MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngqiprngimf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngqiprngimf 21307
Description: 𝐹 is a function from (the base set of) a non-unital ring to the product of the (base set 𝐶 of the) quotient with a two-sided ideal and the (base set 𝐼 of the) two-sided ideal (because of 2idlbas 21273, (Base‘𝐽) = 𝐼!) (Contributed by AV, 21-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rng2idlring.r (𝜑𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
rng2idlring.u (𝜑𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t · = (.r𝑅)
rng2idlring.1 1 = (1r𝐽)
rngqiprngim.g = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q 𝑄 = (𝑅 /s )
rngqiprngim.c 𝐶 = (Base‘𝑄)
rngqiprngim.p 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
rngqiprngim.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ ⟨[𝑥] , ( 1 · 𝑥)⟩)
Assertion
Ref Expression
rngqiprngimf (𝜑𝐹:𝐵⟶(𝐶 × 𝐼))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   (𝑥)   𝑅(𝑥)   · (𝑥)   1 (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rngqiprngimf
StepHypRef Expression
1 rngqiprngim.g . . . . . . 7 = (𝑅 ~QG 𝐼)
21ovexi 7465 . . . . . 6 ∈ V
32ecelqsi 8813 . . . . 5 (𝑥𝐵 → [𝑥] ∈ (𝐵 / ))
43adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → [𝑥] ∈ (𝐵 / ))
5 rngqiprngim.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝑅 /s )
65a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑄 = (𝑅 /s ))
7 rng2idlring.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
87a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
92a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ∈ V)
10 rng2idlring.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Rng)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑅 ∈ Rng)
126, 8, 9, 11qusbas 17590 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐵 / ) = (Base‘𝑄))
13 rngqiprngim.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑄)
1412, 13eqtr4di 2795 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐵 / ) = 𝐶)
154, 14eleqtrd 2843 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → [𝑥] 𝐶)
16 rng2idlring.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
17 rng2idlring.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
18 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
1916, 17, 182idlbas 21273 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
2016, 17, 182idlelbas 21274 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅))))
2120simprd 495 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅)))
2219, 21eqeltrrd 2842 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅)))
23 rng2idlring.u . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ Ring)
24 ringrng 20282 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Rng)
2617, 25eqeltrrid 2846 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅s 𝐼) ∈ Rng)
2710, 16, 26rng2idl0 21277 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ 𝐼)
2810, 22, 273jca 1129 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅)) ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐼))
29 rng2idlring.1 . . . . . . . 8 1 = (1r𝐽)
3018, 29ringidcl 20262 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
3123, 30syl 17 . . . . . 6 (𝜑1 ∈ (Base‘𝐽))
3231, 19eleqtrd 2843 . . . . 5 (𝜑1𝐼)
3332anim1ci 616 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐵1𝐼))
34 eqid 2737 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
35 rng2idlring.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
36 eqid 2737 . . . . 5 (LIdeal‘(oppr𝑅)) = (LIdeal‘(oppr𝑅))
3734, 7, 35, 36rngridlmcl 21227 . . . 4 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅)) ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑥𝐵1𝐼)) → ( 1 · 𝑥) ∈ 𝐼)
3828, 33, 37syl2an2r 685 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) ∈ 𝐼)
3915, 38opelxpd 5724 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → ⟨[𝑥] , ( 1 · 𝑥)⟩ ∈ (𝐶 × 𝐼))
40 rngqiprngim.f . 2 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ ⟨[𝑥] , ( 1 · 𝑥)⟩)
4139, 40fmptd 7134 1 (𝜑𝐹:𝐵⟶(𝐶 × 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cop 4632  cmpt 5225   × cxp 5683  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  [cec 8743   / cqs 8744  Basecbs 17247  s cress 17274  .rcmulr 17298  0gc0g 17484   /s cqus 17550   ×s cxps 17551   ~QG cqg 19140  Rngcrng 20149  1rcur 20178  Ringcrg 20230  opprcoppr 20333  LIdealclidl 21216  2Idealc2idl 21259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-0g 17486  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-subrng 20546  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-2idl 21260
This theorem is referenced by:  rngqiprngghm  21309  rngqiprngimfo  21311
  Copyright terms: Public domain W3C validator