Theorem ecelqsi 8826

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	⊢ 𝑅 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsi.1	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ V
2		ecelqsw 8825	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))
3	1, 2	mpan 703	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  [cec 8751   / cqs 8752

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pr 5396  ax-un 7781

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-ec 8755  df-qs 8759

This theorem is used by:  ecopqsi  8827  addsrpr  11197  mulsrpr  11198  0r  11202  1sr  11203  m1r  11204  addclsr  11205  mulclsr  11206  quseccl0  19441  ghmqusnsglem1  19536  ghmquskerlem1  19539  ghmquskerco  19540  ghmqusker  19543  orbsta  19569  frgpeccl  20017  rngqiprngimf  21635  qsidomlem1  21678  qustgphaus  24486  vitalilem2  25974  vitalilem3  25975  rloccring  33921  rloc0g  33922  rloc1r  33923  rlocf1  33924  rlocinvunit  33925  rlocisunit  33926  fracfld  33967  nsgqusf1olem1  34061  qsdrngilem  34115  qsdrngi  34116  qsdrnglem2  34117  zringfrac  34182  pstmfval  34632