Theorem ecelqsi 8769

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	⊢ 𝑅 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsi.1	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ V
2		ecelqsw 8768	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))
3	1, 2	mpan 703	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  [cec 8694   / cqs 8695

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ec 8698  df-qs 8702

This theorem is used by:  ecopqsi  8770  addsrpr  11084  mulsrpr  11085  0r  11089  1sr  11090  m1r  11091  addclsr  11092  mulclsr  11093  quseccl0  19313  ghmqusnsglem1  19407  ghmquskerlem1  19410  ghmquskerco  19411  ghmqusker  19414  orbsta  19440  frgpeccl  19888  rngqiprngimf  21500  qsidomlem1  21543  qustgphaus  24349  vitalilem2  25837  vitalilem3  25838  rloccring  33711  rloc0g  33712  rloc1r  33713  rlocf1  33714  rlocinvunit  33715  rlocisunit  33716  fracfld  33749  nsgqusf1olem1  33842  qsdrngilem  33896  qsdrngi  33897  qsdrnglem2  33898  zringfrac  33964  pstmfval  34406