MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fores Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fores 6831
Description: Restriction of an onto function. (Contributed by NM, 4-Mar-1997.)
Assertion
Ref Expression
fores ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴))

Proof of Theorem fores
StepHypRef Expression
1 funres 6610 . . 3 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹𝐴))
21anim1i 615 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹))
3 df-fn 6566 . . 3 ((𝐹𝐴) Fn 𝐴 ↔ (Fun (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) = 𝐴))
4 df-ima 5702 . . . . 5 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
54eqcomi 2744 . . . 4 ran (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴)
6 df-fo 6569 . . . 4 ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ ((𝐹𝐴) Fn 𝐴 ∧ ran (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴)))
75, 6mpbiran2 710 . . 3 ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴) Fn 𝐴)
8 ssdmres 6033 . . . 4 (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹𝐴) = 𝐴)
98anbi2i 623 . . 3 ((Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) ↔ (Fun (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) = 𝐴))
103, 7, 93bitr4i 303 . 2 ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ (Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹))
112, 10sylibr 234 1 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wss 3963  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691  cima 5692  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  ontowfo 6561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-res 5701  df-ima 5702  df-fun 6565  df-fn 6566  df-fo 6569
This theorem is referenced by:  fimadmfoALT  6832  resdif  6870  f1oweALT  7996  imafi  9351  f1opwfi  9394  fodomfi2  10098  fin1a2lem7  10444  znnen  16245  connima  23449  1stcfb  23469  1stckgenlem  23577  qtoprest  23741  re2ndc  24837  uniiccdif  25627  opnmblALT  25652  mbfimaopnlem  25704  ffsrn  32747  cycpmconjvlem  33144  erdszelem2  35177  ivthALT  36318  poimirlem26  37633  poimirlem27  37634  lmhmfgima  43073
  Copyright terms: Public domain W3C validator