Theorem ecelqsi 8794

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	⊢ 𝑅 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsi.1	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ V
2		ecelqsw 8793	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))
3	1, 2	mpan 703	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  [cec 8719   / cqs 8720

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ec 8723  df-qs 8727

This theorem is used by:  ecopqsi  8795  addsrpr  11164  mulsrpr  11165  0r  11169  1sr  11170  m1r  11171  addclsr  11172  mulclsr  11173  quseccl0  19406  ghmqusnsglem1  19500  ghmquskerlem1  19503  ghmquskerco  19504  ghmqusker  19507  orbsta  19533  frgpeccl  19981  rngqiprngimf  21599  qsidomlem1  21642  qustgphaus  24448  vitalilem2  25936  vitalilem3  25937  rloccring  33879  rloc0g  33880  rloc1r  33881  rlocf1  33882  rlocinvunit  33883  rlocisunit  33884  fracfld  33917  nsgqusf1olem1  34011  qsdrngilem  34065  qsdrngi  34066  qsdrnglem2  34067  zringfrac  34133  pstmfval  34575