Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmconjv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmconjv 30883
 Description: A formula for computing conjugacy classes of cyclic permutations. Formula in property (b) of [Lang] p. 32. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmconjv.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmconjv.m 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmconjv.p + = (+g𝑆)
cycpmconjv.l = (-g𝑆)
cycpmconjv.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
cycpmconjv ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀𝑊)) 𝐺) = (𝑀‘(𝐺𝑊)))

Proof of Theorem cycpmconjv
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpmconjv.s . . . . . . 7 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2 cycpmconjv.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑆)
31, 2symgbasf1o 18516 . . . . . 6 (𝐺𝐵𝐺:𝐷1-1-onto𝐷)
433ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝐺:𝐷1-1-onto𝐷)
5 simp3 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
6 cycpmconjv.m . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
76, 1, 2tocycf 30858 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝑉𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶𝐵)
873ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶𝐵)
98fdmd 6505 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
105, 9eleqtrd 2892 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
11 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑊𝑤 = 𝑊)
12 dmeq 5742 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
13 eqidd 2799 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑊𝐷 = 𝐷)
1411, 12, 13f1eq123d 6591 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
1514elrab 3630 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
1610, 15sylib 221 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
1716simprd 499 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
18 f1f 6557 . . . . . . 7 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:dom 𝑊𝐷)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝑊:dom 𝑊𝐷)
2019frnd 6502 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ran 𝑊𝐷)
214, 20cycpmconjvlem 30882 . . . 4 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∘ 𝐺) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran (𝐺 ↾ ran 𝑊))))
22 rnco 6079 . . . . . 6 ran (𝐺𝑊) = ran (𝐺 ↾ ran 𝑊)
2322difeq2i 4050 . . . . 5 (𝐷 ∖ ran (𝐺𝑊)) = (𝐷 ∖ ran (𝐺 ↾ ran 𝑊))
2423reseq2i 5819 . . . 4 ( I ↾ (𝐷 ∖ ran (𝐺𝑊))) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran (𝐺 ↾ ran 𝑊)))
2521, 24eqtr4di 2851 . . 3 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∘ 𝐺) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran (𝐺𝑊))))
26 coass 6092 . . . . 5 ((((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∘ 𝐺) = (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ (𝑊𝐺))
27 cnvco 5724 . . . . . 6 (𝐺𝑊) = (𝑊𝐺)
2827coeq2i 5699 . . . . 5 (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ (𝐺𝑊)) = (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ (𝑊𝐺))
2926, 28eqtr4i 2824 . . . 4 ((((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∘ 𝐺) = (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ (𝐺𝑊))
3029a1i 11 . . 3 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∘ 𝐺) = (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ (𝐺𝑊)))
3125, 30uneq12d 4094 . 2 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∘ 𝐺) ∪ ((((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∘ 𝐺)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran (𝐺𝑊))) ∪ (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ (𝐺𝑊))))
32 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝐺𝐵)
338, 10ffvelrnd 6839 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝑀𝑊) ∈ 𝐵)
34 cycpmconjv.p . . . . . . . 8 + = (+g𝑆)
351, 2, 34symgcl 18526 . . . . . . 7 ((𝐺𝐵 ∧ (𝑀𝑊) ∈ 𝐵) → (𝐺 + (𝑀𝑊)) ∈ 𝐵)
3632, 33, 35syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 + (𝑀𝑊)) ∈ 𝐵)
37 eqid 2798 . . . . . . 7 (invg𝑆) = (invg𝑆)
38 cycpmconjv.l . . . . . . 7 = (-g𝑆)
392, 34, 37, 38grpsubval 18162 . . . . . 6 (((𝐺 + (𝑀𝑊)) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → ((𝐺 + (𝑀𝑊)) 𝐺) = ((𝐺 + (𝑀𝑊)) + ((invg𝑆)‘𝐺)))
4036, 32, 39syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀𝑊)) 𝐺) = ((𝐺 + (𝑀𝑊)) + ((invg𝑆)‘𝐺)))
411, 2, 37symginv 18543 . . . . . . 7 (𝐺𝐵 → ((invg𝑆)‘𝐺) = 𝐺)
42413ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((invg𝑆)‘𝐺) = 𝐺)
4342oveq2d 7161 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀𝑊)) + ((invg𝑆)‘𝐺)) = ((𝐺 + (𝑀𝑊)) + 𝐺))
44 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝐷𝑉)
45 f1ocnv 6611 . . . . . . . 8 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1-onto𝐷)
464, 45syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝐺:𝐷1-1-onto𝐷)
471, 2elsymgbas 18515 . . . . . . . 8 (𝐷𝑉 → (𝐺𝐵𝐺:𝐷1-1-onto𝐷))
4847biimpar 481 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐺𝐵)
4944, 46, 48syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝐺𝐵)
501, 2, 34symgov 18525 . . . . . 6 (((𝐺 + (𝑀𝑊)) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → ((𝐺 + (𝑀𝑊)) + 𝐺) = ((𝐺 + (𝑀𝑊)) ∘ 𝐺))
5136, 49, 50syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀𝑊)) + 𝐺) = ((𝐺 + (𝑀𝑊)) ∘ 𝐺))
5240, 43, 513eqtrd 2837 . . . 4 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀𝑊)) 𝐺) = ((𝐺 + (𝑀𝑊)) ∘ 𝐺))
531, 2, 34symgov 18525 . . . . . . . 8 ((𝐺𝐵 ∧ (𝑀𝑊) ∈ 𝐵) → (𝐺 + (𝑀𝑊)) = (𝐺 ∘ (𝑀𝑊)))
5432, 33, 53syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 + (𝑀𝑊)) = (𝐺 ∘ (𝑀𝑊)))
5516simpld 498 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
566, 44, 55, 17tocycfv 30850 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝑀𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
5756coeq2d 5701 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 ∘ (𝑀𝑊)) = (𝐺 ∘ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))))
58 coundi 6074 . . . . . . . 8 (𝐺 ∘ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))) = ((𝐺 ∘ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))) ∪ (𝐺 ∘ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
5958a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 ∘ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))) = ((𝐺 ∘ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))) ∪ (𝐺 ∘ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))))
6054, 57, 593eqtrd 2837 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 + (𝑀𝑊)) = ((𝐺 ∘ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))) ∪ (𝐺 ∘ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))))
61 coires1 6091 . . . . . . . 8 (𝐺 ∘ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))) = (𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
6261a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 ∘ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))) = (𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))
63 coass 6092 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) ∘ 𝑊) = (𝐺 ∘ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))
64 1zzd 12021 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
65 f1of 6599 . . . . . . . . . . 11 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐷𝐺:𝐷𝐷)
664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝐺:𝐷𝐷)
67 cshco 14209 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐺:𝐷𝐷) → (𝐺 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) = ((𝐺𝑊) cyclShift 1))
6855, 64, 66, 67syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) = ((𝐺𝑊) cyclShift 1))
6968coeq1d 5700 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) ∘ 𝑊) = (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊))
7063, 69syl5eqr 2847 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 ∘ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) = (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊))
7162, 70uneq12d 4094 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 ∘ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))) ∪ (𝐺 ∘ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))) = ((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
7260, 71eqtrd 2833 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 + (𝑀𝑊)) = ((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
7372coeq1d 5700 . . . 4 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀𝑊)) ∘ 𝐺) = (((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊)) ∘ 𝐺))
7452, 73eqtrd 2833 . . 3 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀𝑊)) 𝐺) = (((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊)) ∘ 𝐺))
75 coundir 6075 . . 3 (((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊)) ∘ 𝐺) = (((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∘ 𝐺) ∪ ((((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∘ 𝐺))
7674, 75eqtrdi 2849 . 2 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀𝑊)) 𝐺) = (((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∘ 𝐺) ∪ ((((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∘ 𝐺)))
77 wrdco 14204 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝐺:𝐷𝐷) → (𝐺𝑊) ∈ Word 𝐷)
7855, 66, 77syl2anc 587 . . 3 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺𝑊) ∈ Word 𝐷)
79 f1of1 6598 . . . . . 6 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1𝐷)
804, 79syl 17 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝐺:𝐷1-1𝐷)
81 f1co 6568 . . . . 5 ((𝐺:𝐷1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷) → (𝐺𝑊):dom 𝑊1-1𝐷)
8280, 17, 81syl2anc 587 . . . 4 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺𝑊):dom 𝑊1-1𝐷)
8366fdmd 6505 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → dom 𝐺 = 𝐷)
8420, 83sseqtrrd 3958 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ran 𝑊 ⊆ dom 𝐺)
85 dmcosseq 5813 . . . . . 6 (ran 𝑊 ⊆ dom 𝐺 → dom (𝐺𝑊) = dom 𝑊)
8684, 85syl 17 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → dom (𝐺𝑊) = dom 𝑊)
87 f1eq2 6553 . . . . 5 (dom (𝐺𝑊) = dom 𝑊 → ((𝐺𝑊):dom (𝐺𝑊)–1-1𝐷 ↔ (𝐺𝑊):dom 𝑊1-1𝐷))
8886, 87syl 17 . . . 4 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺𝑊):dom (𝐺𝑊)–1-1𝐷 ↔ (𝐺𝑊):dom 𝑊1-1𝐷))
8982, 88mpbird 260 . . 3 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺𝑊):dom (𝐺𝑊)–1-1𝐷)
906, 44, 78, 89tocycfv 30850 . 2 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝑀‘(𝐺𝑊)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran (𝐺𝑊))) ∪ (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ (𝐺𝑊))))
9131, 76, 903eqtr4d 2843 1 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀𝑊)) 𝐺) = (𝑀‘(𝐺𝑊)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883   I cid 5428  ◡ccnv 5522  dom cdm 5523  ran crn 5524   ↾ cres 5525   ∘ ccom 5527  ⟶wf 6328  –1-1→wf1 6329  –1-1-onto→wf1o 6331  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  1c1 10545  ℤcz 11989  Word cword 13877   cyclShift ccsh 14161  Basecbs 16495  +gcplusg 16577  invgcminusg 18116  -gcsg 18117  SymGrpcsymg 18508  toCycctocyc 30847 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-rp 12398  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-fl 13177  df-mod 13253  df-hash 13707  df-word 13878  df-concat 13934  df-substr 14014  df-pfx 14044  df-csh 14162  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-tset 16596  df-0g 16727  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-efmnd 18046  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-sbg 18120  df-symg 18509  df-tocyc 30848 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator