Theorem cycpmconjv 33223

Description: A formula for computing conjugacy classes of cyclic permutations. Formula in property (b) of [Lang] p. 32. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpmconjv.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmconjv.m	⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmconjv.p	⊢ + = (+g‘𝑆)
cycpmconjv.l	⊢ − = (-g‘𝑆)
cycpmconjv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
cycpmconjv	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀‘𝑊)) − 𝐺) = (𝑀‘(𝐺 ∘ 𝑊)))

Proof of Theorem cycpmconjv

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpmconjv.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2		cycpmconjv.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	symgbasf1o 19339	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷)
4	3	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷)
5		simp3 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
6		cycpmconjv.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
7	6, 1, 2	tocycf 33198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶𝐵)
8	7	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷}⟶𝐵)
9	8	fdmd 6670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
10	5, 9	eleqtrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷})
11		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
12		dmeq 5850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
13		eqidd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
14	11, 12, 13	f1eq123d 6764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
15	14	elrab 3635	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑤:dom 𝑤–1-1→𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
16	10, 15	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
17	16	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
18		f1f 6728	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷 → 𝑊:dom 𝑊⟶𝐷)
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝑊:dom 𝑊⟶𝐷)
20	19	frnd 6668	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → ran 𝑊 ⊆ 𝐷)
21	4, 20	cycpmconjvlem 33222	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran (𝐺 ↾ ran 𝑊))))
22		rnco 6208	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐺 ∘ 𝑊) = ran (𝐺 ↾ ran 𝑊)
23	22	difeq2i 4064	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∖ ran (𝐺 ∘ 𝑊)) = (𝐷 ∖ ran (𝐺 ↾ ran 𝑊))
24	23	reseq2i 5933	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran (𝐺 ∘ 𝑊))) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran (𝐺 ↾ ran 𝑊)))
25	21, 24	eqtr4di 2790	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∘ ◡𝐺) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran (𝐺 ∘ 𝑊))))
26		coass 6222	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∘ 𝑊) cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∘ ◡𝐺) = (((𝐺 ∘ 𝑊) cyclShift 1) ∘ (◡𝑊 ∘ ◡𝐺))
27		cnvco 5832	. . . . . 6 ⊢ ◡(𝐺 ∘ 𝑊) = (◡𝑊 ∘ ◡𝐺)
28	27	coeq2i 5807	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝑊) cyclShift 1) ∘ ◡(𝐺 ∘ 𝑊)) = (((𝐺 ∘ 𝑊) cyclShift 1) ∘ (◡𝑊 ∘ ◡𝐺))
29	26, 28	eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∘ 𝑊) cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∘ ◡𝐺) = (((𝐺 ∘ 𝑊) cyclShift 1) ∘ ◡(𝐺 ∘ 𝑊))
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((((𝐺 ∘ 𝑊) cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∘ ◡𝐺) = (((𝐺 ∘ 𝑊) cyclShift 1) ∘ ◡(𝐺 ∘ 𝑊)))
31	25, 30	uneq12d 4110	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → (((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∘ ◡𝐺) ∪ ((((𝐺 ∘ 𝑊) cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∘ ◡𝐺)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran (𝐺 ∘ 𝑊))) ∪ (((𝐺 ∘ 𝑊) cyclShift 1) ∘ ◡(𝐺 ∘ 𝑊))))
32		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝐺 ∈ 𝐵)
33	8, 10	ffvelcdmd 7029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝑀‘𝑊) ∈ 𝐵)
34		cycpmconjv.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑆)
35	1, 2, 34	symgcl 19349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀‘𝑊) ∈ 𝐵) → (𝐺 + (𝑀‘𝑊)) ∈ 𝐵)
36	32, 33, 35	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 + (𝑀‘𝑊)) ∈ 𝐵)
37		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑆) = (invg‘𝑆)
38		cycpmconjv.l	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑆)
39	2, 34, 37, 38	grpsubval 18950	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 + (𝑀‘𝑊)) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐺 + (𝑀‘𝑊)) − 𝐺) = ((𝐺 + (𝑀‘𝑊)) + ((invg‘𝑆)‘𝐺)))
40	36, 32, 39	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀‘𝑊)) − 𝐺) = ((𝐺 + (𝑀‘𝑊)) + ((invg‘𝑆)‘𝐺)))
41	1, 2, 37	symginv 19366	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → ((invg‘𝑆)‘𝐺) = ◡𝐺)
42	41	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((invg‘𝑆)‘𝐺) = ◡𝐺)
43	42	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀‘𝑊)) + ((invg‘𝑆)‘𝐺)) = ((𝐺 + (𝑀‘𝑊)) + ◡𝐺))
44		simp1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝐷 ∈ 𝑉)
45		f1ocnv 6784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷 → ◡𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷)
46	4, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → ◡𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷)
47	1, 2	elsymgbas 19338	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (◡𝐺 ∈ 𝐵 ↔ ◡𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷))
48	47	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ◡𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷) → ◡𝐺 ∈ 𝐵)
49	44, 46, 48	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → ◡𝐺 ∈ 𝐵)
50	1, 2, 34	symgov 19348	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 + (𝑀‘𝑊)) ∈ 𝐵 ∧ ◡𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐺 + (𝑀‘𝑊)) + ◡𝐺) = ((𝐺 + (𝑀‘𝑊)) ∘ ◡𝐺))
51	36, 49, 50	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀‘𝑊)) + ◡𝐺) = ((𝐺 + (𝑀‘𝑊)) ∘ ◡𝐺))
52	40, 43, 51	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀‘𝑊)) − 𝐺) = ((𝐺 + (𝑀‘𝑊)) ∘ ◡𝐺))
53	1, 2, 34	symgov 19348	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀‘𝑊) ∈ 𝐵) → (𝐺 + (𝑀‘𝑊)) = (𝐺 ∘ (𝑀‘𝑊)))
54	32, 33, 53	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 + (𝑀‘𝑊)) = (𝐺 ∘ (𝑀‘𝑊)))
55	16	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
56	6, 44, 55, 17	tocycfv 33190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝑀‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
57	56	coeq2d 5809	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 ∘ (𝑀‘𝑊)) = (𝐺 ∘ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))))
58		coundi 6203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∘ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))) = ((𝐺 ∘ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))) ∪ (𝐺 ∘ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
59	58	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 ∘ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))) = ((𝐺 ∘ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))) ∪ (𝐺 ∘ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))))
60	54, 57, 59	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 + (𝑀‘𝑊)) = ((𝐺 ∘ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))) ∪ (𝐺 ∘ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))))
61		coires1 6221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∘ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))) = (𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 ∘ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))) = (𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))
63		coass 6222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) ∘ ◡𝑊) = (𝐺 ∘ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))
64		1zzd 12547	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
65		f1of 6772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝐺:𝐷⟶𝐷)
66	4, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝐺:𝐷⟶𝐷)
67		cshco 14787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐺:𝐷⟶𝐷) → (𝐺 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) = ((𝐺 ∘ 𝑊) cyclShift 1))
68	55, 64, 66, 67	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) = ((𝐺 ∘ 𝑊) cyclShift 1))
69	68	coeq1d 5808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) ∘ ◡𝑊) = (((𝐺 ∘ 𝑊) cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))
70	63, 69	eqtr3id 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 ∘ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) = (((𝐺 ∘ 𝑊) cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))
71	62, 70	uneq12d 4110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 ∘ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))) ∪ (𝐺 ∘ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))) = ((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ (((𝐺 ∘ 𝑊) cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
72	60, 71	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 + (𝑀‘𝑊)) = ((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ (((𝐺 ∘ 𝑊) cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
73	72	coeq1d 5808	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀‘𝑊)) ∘ ◡𝐺) = (((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ (((𝐺 ∘ 𝑊) cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ∘ ◡𝐺))
74	52, 73	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀‘𝑊)) − 𝐺) = (((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ (((𝐺 ∘ 𝑊) cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ∘ ◡𝐺))
75		coundir 6204	. . 3 ⊢ (((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ (((𝐺 ∘ 𝑊) cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ∘ ◡𝐺) = (((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∘ ◡𝐺) ∪ ((((𝐺 ∘ 𝑊) cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∘ ◡𝐺))
76	74, 75	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀‘𝑊)) − 𝐺) = (((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∘ ◡𝐺) ∪ ((((𝐺 ∘ 𝑊) cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∘ ◡𝐺)))
77		wrdco 14782	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝐺:𝐷⟶𝐷) → (𝐺 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐷)
78	55, 66, 77	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐷)
79		f1of1 6771	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝐺:𝐷–1-1→𝐷)
80	4, 79	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝐺:𝐷–1-1→𝐷)
81		f1co 6739	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:𝐷–1-1→𝐷 ∧ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷) → (𝐺 ∘ 𝑊):dom 𝑊–1-1→𝐷)
82	80, 17, 81	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 ∘ 𝑊):dom 𝑊–1-1→𝐷)
83	66	fdmd 6670	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → dom 𝐺 = 𝐷)
84	20, 83	sseqtrrd 3960	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → ran 𝑊 ⊆ dom 𝐺)
85		dmcosseq 5925	. . . . . 6 ⊢ (ran 𝑊 ⊆ dom 𝐺 → dom (𝐺 ∘ 𝑊) = dom 𝑊)
86	84, 85	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → dom (𝐺 ∘ 𝑊) = dom 𝑊)
87		f1eq2 6724	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐺 ∘ 𝑊) = dom 𝑊 → ((𝐺 ∘ 𝑊):dom (𝐺 ∘ 𝑊)–1-1→𝐷 ↔ (𝐺 ∘ 𝑊):dom 𝑊–1-1→𝐷))
88	86, 87	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 ∘ 𝑊):dom (𝐺 ∘ 𝑊)–1-1→𝐷 ↔ (𝐺 ∘ 𝑊):dom 𝑊–1-1→𝐷))
89	82, 88	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 ∘ 𝑊):dom (𝐺 ∘ 𝑊)–1-1→𝐷)
90	6, 44, 78, 89	tocycfv 33190	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝑀‘(𝐺 ∘ 𝑊)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran (𝐺 ∘ 𝑊))) ∪ (((𝐺 ∘ 𝑊) cyclShift 1) ∘ ◡(𝐺 ∘ 𝑊))))
91	31, 76, 90	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀‘𝑊)) − 𝐺) = (𝑀‘(𝐺 ∘ 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890   I cid 5516  ^◡ccnv 5621  dom cdm 5622  ran crn 5623   ↾ cres 5624   ∘ ccom 5626  ⟶wf 6486  –1-1→wf1 6487  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  1c1 11028  ℤcz 12513  Word cword 14464   cyclShift ccsh 14739  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209  inv_gcminusg 18899  -_gcsg 18900  SymGrpcsymg 19333  toCycctocyc 33187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-mod 13818  df-hash 14282  df-word 14465  df-concat 14522  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-csh 14740  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-tset 17228  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-efmnd 18826  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-symg 19334  df-tocyc 33188

This theorem is referenced by: (None)