MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fores Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fores 6830
Description: Restriction of an onto function. (Contributed by NM, 4-Mar-1997.)
Assertion
Ref Expression
fores ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴))

Proof of Theorem fores
StepHypRef Expression
1 funres 6608 . . 3 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹𝐴))
21anim1i 615 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹))
3 df-fn 6564 . . 3 ((𝐹𝐴) Fn 𝐴 ↔ (Fun (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) = 𝐴))
4 df-ima 5698 . . . . 5 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
54eqcomi 2746 . . . 4 ran (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴)
6 df-fo 6567 . . . 4 ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ ((𝐹𝐴) Fn 𝐴 ∧ ran (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴)))
75, 6mpbiran2 710 . . 3 ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴) Fn 𝐴)
8 ssdmres 6031 . . . 4 (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹𝐴) = 𝐴)
98anbi2i 623 . . 3 ((Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) ↔ (Fun (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) = 𝐴))
103, 7, 93bitr4i 303 . 2 ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ (Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹))
112, 10sylibr 234 1 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wss 3951  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  cima 5688  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  ontowfo 6559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-res 5697  df-ima 5698  df-fun 6563  df-fn 6564  df-fo 6567
This theorem is referenced by:  fimadmfoALT  6831  resdif  6869  f1oweALT  7997  imafi  9353  f1opwfi  9396  fodomfi2  10100  fin1a2lem7  10446  znnen  16248  connima  23433  1stcfb  23453  1stckgenlem  23561  qtoprest  23725  re2ndc  24822  uniiccdif  25613  opnmblALT  25638  mbfimaopnlem  25690  ffsrn  32740  cycpmconjvlem  33161  erdszelem2  35197  ivthALT  36336  poimirlem26  37653  poimirlem27  37654  lmhmfgima  43096
  Copyright terms: Public domain W3C validator