Theorem ecelqsi 8718

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	⊢ 𝑅 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsi.1	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ V
2		ecelqsw 8717	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))
3	1, 2	mpan 691	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → [𝐵]𝑅 ∈ (𝐴 / 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  [cec 8643   / cqs 8644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ec 8647  df-qs 8651

This theorem is referenced by:  ecopqsi  8719  addsrpr  10998  mulsrpr  10999  0r  11003  1sr  11004  m1r  11005  addclsr  11006  mulclsr  11007  quseccl0  19126  ghmqusnsglem1  19221  ghmquskerlem1  19224  ghmquskerco  19225  ghmqusker  19228  orbsta  19254  frgpeccl  19702  rngqiprngimf  21264  qustgphaus  24079  vitalilem2  25578  vitalilem3  25579  rloccring  33363  rloc0g  33364  rloc1r  33365  rlocf1  33366  fracfld  33401  nsgqusf1olem1  33505  qsidomlem1  33544  qsdrngilem  33586  qsdrngi  33587  qsdrnglem2  33588  zringfrac  33646  pstmfval  34073