MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fores Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fores 6812
Description: Restriction of an onto function. (Contributed by NM, 4-Mar-1997.)
Assertion
Ref Expression
fores ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴))

Proof of Theorem fores
StepHypRef Expression
1 funres 6587 . . 3 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹𝐴))
21anim1i 615 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹))
3 df-fn 6543 . . 3 ((𝐹𝐴) Fn 𝐴 ↔ (Fun (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) = 𝐴))
4 df-ima 5688 . . . . 5 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
54eqcomi 2741 . . . 4 ran (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴)
6 df-fo 6546 . . . 4 ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ ((𝐹𝐴) Fn 𝐴 ∧ ran (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴)))
75, 6mpbiran2 708 . . 3 ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴) Fn 𝐴)
8 ssdmres 6002 . . . 4 (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹𝐴) = 𝐴)
98anbi2i 623 . . 3 ((Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) ↔ (Fun (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) = 𝐴))
103, 7, 93bitr4i 302 . 2 ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ (Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹))
112, 10sylibr 233 1 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wss 3947  dom cdm 5675  ran crn 5676  cres 5677  cima 5678  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  ontowfo 6538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-res 5687  df-ima 5688  df-fun 6542  df-fn 6543  df-fo 6546
This theorem is referenced by:  fimadmfoALT  6813  resdif  6851  f1oweALT  7955  imafiALT  9341  f1opwfi  9352  fodomfi2  10051  fin1a2lem7  10397  znnen  16151  connima  22920  1stcfb  22940  1stckgenlem  23048  qtoprest  23212  re2ndc  24308  uniiccdif  25086  opnmblALT  25111  mbfimaopnlem  25163  ffsrn  31941  cycpmconjvlem  32287  erdszelem2  34171  ivthALT  35208  poimirlem26  36502  poimirlem27  36503  lmhmfgima  41811
  Copyright terms: Public domain W3C validator