base‘𝑄)
Assertion
Ref Expression
mptcoe1matfsupp (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽)) finSupp (0g𝑅))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐿   𝑘,𝐼   𝑘,𝐽   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑅,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑄(𝑘)

Proof of Theorem mptcoe1matfsupp
Dummy variables 𝑐 𝑠 𝑥 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6664 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (0g𝑅) ∈ V)
2 mptcoe1matfsupp.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 eqid 2801 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 eqid 2801 . . 3 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
5 simp2 1134 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → 𝐼𝑁)
65adantr 484 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐼𝑁)
7 simp3 1135 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → 𝐽𝑁)
87adantr 484 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐽𝑁)
9 simp3 1135 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑂𝐿)
1093ad2ant1 1130 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → 𝑂𝐿)
11 eqid 2801 . . . . 5 (coe1𝑂) = (coe1𝑂)
12 mptcoe1matfsupp.l . . . . 5 𝐿 = (Base‘𝑄)
13 mptcoe1matfsupp.q . . . . 5 𝑄 = (Poly1𝐴)
1411, 12, 13, 4coe1fvalcl 20844 . . . 4 ((𝑂𝐿𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
1510, 14sylan 583 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
162, 3, 4, 6, 8, 15matecld 21034 . 2 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
17 eqid 2801 . . . . . . 7 (0g𝐴) = (0g𝐴)
1811, 12, 13, 17, 4coe1fsupp 20846 . . . . . 6 (𝑂𝐿 → (coe1𝑂) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝐴) ↑m0) ∣ 𝑐 finSupp (0g𝐴)})
19 elrabi 3626 . . . . . 6 ((coe1𝑂) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝐴) ↑m0) ∣ 𝑐 finSupp (0g𝐴)} → (coe1𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m0))
2010, 18, 193syl 18 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (coe1𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m0))
21 fvex 6662 . . . . 5 (0g𝐴) ∈ V
2220, 21jctir 524 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → ((coe1𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m0) ∧ (0g𝐴) ∈ V))
2311, 12, 13, 17coe1sfi 20845 . . . . 5 (𝑂𝐿 → (coe1𝑂) finSupp (0g𝐴))
2410, 23syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (coe1𝑂) finSupp (0g𝐴))
25 fsuppmapnn0ub 13362 . . . 4 (((coe1𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m0) ∧ (0g𝐴) ∈ V) → ((coe1𝑂) finSupp (0g𝐴) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴))))
2622, 24, 25sylc 65 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)))
27 csbov 7182 . . . . . . . . . 10 𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼𝑥 / 𝑘((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽)
28 csbfv 6694 . . . . . . . . . . 11 𝑥 / 𝑘((coe1𝑂)‘𝑘) = ((coe1𝑂)‘𝑥)
2928oveqi 7152 . . . . . . . . . 10 (𝐼𝑥 / 𝑘((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1𝑂)‘𝑥)𝐽)
3027, 29eqtri 2824 . . . . . . . . 9 𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1𝑂)‘𝑥)𝐽)
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → 𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1𝑂)‘𝑥)𝐽))
32 oveq 7145 . . . . . . . . 9 (((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴) → (𝐼((coe1𝑂)‘𝑥)𝐽) = (𝐼(0g𝐴)𝐽))
3332adantl 485 . . . . . . . 8 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → (𝐼((coe1𝑂)‘𝑥)𝐽) = (𝐼(0g𝐴)𝐽))
34 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑅) = (0g𝑅)
352, 34mat0op 21027 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅)))
36353adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (0g𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅)))
37363ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (0g𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (0g𝑅)))
38 eqidd 2802 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → (0g𝑅) = (0g𝑅))
3937, 38, 5, 7, 1ovmpod 7285 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (𝐼(0g𝐴)𝐽) = (0g𝑅))
4039ad4antr 731 . . . . . . . 8 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → (𝐼(0g𝐴)𝐽) = (0g𝑅))
4131, 33, 403eqtrd 2840 . . . . . . 7 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → 𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g𝑅))
4241exp31 423 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑥 → (((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴) → 𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g𝑅))))
4342a2d 29 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g𝑅))))
4443ralimdva 3147 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g𝑅))))
4544reximdva 3236 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1𝑂)‘𝑥) = (0g𝐴)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g𝑅))))
4626, 45mpd 15 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘(𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g𝑅)))
471, 16, 46mptnn0fsupp 13364 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝐼𝑁𝐽𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼((coe1𝑂)‘𝑘)𝐽)) finSupp (0g𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  {crab 3113  Vcvv 3444  ⦋csb 3831   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∈ cmpo 7141   ↑m cmap 8393  Fincfn 8496   finSupp cfsupp 8821   < clt 10668  ℕ0cn0 11889  Basecbs 16478  0gc0g 16708  Ringcrg 19293  Poly1cpl1 20809  coe1cco1 20810   Mat cmat 21015 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-dsmm 20424  df-frlm 20439  df-psr 20597  df-mpl 20599  df-opsr 20601  df-psr1 20812  df-ply1 20814  df-coe1 20815  df-mat 21016 This theorem is referenced by:  mply1topmatcllem  21411
 Copyright terms: Public domain W3C validator