Theorem fores 6682

Description: Restriction of an onto function. (Contributed by NM, 4-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
fores	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴))

Proof of Theorem fores

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 6460	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
2	1	anim1i 614	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹))
3		df-fn 6421	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ↔ (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐴))
4		df-ima 5593	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
5	4	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ ran (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐹 “ 𝐴)
6		df-fo 6424	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐹 “ 𝐴)))
7	5, 6	mpbiran2 706	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
8		ssdmres 5903	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐴)
9	8	anbi2i 622	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) ↔ (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐴))
10	3, 7, 9	3bitr4i 302	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴) ↔ (Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹))
11	2, 10	sylibr 233	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ⊆ wss 3883  dom cdm 5580  ran crn 5581   ↾ cres 5582   “ cima 5583  Fun wfun 6412   Fn wfn 6413  –onto→wfo 6416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-res 5592  df-ima 5593  df-fun 6420  df-fn 6421  df-fo 6424

This theorem is referenced by:  fimadmfoALT  6683  resdif  6720  f1oweALT  7788  imafiALT  9042  f1opwfi  9053  fodomfi2  9747  fin1a2lem7  10093  znnen  15849  connima  22484  1stcfb  22504  1stckgenlem  22612  qtoprest  22776  re2ndc  23870  uniiccdif  24647  opnmblALT  24672  mbfimaopnlem  24724  ffsrn  30966  cycpmconjvlem  31310  erdszelem2  33054  ivthALT  34451  poimirlem26  35730  poimirlem27  35731  lmhmfgima  40825