Theorem ecelqsi 8755

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	⊢ 𝑅 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsi.1	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ V
2		ecelqsw 8754	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))
3	1, 2	mpan 702	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  [cec 8680   / cqs 8681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ec 8684  df-qs 8688

This theorem is referenced by:  ecopqsi  8756  addsrpr  11048  mulsrpr  11049  0r  11053  1sr  11054  m1r  11055  addclsr  11056  mulclsr  11057  quseccl0  19244  ghmqusnsglem1  19338  ghmquskerlem1  19341  ghmquskerco  19342  ghmqusker  19345  orbsta  19371  frgpeccl  19819  rngqiprngimf  21396  qsidomlem1  21437  qustgphaus  24237  vitalilem2  25725  vitalilem3  25726  rloccring  33499  rloc0g  33500  rloc1r  33501  rlocf1  33502  rlocinvunit  33503  rlocisunit  33504  fracfld  33539  nsgqusf1olem1  33633  qsdrngilem  33688  qsdrngi  33689  qsdrnglem2  33690  zringfrac  33756  pstmfval  34198