Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmconjvlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cycpmconjvlem 32300
Description: Lemma for cycpmconjv 32301. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmconjvlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
cycpmconjvlem.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐷)
Assertion
Ref Expression
cycpmconjvlem (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)) ∘ ◑𝐹) = ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran (𝐹 β†Ύ 𝐡))))
Proof of Theorem cycpmconjvlem
StepHypRef Expression
1 cycpmconjvlem.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
2 f1ofun 6836 . . . 4 (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 β†’ Fun 𝐹)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
4 funrel 6566 . . . . . . 7 (Fun 𝐹 β†’ Rel 𝐹)
5 dfrel2 6189 . . . . . . 7 (Rel 𝐹 ↔ ◑◑𝐹 = 𝐹)
64, 5sylib 217 . . . . . 6 (Fun 𝐹 β†’ ◑◑𝐹 = 𝐹)
76reseq1d 5981 . . . . 5 (Fun 𝐹 β†’ (◑◑𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)) = (𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)))
87cnveqd 5876 . . . 4 (Fun 𝐹 β†’ β—‘(◑◑𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)) = β—‘(𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)))
98coeq2d 5863 . . 3 (Fun 𝐹 β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)) ∘ β—‘(◑◑𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡))) = ((𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)) ∘ β—‘(𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡))))
103, 9syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)) ∘ β—‘(◑◑𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡))) = ((𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)) ∘ β—‘(𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡))))
11 difssd 4133 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ– 𝐡) βŠ† 𝐷)
12 f1odm 6838 . . . . . . 7 (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 β†’ dom 𝐹 = 𝐷)
131, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐷)
1411, 13sseqtrrd 4024 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ– 𝐡) βŠ† dom 𝐹)
15 ssdmres 6005 . . . . 5 ((𝐷 βˆ– 𝐡) βŠ† dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)) = (𝐷 βˆ– 𝐡))
1614, 15sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)) = (𝐷 βˆ– 𝐡))
17 ssidd 4006 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ– 𝐡) βŠ† (𝐷 βˆ– 𝐡))
1816, 17eqsstrd 4021 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)) βŠ† (𝐷 βˆ– 𝐡))
19 cores2 6259 . . 3 (dom (𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)) βŠ† (𝐷 βˆ– 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)) ∘ β—‘(◑◑𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡))) = ((𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)) ∘ ◑𝐹))
2018, 19syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)) ∘ β—‘(◑◑𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡))) = ((𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)) ∘ ◑𝐹))
21 f1ocnv 6846 . . . . . 6 (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 β†’ ◑𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
22 f1ofun 6836 . . . . . 6 (◑𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 β†’ Fun ◑𝐹)
231, 21, 223syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun ◑𝐹)
24 ssidd 4006 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† 𝐷)
2524, 13sseqtrrd 4024 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† dom 𝐹)
26 fores 6816 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐷 βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐷):𝐷–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐷))
273, 25, 26syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐷):𝐷–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐷))
28 df-ima 5690 . . . . . . 7 (𝐹 β€œ 𝐷) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐷)
29 foeq3 6804 . . . . . . 7 ((𝐹 β€œ 𝐷) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐷) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐷):𝐷–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐷) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐷):𝐷–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐷)))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝐹 β†Ύ 𝐷):𝐷–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐷) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐷):𝐷–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐷))
3127, 30sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐷):𝐷–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐷))
32 cycpmconjvlem.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐷)
3332, 13sseqtrrd 4024 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† dom 𝐹)
34 fores 6816 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐡 βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):𝐡–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐡))
353, 33, 34syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):𝐡–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐡))
36 df-ima 5690 . . . . . . 7 (𝐹 β€œ 𝐡) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐡)
37 foeq3 6804 . . . . . . 7 ((𝐹 β€œ 𝐡) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡):𝐡–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐡) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐡):𝐡–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
3836, 37ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝐹 β†Ύ 𝐡):𝐡–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐡) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐡):𝐡–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐡))
3935, 38sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):𝐡–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐡))
40 resdif 6855 . . . . 5 ((Fun ◑𝐹 ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐷):𝐷–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐷) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐡):𝐡–ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐡)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)):(𝐷 βˆ– 𝐡)–1-1-ontoβ†’(ran (𝐹 β†Ύ 𝐷) βˆ– ran (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
4123, 31, 39, 40syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)):(𝐷 βˆ– 𝐡)–1-1-ontoβ†’(ran (𝐹 β†Ύ 𝐷) βˆ– ran (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
42 f1ofn 6835 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 β†’ 𝐹 Fn 𝐷)
43 fnresdm 6670 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝐷 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐷) = 𝐹)
441, 42, 433syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐷) = 𝐹)
4544rneqd 5938 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐷) = ran 𝐹)
46 f1ofo 6841 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 β†’ 𝐹:𝐷–onto→𝐷)
47 forn 6809 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐷–onto→𝐷 β†’ ran 𝐹 = 𝐷)
481, 46, 473syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = 𝐷)
4945, 48eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐷) = 𝐷)
5049difeq1d 4122 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran (𝐹 β†Ύ 𝐷) βˆ– ran (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = (𝐷 βˆ– ran (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
5150f1oeq3d 6831 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)):(𝐷 βˆ– 𝐡)–1-1-ontoβ†’(ran (𝐹 β†Ύ 𝐷) βˆ– ran (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ↔ (𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)):(𝐷 βˆ– 𝐡)–1-1-ontoβ†’(𝐷 βˆ– ran (𝐹 β†Ύ 𝐡))))
5241, 51mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)):(𝐷 βˆ– 𝐡)–1-1-ontoβ†’(𝐷 βˆ– ran (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
53 f1ococnv2 6861 . . 3 ((𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)):(𝐷 βˆ– 𝐡)–1-1-ontoβ†’(𝐷 βˆ– ran (𝐹 β†Ύ 𝐡)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)) ∘ β—‘(𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡))) = ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran (𝐹 β†Ύ 𝐡))))
5452, 53syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)) ∘ β—‘(𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡))) = ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran (𝐹 β†Ύ 𝐡))))
5510, 20, 543eqtr3d 2781 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐷 βˆ– 𝐡)) ∘ ◑𝐹) = ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran (𝐹 β†Ύ 𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949   I cid 5574  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  Rel wrel 5682  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551
This theorem is referenced by:  cycpmconjv  32301
  Copyright terms: Public domain W3C validator