Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpmconjv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpmconjv 33145
Description: A formula for computing conjugacy classes of cyclic permutations. Formula in property (b) of [Lang] p. 32. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpmconjv.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cycpmconjv.m 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cycpmconjv.p + = (+g𝑆)
cycpmconjv.l = (-g𝑆)
cycpmconjv.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
cycpmconjv ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀𝑊)) 𝐺) = (𝑀‘(𝐺𝑊)))

Proof of Theorem cycpmconjv
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycpmconjv.s . . . . . . 7 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2 cycpmconjv.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑆)
31, 2symgbasf1o 19407 . . . . . 6 (𝐺𝐵𝐺:𝐷1-1-onto𝐷)
433ad2ant2 1133 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝐺:𝐷1-1-onto𝐷)
5 simp3 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝑊 ∈ dom 𝑀)
6 cycpmconjv.m . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
76, 1, 2tocycf 33120 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝑉𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶𝐵)
873ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝑀:{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶𝐵)
98fdmd 6747 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → dom 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
105, 9eleqtrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
11 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑊𝑤 = 𝑊)
12 dmeq 5917 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑊 → dom 𝑤 = dom 𝑊)
13 eqidd 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑊𝐷 = 𝐷)
1411, 12, 13f1eq123d 6841 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
1514elrab 3695 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
1610, 15sylib 218 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
1716simprd 495 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
18 f1f 6805 . . . . . . 7 (𝑊:dom 𝑊1-1𝐷𝑊:dom 𝑊𝐷)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝑊:dom 𝑊𝐷)
2019frnd 6745 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ran 𝑊𝐷)
214, 20cycpmconjvlem 33144 . . . 4 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∘ 𝐺) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran (𝐺 ↾ ran 𝑊))))
22 rnco 6274 . . . . . 6 ran (𝐺𝑊) = ran (𝐺 ↾ ran 𝑊)
2322difeq2i 4133 . . . . 5 (𝐷 ∖ ran (𝐺𝑊)) = (𝐷 ∖ ran (𝐺 ↾ ran 𝑊))
2423reseq2i 5997 . . . 4 ( I ↾ (𝐷 ∖ ran (𝐺𝑊))) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran (𝐺 ↾ ran 𝑊)))
2521, 24eqtr4di 2793 . . 3 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∘ 𝐺) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran (𝐺𝑊))))
26 coass 6287 . . . . 5 ((((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∘ 𝐺) = (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ (𝑊𝐺))
27 cnvco 5899 . . . . . 6 (𝐺𝑊) = (𝑊𝐺)
2827coeq2i 5874 . . . . 5 (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ (𝐺𝑊)) = (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ (𝑊𝐺))
2926, 28eqtr4i 2766 . . . 4 ((((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∘ 𝐺) = (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ (𝐺𝑊))
3029a1i 11 . . 3 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∘ 𝐺) = (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ (𝐺𝑊)))
3125, 30uneq12d 4179 . 2 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∘ 𝐺) ∪ ((((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∘ 𝐺)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran (𝐺𝑊))) ∪ (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ (𝐺𝑊))))
32 simp2 1136 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝐺𝐵)
338, 10ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝑀𝑊) ∈ 𝐵)
34 cycpmconjv.p . . . . . . . 8 + = (+g𝑆)
351, 2, 34symgcl 19417 . . . . . . 7 ((𝐺𝐵 ∧ (𝑀𝑊) ∈ 𝐵) → (𝐺 + (𝑀𝑊)) ∈ 𝐵)
3632, 33, 35syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 + (𝑀𝑊)) ∈ 𝐵)
37 eqid 2735 . . . . . . 7 (invg𝑆) = (invg𝑆)
38 cycpmconjv.l . . . . . . 7 = (-g𝑆)
392, 34, 37, 38grpsubval 19016 . . . . . 6 (((𝐺 + (𝑀𝑊)) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → ((𝐺 + (𝑀𝑊)) 𝐺) = ((𝐺 + (𝑀𝑊)) + ((invg𝑆)‘𝐺)))
4036, 32, 39syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀𝑊)) 𝐺) = ((𝐺 + (𝑀𝑊)) + ((invg𝑆)‘𝐺)))
411, 2, 37symginv 19435 . . . . . . 7 (𝐺𝐵 → ((invg𝑆)‘𝐺) = 𝐺)
42413ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((invg𝑆)‘𝐺) = 𝐺)
4342oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀𝑊)) + ((invg𝑆)‘𝐺)) = ((𝐺 + (𝑀𝑊)) + 𝐺))
44 simp1 1135 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝐷𝑉)
45 f1ocnv 6861 . . . . . . . 8 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1-onto𝐷)
464, 45syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝐺:𝐷1-1-onto𝐷)
471, 2elsymgbas 19406 . . . . . . . 8 (𝐷𝑉 → (𝐺𝐵𝐺:𝐷1-1-onto𝐷))
4847biimpar 477 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺:𝐷1-1-onto𝐷) → 𝐺𝐵)
4944, 46, 48syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝐺𝐵)
501, 2, 34symgov 19416 . . . . . 6 (((𝐺 + (𝑀𝑊)) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → ((𝐺 + (𝑀𝑊)) + 𝐺) = ((𝐺 + (𝑀𝑊)) ∘ 𝐺))
5136, 49, 50syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀𝑊)) + 𝐺) = ((𝐺 + (𝑀𝑊)) ∘ 𝐺))
5240, 43, 513eqtrd 2779 . . . 4 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀𝑊)) 𝐺) = ((𝐺 + (𝑀𝑊)) ∘ 𝐺))
531, 2, 34symgov 19416 . . . . . . . 8 ((𝐺𝐵 ∧ (𝑀𝑊) ∈ 𝐵) → (𝐺 + (𝑀𝑊)) = (𝐺 ∘ (𝑀𝑊)))
5432, 33, 53syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 + (𝑀𝑊)) = (𝐺 ∘ (𝑀𝑊)))
5516simpld 494 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
566, 44, 55, 17tocycfv 33112 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝑀𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
5756coeq2d 5876 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 ∘ (𝑀𝑊)) = (𝐺 ∘ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))))
58 coundi 6269 . . . . . . . 8 (𝐺 ∘ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))) = ((𝐺 ∘ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))) ∪ (𝐺 ∘ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
5958a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 ∘ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))) = ((𝐺 ∘ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))) ∪ (𝐺 ∘ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))))
6054, 57, 593eqtrd 2779 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 + (𝑀𝑊)) = ((𝐺 ∘ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))) ∪ (𝐺 ∘ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))))
61 coires1 6286 . . . . . . . 8 (𝐺 ∘ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))) = (𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))
6261a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 ∘ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))) = (𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))
63 coass 6287 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) ∘ 𝑊) = (𝐺 ∘ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))
64 1zzd 12646 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
65 f1of 6849 . . . . . . . . . . 11 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐷𝐺:𝐷𝐷)
664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝐺:𝐷𝐷)
67 cshco 14872 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐺:𝐷𝐷) → (𝐺 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) = ((𝐺𝑊) cyclShift 1))
6855, 64, 66, 67syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) = ((𝐺𝑊) cyclShift 1))
6968coeq1d 5875 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 ∘ (𝑊 cyclShift 1)) ∘ 𝑊) = (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊))
7063, 69eqtr3id 2789 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 ∘ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) = (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊))
7162, 70uneq12d 4179 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 ∘ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊))) ∪ (𝐺 ∘ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))) = ((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
7260, 71eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺 + (𝑀𝑊)) = ((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
7372coeq1d 5875 . . . 4 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀𝑊)) ∘ 𝐺) = (((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊)) ∘ 𝐺))
7452, 73eqtrd 2775 . . 3 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀𝑊)) 𝐺) = (((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊)) ∘ 𝐺))
75 coundir 6270 . . 3 (((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊)) ∘ 𝐺) = (((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∘ 𝐺) ∪ ((((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∘ 𝐺))
7674, 75eqtrdi 2791 . 2 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀𝑊)) 𝐺) = (((𝐺 ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∘ 𝐺) ∪ ((((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∘ 𝐺)))
77 wrdco 14867 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐷𝐺:𝐷𝐷) → (𝐺𝑊) ∈ Word 𝐷)
7855, 66, 77syl2anc 584 . . 3 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺𝑊) ∈ Word 𝐷)
79 f1of1 6848 . . . . . 6 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1𝐷)
804, 79syl 17 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → 𝐺:𝐷1-1𝐷)
81 f1co 6816 . . . . 5 ((𝐺:𝐷1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷) → (𝐺𝑊):dom 𝑊1-1𝐷)
8280, 17, 81syl2anc 584 . . . 4 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺𝑊):dom 𝑊1-1𝐷)
8366fdmd 6747 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → dom 𝐺 = 𝐷)
8420, 83sseqtrrd 4037 . . . . . 6 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ran 𝑊 ⊆ dom 𝐺)
85 dmcosseq 5990 . . . . . 6 (ran 𝑊 ⊆ dom 𝐺 → dom (𝐺𝑊) = dom 𝑊)
8684, 85syl 17 . . . . 5 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → dom (𝐺𝑊) = dom 𝑊)
87 f1eq2 6801 . . . . 5 (dom (𝐺𝑊) = dom 𝑊 → ((𝐺𝑊):dom (𝐺𝑊)–1-1𝐷 ↔ (𝐺𝑊):dom 𝑊1-1𝐷))
8886, 87syl 17 . . . 4 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺𝑊):dom (𝐺𝑊)–1-1𝐷 ↔ (𝐺𝑊):dom 𝑊1-1𝐷))
8982, 88mpbird 257 . . 3 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝐺𝑊):dom (𝐺𝑊)–1-1𝐷)
906, 44, 78, 89tocycfv 33112 . 2 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → (𝑀‘(𝐺𝑊)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran (𝐺𝑊))) ∪ (((𝐺𝑊) cyclShift 1) ∘ (𝐺𝑊))))
9131, 76, 903eqtr4d 2785 1 ((𝐷𝑉𝐺𝐵𝑊 ∈ dom 𝑀) → ((𝐺 + (𝑀𝑊)) 𝐺) = (𝑀‘(𝐺𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  cdif 3960  cun 3961  wss 3963   I cid 5582  ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691  ccom 5693  wf 6559  1-1wf1 6560  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154  cz 12611  Word cword 14549   cyclShift ccsh 14823  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  invgcminusg 18965  -gcsg 18966  SymGrpcsymg 19401  toCycctocyc 33109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-csh 14824  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-efmnd 18895  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-symg 19402  df-tocyc 33110
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator