Theorem mptcoe1matfsupp 21412

Description: The mapping extracting the entries of the coefficient matrices of a polynomial over matrices at a fixed position is finitely supported. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 23-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptcoe1matfsupp.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mptcoe1matfsupp.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
mptcoe1matfsupp.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)

Assertion

Ref	Expression
mptcoe1matfsupp	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽)) finSupp (0g‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐿   𝑘,𝐼   𝑘,𝐽   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑅,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑄(𝑘)

Proof of Theorem mptcoe1matfsupp

Dummy variables 𝑐 𝑠 𝑥 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6687	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ V)
2		mptcoe1matfsupp.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		eqid 2823	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2823	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
5		simp2 1133	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
6	5	adantr 483	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ 𝑁)
7		simp3 1134	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝐽 ∈ 𝑁)
8	7	adantr 483	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐽 ∈ 𝑁)
9		simp3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → 𝑂 ∈ 𝐿)
10	9	3ad2ant1 1129	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → 𝑂 ∈ 𝐿)
11		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝑂) = (coe1‘𝑂)
12		mptcoe1matfsupp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
13		mptcoe1matfsupp.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
14	11, 12, 13, 4	coe1fvalcl 20382	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝐿 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
15	10, 14	sylan 582	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑂)‘𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
16	2, 3, 4, 6, 8, 15	matecld 21037	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
17		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
18	11, 12, 13, 17, 4	coe1fsupp 20384	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ 𝐿 → (coe1‘𝑂) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0) ∣ 𝑐 finSupp (0g‘𝐴)})
19		elrabi 3677	. . . . . 6 ⊢ ((coe1‘𝑂) ∈ {𝑐 ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0) ∣ 𝑐 finSupp (0g‘𝐴)} → (coe1‘𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0))
20	10, 18, 19	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (coe1‘𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0))
21		fvex 6685	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐴) ∈ V
22	20, 21	jctir 523	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ((coe1‘𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0) ∧ (0g‘𝐴) ∈ V))
23	11, 12, 13, 17	coe1sfi 20383	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ 𝐿 → (coe1‘𝑂) finSupp (0g‘𝐴))
24	10, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (coe1‘𝑂) finSupp (0g‘𝐴))
25		fsuppmapnn0ub 13366	. . . 4 ⊢ (((coe1‘𝑂) ∈ ((Base‘𝐴) ↑m ℕ0) ∧ (0g‘𝐴) ∈ V) → ((coe1‘𝑂) finSupp (0g‘𝐴) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴))))
26	22, 24, 25	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)))
27		csbov 7201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽)
28		csbfv 6717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑂)‘𝑘) = ((coe1‘𝑂)‘𝑥)
29	28	oveqi 7171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼⦋𝑥 / 𝑘⦌((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽)
30	27, 29	eqtri 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽)
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽))
32		oveq 7164	. . . . . . . . 9 ⊢ (((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴) → (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽) = (𝐼(0g‘𝐴)𝐽))
33	32	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑥)𝐽) = (𝐼(0g‘𝐴)𝐽))
34		eqid 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
35	2, 34	mat0op 21030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
36	35	3adant3 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (0g‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
37	36	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (0g‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
38		eqidd 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
39	37, 38, 5, 7, 1	ovmpod 7304	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝐼(0g‘𝐴)𝐽) = (0g‘𝑅))
40	39	ad4antr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → (𝐼(0g‘𝐴)𝐽) = (0g‘𝑅))
41	31, 33, 40	3eqtrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑠 < 𝑥) ∧ ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))
42	41	exp31 422	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑥 → (((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))))
43	42	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))))
44	43	ralimdva 3179	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))))
45	44	reximdva 3276	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘𝑂)‘𝑥) = (0g‘𝐴)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅))))
46	26, 45	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽) = (0g‘𝑅)))
47	1, 16, 46	mptnn0fsupp 13368	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐼((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝐽)) finSupp (0g‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  {crab 3144  Vcvv 3496  ⦋csb 3885   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∈ cmpo 7160   ↑_m cmap 8408  Fincfn 8511   finSupp cfsupp 8835   < clt 10677  ℕ₀cn0 11900  Basecbs 16485  0_gc0g 16715  Ringcrg 19299  Poly₁cpl1 20347  coe₁cco1 20348   Mat cmat 21018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-ot 4578  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-hom 16591  df-cco 16592  df-0g 16717  df-prds 16723  df-pws 16725  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-subrg 19535  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-psr 20138  df-mpl 20140  df-opsr 20142  df-psr1 20350  df-ply1 20352  df-coe1 20353  df-dsmm 20878  df-frlm 20893  df-mat 21019

This theorem is referenced by:  mply1topmatcllem  21413