Theorem rngqiprngimf 21593

Description: 𝐹 is a function from (the base set of) a non-unital ring to the product of the (base set 𝐶 of the) quotient with a two-sided ideal and the (base set 𝐼 of the) two-sided ideal (because of 2idlbas 21557, (Base‘𝐽) = 𝐼!) (Contributed by AV, 21-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
rngqiprngim.p	⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
rngqiprngim.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngimf	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(𝐶 × 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   ∼ (𝑥)   𝑅(𝑥)   · (𝑥)   1 (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rngqiprngimf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngim.g	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
2	1	ovexi 7454	. . . . . 6 ⊢ ∼ ∈ V
3	2	ecelqsi 8790	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → [𝑥] ∼ ∈ (𝐵 / ∼ ))
4	3	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ ∈ (𝐵 / ∼ ))
5		rngqiprngim.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑄 = (𝑅 /s ∼ ))
7		rng2idlring.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
9	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∼ ∈ V)
10		rng2idlring.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Rng)
12	6, 8, 9, 11	qusbas 17717	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 / ∼ ) = (Base‘𝑄))
13		rngqiprngim.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
14	12, 13	eqtr4di 2814	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 / ∼ ) = 𝐶)
15	4, 14	eleqtrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ ∈ 𝐶)
16		rng2idlring.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
17		rng2idlring.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
18		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
19	16, 17, 18	2idlbas 21557	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
20	16, 17, 18	2idlelbas 21558	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
21	20	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
22	19, 21	eqeltrrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
23		rng2idlring.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
24		ringrng 20514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
26	17, 25	eqeltrrid 2866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
27	10, 16, 26	rng2idl0 21561	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
28	10, 22, 27	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼))
29		rng2idlring.1	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
30	18, 29	ringidcl 20494	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
31	23, 30	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝐽))
32	31, 19	eleqtrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐼)
33	32	anim1ci 628	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐼))
34		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
35		rng2idlring.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
36		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
37	34, 7, 35, 36	rngridlmcl 21496	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐼)) → ( 1 · 𝑥) ∈ 𝐼)
38	28, 33, 37	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) ∈ 𝐼)
39	15, 38	opelxpd 5690	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩ ∈ (𝐶 × 𝐼))
40		rngqiprngim.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)
41	39, 40	fmptd 7114	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(𝐶 × 𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ⟨cop 4590   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  [cec 8715   / cqs 8716  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  ._rcmulr 17429  0_gc0g 17610   /_s cqus 17677   ×_s cxps 17678   ~_QG cqg 19332  Rngcrng 20374  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  opp_rcoppr 20566  LIdealclidl 21484  2Idealc2idl 21542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-0g 17612  df-imas 17680  df-qus 17681  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-subg 19333  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-subrng 20798  df-lss 21207  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-lidl 21486  df-2idl 21543

This theorem is used by:  rngqiprngghm  21595  rngqiprngimfo  21597