Theorem ecelqsi 8768

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	⊢ 𝑅 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsi.1	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ V
2		ecelqsw 8767	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))
3	1, 2	mpan 702	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  [cec 8693   / cqs 8694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ec 8697  df-qs 8701

This theorem is referenced by:  ecopqsi  8769  addsrpr  11061  mulsrpr  11062  0r  11066  1sr  11067  m1r  11068  addclsr  11069  mulclsr  11070  quseccl0  19257  ghmqusnsglem1  19351  ghmquskerlem1  19354  ghmquskerco  19355  ghmqusker  19358  orbsta  19384  frgpeccl  19832  rngqiprngimf  21418  qsidomlem1  21461  qustgphaus  24261  vitalilem2  25749  vitalilem3  25750  rloccring  33572  rloc0g  33573  rloc1r  33574  rlocf1  33575  rlocinvunit  33576  rlocisunit  33577  fracfld  33610  nsgqusf1olem1  33703  qsdrngilem  33757  qsdrngi  33758  qsdrnglem2  33759  zringfrac  33825  pstmfval  34267