Theorem mptcoe1matfsupp 22829

Description: The mapping extracting the entries of the coefficient matrices of a polynomial over matrices at a fixed position is finitely supported. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 23-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptcoe1matfsupp.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mptcoe1matfsupp.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
mptcoe1matfsupp.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
mptcoe1matfsupp	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽)) finSupp (0g‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐿   𝑘,𝐼   𝑘,𝐽   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑅,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑄(𝑘)

Proof of Theorem mptcoe1matfsupp

Dummy variables 𝑐 𝑠 𝑥 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6935	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ V)
2		mptcoe1matfsupp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
5		simp2 1137	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ 𝑁)
7		simp3 1138	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝐽 ∈ 𝑁)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐽 ∈ 𝑁)
9		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑂 ∈ 𝐿)
10	9	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝑂 ∈ 𝐿)
11		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝑂) = (coe1‘𝑂)
12		mptcoe1matfsupp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
13		mptcoe1matfsupp.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
14	11, 12, 13, 4	coe1fvalcl 22235	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐿 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
15	10, 14	sylan 579	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
16	2, 3, 4, 6, 8, 15	matecld 22453	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
17		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
18	11, 12, 13, 17, 4	coe1fsupp 22237	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ 𝐿 → (coe1‘𝑂) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0) ∣ 𝑐 finSupp (0g‘𝐴)})
19		elrabi 3703	. . . . . 6 ⊢ ((coe1‘𝑂) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0) ∣ 𝑐 finSupp (0g‘𝐴)} → (coe1‘𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0))
20	10, 18, 19	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (coe1‘𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0))
21		fvex 6933	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐴) ∈ V
22	20, 21	jctir 520	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ((coe1‘𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0) ∧ (0g‘𝐴) ∈ V))
23	11, 12, 13, 17	coe1sfi 22236	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ 𝐿 → (coe1‘𝑂) finSupp (0g‘𝐴))
24	10, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (coe1‘𝑂) finSupp (0g‘𝐴))
25		fsuppmapnn0ub 14046	. . . 4 ⊢ (((coe1‘𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0) ∧ (0g‘𝐴) ∈ V) → ((coe1‘𝑂) finSupp (0g‘𝐴) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴))))
26	22, 24, 25	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)))
27		csbov 7493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽)
28		csbfv 6970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑂)‘𝑥)
29	28	oveqi 7461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽)
30	27, 29	eqtri 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽)
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽))
32		oveq 7454	. . . . . . . . 9 ⊢ (((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴) → (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽) = (𝐼(0g‘𝐴)𝐽))
33	32	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽) = (𝐼(0g‘𝐴)𝐽))
34		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
35	2, 34	mat0op 22446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
36	35	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (0g‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
37	36	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (0g‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
38		eqidd 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
39	37, 38, 5, 7, 1	ovmpod 7602	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼(0g‘𝐴)𝐽) = (0g‘𝑅))
40	39	ad4antr 731	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → (𝐼(0g‘𝐴)𝐽) = (0g‘𝑅))
41	31, 33, 40	3eqtrd 2784	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))
42	41	exp31 419	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑥 → (((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))))
43	42	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))))
44	43	ralimdva 3173	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))))
45	44	reximdva 3174	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))))
46	26, 45	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅)))
47	1, 16, 46	mptnn0fsupp 14048	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽)) finSupp (0g‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443  Vcvv 3488  ⦋csb 3921   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003   finSupp cfsupp 9431   < clt 11324  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258  0_gc0g 17499  Ringcrg 20260  Poly₁cpl1 22199  coe₁cco1 22200   Mat cmat 22432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-dsmm 21775  df-frlm 21790  df-psr 21952  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-ply1 22204  df-coe1 22205  df-mat 22433

This theorem is referenced by:  mply1topmatcllem  22830