Theorem ecelqsi 8769

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	⊢ 𝑅 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsi.1	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ V
2		ecelqsw 8768	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))
3	1, 2	mpan 703	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  [cec 8694   / cqs 8695

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ec 8698  df-qs 8702

This theorem is used by:  ecopqsi  8770  addsrpr  11071  mulsrpr  11072  0r  11076  1sr  11077  m1r  11078  addclsr  11079  mulclsr  11080  quseccl0  19279  ghmqusnsglem1  19373  ghmquskerlem1  19376  ghmquskerco  19377  ghmqusker  19380  orbsta  19406  frgpeccl  19854  rngqiprngimf  21466  qsidomlem1  21509  qustgphaus  24309  vitalilem2  25797  vitalilem3  25798  rloccring  33614  rloc0g  33615  rloc1r  33616  rlocf1  33617  rlocinvunit  33618  rlocisunit  33619  fracfld  33652  nsgqusf1olem1  33745  qsdrngilem  33799  qsdrngi  33800  qsdrnglem2  33801  zringfrac  33867  pstmfval  34309