Theorem ecelqsi 8700

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	⊢ 𝑅 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsi.1	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ V
2		ecelqsw 8699	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))
3	1, 2	mpan 690	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  [cec 8626   / cqs 8627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ec 8630  df-qs 8634

This theorem is referenced by:  ecopqsi  8701  addsrpr  10973  mulsrpr  10974  0r  10978  1sr  10979  m1r  10980  addclsr  10981  mulclsr  10982  quseccl0  19099  ghmqusnsglem1  19194  ghmquskerlem1  19197  ghmquskerco  19198  ghmqusker  19201  orbsta  19227  frgpeccl  19675  rngqiprngimf  21236  qustgphaus  24039  vitalilem2  25538  vitalilem3  25539  rloccring  33244  rloc0g  33245  rloc1r  33246  rlocf1  33247  fracfld  33281  nsgqusf1olem1  33385  qsidomlem1  33424  qsdrngilem  33466  qsdrngi  33467  qsdrnglem2  33468  zringfrac  33526  pstmfval  33930