MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fores Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fores 6824
Description: Restriction of an onto function. (Contributed by NM, 4-Mar-1997.)
Assertion
Ref Expression
fores ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴))

Proof of Theorem fores
StepHypRef Expression
1 funres 6598 . . 3 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹𝐴))
21anim1i 613 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹))
3 df-fn 6554 . . 3 ((𝐹𝐴) Fn 𝐴 ↔ (Fun (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) = 𝐴))
4 df-ima 5693 . . . . 5 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
54eqcomi 2736 . . . 4 ran (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴)
6 df-fo 6557 . . . 4 ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ ((𝐹𝐴) Fn 𝐴 ∧ ran (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴)))
75, 6mpbiran2 708 . . 3 ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴) Fn 𝐴)
8 ssdmres 6020 . . . 4 (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹𝐴) = 𝐴)
98anbi2i 621 . . 3 ((Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) ↔ (Fun (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) = 𝐴))
103, 7, 93bitr4i 302 . 2 ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ (Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹))
112, 10sylibr 233 1 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wss 3947  dom cdm 5680  ran crn 5681  cres 5682  cima 5683  Fun wfun 6545   Fn wfn 6546  ontowfo 6549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5151  df-opab 5213  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-res 5692  df-ima 5693  df-fun 6553  df-fn 6554  df-fo 6557
This theorem is referenced by:  fimadmfoALT  6825  resdif  6863  f1oweALT  7980  imafiALT  9375  f1opwfi  9386  fodomfi2  10089  fin1a2lem7  10435  znnen  16194  connima  23347  1stcfb  23367  1stckgenlem  23475  qtoprest  23639  re2ndc  24735  uniiccdif  25525  opnmblALT  25550  mbfimaopnlem  25602  ffsrn  32529  cycpmconjvlem  32880  erdszelem2  34807  ivthALT  35824  poimirlem26  37124  poimirlem27  37125  lmhmfgima  42511
  Copyright terms: Public domain W3C validator