Theorem mptcoe1matfsupp 21951

Description: The mapping extracting the entries of the coefficient matrices of a polynomial over matrices at a fixed position is finitely supported. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 23-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptcoe1matfsupp.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mptcoe1matfsupp.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
mptcoe1matfsupp.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
mptcoe1matfsupp	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽)) finSupp (0g‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐿   𝑘,𝐼   𝑘,𝐽   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑅,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑄(𝑘)

Proof of Theorem mptcoe1matfsupp

Dummy variables 𝑐 𝑠 𝑥 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6789	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ V)
2		mptcoe1matfsupp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
5		simp2 1136	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
6	5	adantr 481	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ 𝑁)
7		simp3 1137	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝐽 ∈ 𝑁)
8	7	adantr 481	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐽 ∈ 𝑁)
9		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑂 ∈ 𝐿)
10	9	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝑂 ∈ 𝐿)
11		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝑂) = (coe1‘𝑂)
12		mptcoe1matfsupp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
13		mptcoe1matfsupp.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
14	11, 12, 13, 4	coe1fvalcl 21383	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐿 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
15	10, 14	sylan 580	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
16	2, 3, 4, 6, 8, 15	matecld 21575	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
17		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
18	11, 12, 13, 17, 4	coe1fsupp 21385	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ 𝐿 → (coe1‘𝑂) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0) ∣ 𝑐 finSupp (0g‘𝐴)})
19		elrabi 3618	. . . . . 6 ⊢ ((coe1‘𝑂) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0) ∣ 𝑐 finSupp (0g‘𝐴)} → (coe1‘𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0))
20	10, 18, 19	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (coe1‘𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0))
21		fvex 6787	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐴) ∈ V
22	20, 21	jctir 521	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ((coe1‘𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0) ∧ (0g‘𝐴) ∈ V))
23	11, 12, 13, 17	coe1sfi 21384	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ 𝐿 → (coe1‘𝑂) finSupp (0g‘𝐴))
24	10, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (coe1‘𝑂) finSupp (0g‘𝐴))
25		fsuppmapnn0ub 13715	. . . 4 ⊢ (((coe1‘𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0) ∧ (0g‘𝐴) ∈ V) → ((coe1‘𝑂) finSupp (0g‘𝐴) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴))))
26	22, 24, 25	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)))
27		csbov 7318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽)
28		csbfv 6819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑂)‘𝑥)
29	28	oveqi 7288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽)
30	27, 29	eqtri 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽)
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽))
32		oveq 7281	. . . . . . . . 9 ⊢ (((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴) → (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽) = (𝐼(0g‘𝐴)𝐽))
33	32	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽) = (𝐼(0g‘𝐴)𝐽))
34		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
35	2, 34	mat0op 21568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
36	35	3adant3 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (0g‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
37	36	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (0g‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
38		eqidd 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
39	37, 38, 5, 7, 1	ovmpod 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼(0g‘𝐴)𝐽) = (0g‘𝑅))
40	39	ad4antr 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → (𝐼(0g‘𝐴)𝐽) = (0g‘𝑅))
41	31, 33, 40	3eqtrd 2782	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))
42	41	exp31 420	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑥 → (((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))))
43	42	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))))
44	43	ralimdva 3108	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))))
45	44	reximdva 3203	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))))
46	26, 45	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅)))
47	1, 16, 46	mptnn0fsupp 13717	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽)) finSupp (0g‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068  Vcvv 3432  ⦋csb 3832   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733   finSupp cfsupp 9128   < clt 11009  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912  0_gc0g 17150  Ringcrg 19783  Poly₁cpl1 21348  coe₁cco1 21349   Mat cmat 21554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-psr 21112  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-psr1 21351  df-ply1 21353  df-coe1 21354  df-mat 21555

This theorem is referenced by:  mply1topmatcllem  21952