Theorem fnresdm 6438

Description: A function does not change when restricted to its domain. (Contributed by NM, 5-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fnresdm	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)

Proof of Theorem fnresdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnrel 6424	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
2		fndm 6425	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
3		eqimss 3971	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 = 𝐴 → dom 𝐹 ⊆ 𝐴)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 ⊆ 𝐴)
5		relssres 5859	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
6	1, 4, 5	syl2anc 587	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ⊆ wss 3881  dom cdm 5519   ↾ cres 5521  Rel wrel 5524   Fn wfn 6319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-rel 5526  df-dm 5529  df-res 5531  df-fun 6326  df-fn 6327

This theorem is referenced by:  fnima  6450  fresin  6521  resasplit  6522  fresaunres2  6524  fvreseq1  6786  fnsnr  6904  fninfp  6913  fnsnsplit  6923  fsnunfv  6926  fsnunres  6927  fnsuppeq0  7841  mapunen  8670  fnfi  8780  canthp1lem2  10064  fseq1p1m1  12976  facnn  13631  fac0  13632  hashgval  13689  hashinf  13691  rlimres  14907  lo1res  14908  rlimresb  14914  isercolllem2  15014  isercoll  15016  ruclem4  15579  fsets  16508  sscres  17085  sscid  17086  gsumzres  19022  rnrhmsubrg  19560  pwssplit1  19824  zzngim  20244  ptuncnv  22412  ptcmpfi  22418  tsmsres  22749  imasdsf1olem  22980  tmslem  23089  tmsxms  23093  imasf1oxms  23096  prdsxms  23137  tmsxps  23143  tmsxpsmopn  23144  isngp2  23203  tngngp2  23258  cnfldms  23381  cncms  23959  cnfldcusp  23961  mbfres2  24249  dvres  24514  dvres3a  24517  cpnres  24540  dvmptres3  24559  dvlip2  24598  dvgt0lem2  24606  dvne0  24614  rlimcnp2  25552  jensen  25574  eupthvdres  28020  sspg  28511  ssps  28513  sspn  28519  hhsssh  29052  fnresin  30385  padct  30481  ffsrn  30491  resf1o  30492  gsumle  30775  symgcom  30777  cycpmconjvlem  30833  cycpmconjslem1  30846  cnrrext  31361  indf1ofs  31395  eulerpartlemt  31739  subfacp1lem3  32542  subfacp1lem5  32544  cvmliftlem11  32655  poimirlem9  35066  mapfzcons1  39658  eq0rabdioph  39717  eldioph4b  39752  diophren  39754  pwssplit4  40033  dvresntr  42560  sge0split  43048