Theorem mptcoe1matfsupp 23150

Description: The mapping extracting the entries of the coefficient matrices of a polynomial over matrices at a fixed position is finitely supported. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 23-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptcoe1matfsupp.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mptcoe1matfsupp.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
mptcoe1matfsupp.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
mptcoe1matfsupp	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽)) finSupp (0g‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐿   𝑘,𝐼   𝑘,𝐽   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑅,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑄(𝑘)

Proof of Theorem mptcoe1matfsupp

Dummy variables 𝑐 𝑠 𝑥 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6923	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ V)
2		mptcoe1matfsupp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
5		simp2 1155	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ 𝑁)
7		simp3 1156	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝐽 ∈ 𝑁)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐽 ∈ 𝑁)
9		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑂 ∈ 𝐿)
10	9	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝑂 ∈ 𝐿)
11		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝑂) = (coe1‘𝑂)
12		mptcoe1matfsupp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
13		mptcoe1matfsupp.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
14	11, 12, 13, 4	coe1fvalcl 22560	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐿 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
15	10, 14	sylan 592	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
16	2, 3, 4, 6, 8, 15	matecld 22771	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
17		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
18	11, 12, 13, 17, 4	coe1fsupp 22562	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ 𝐿 → (coe1‘𝑂) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0) ∣ 𝑐 finSupp (0g‘𝐴)})
19		elrabi 3644	. . . . . 6 ⊢ ((coe1‘𝑂) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0) ∣ 𝑐 finSupp (0g‘𝐴)} → (coe1‘𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0))
20	10, 18, 19	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (coe1‘𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0))
21		fvex 6921	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐴) ∈ V
22	20, 21	jctir 530	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ((coe1‘𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0) ∧ (0g‘𝐴) ∈ V))
23	11, 12, 13, 17	coe1sfi 22561	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ 𝐿 → (coe1‘𝑂) finSupp (0g‘𝐴))
24	10, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (coe1‘𝑂) finSupp (0g‘𝐴))
25		fsuppmapnn0ub 14165	. . . 4 ⊢ (((coe1‘𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0) ∧ (0g‘𝐴) ∈ V) → ((coe1‘𝑂) finSupp (0g‘𝐴) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴))))
26	22, 24, 25	sylc 66	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)))
27		csbov 7488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽)
28		csbfv 6955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑂)‘𝑥)
29	28	oveqi 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽)
30	27, 29	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽)
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽))
32		oveq 7449	. . . . . . . . 9 ⊢ (((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴) → (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽) = (𝐼(0g‘𝐴)𝐽))
33	32	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽) = (𝐼(0g‘𝐴)𝐽))
34		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
35	2, 34	mat0op 22764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
36	35	3adant3 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (0g‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
37	36	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (0g‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
38		eqidd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
39	37, 38, 5, 7, 1	ovmpod 7596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼(0g‘𝐴)𝐽) = (0g‘𝑅))
40	39	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → (𝐼(0g‘𝐴)𝐽) = (0g‘𝑅))
41	31, 33, 40	3eqtrd 2802	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))
42	41	exp31 425	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑥 → (((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))))
43	42	a2d 30	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))))
44	43	ralimdva 3178	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))))
45	44	reximdva 3179	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))))
46	26, 45	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅)))
47	1, 16, 46	mptnn0fsupp 14167	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽)) finSupp (0g‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  {crab 3416  Vcvv 3454  ⦋csb 3851   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ∈ cmpo 7445   ↑_m cmap 8875  Fincfn 9001   finSupp cfsupp 9381   < clt 11370  ℕ₀cn0 12633  Basecbs 17416  0_gc0g 17639  Ringcrg 20489  Poly₁cpl1 22525  coe₁cco1 22526   Mat cmat 22752

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-sup 9461  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-hom 17481  df-cco 17482  df-0g 17641  df-prds 17647  df-pws 17649  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-subrg 20852  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-dsmm 22068  df-frlm 22083  df-psr 22247  df-mpl 22249  df-opsr 22251  df-psr1 22528  df-ply1 22530  df-coe1 22531  df-mat 22753

This theorem is used by:  mply1topmatcllem  23151