MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngqiprngimf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngqiprngimf 21325
Description: 𝐹 is a function from (the base set of) a non-unital ring to the product of the (base set 𝐶 of the) quotient with a two-sided ideal and the (base set 𝐼 of the) two-sided ideal (because of 2idlbas 21291, (Base‘𝐽) = 𝐼!) (Contributed by AV, 21-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rng2idlring.r (𝜑𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
rng2idlring.u (𝜑𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t · = (.r𝑅)
rng2idlring.1 1 = (1r𝐽)
rngqiprngim.g = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q 𝑄 = (𝑅 /s )
rngqiprngim.c 𝐶 = (Base‘𝑄)
rngqiprngim.p 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
rngqiprngim.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ ⟨[𝑥] , ( 1 · 𝑥)⟩)
Assertion
Ref Expression
rngqiprngimf (𝜑𝐹:𝐵⟶(𝐶 × 𝐼))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   (𝑥)   𝑅(𝑥)   · (𝑥)   1 (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rngqiprngimf
StepHypRef Expression
1 rngqiprngim.g . . . . . . 7 = (𝑅 ~QG 𝐼)
21ovexi 7465 . . . . . 6 ∈ V
32ecelqsi 8812 . . . . 5 (𝑥𝐵 → [𝑥] ∈ (𝐵 / ))
43adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → [𝑥] ∈ (𝐵 / ))
5 rngqiprngim.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝑅 /s )
65a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑄 = (𝑅 /s ))
7 rng2idlring.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
87a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
92a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ∈ V)
10 rng2idlring.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Rng)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑅 ∈ Rng)
126, 8, 9, 11qusbas 17592 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐵 / ) = (Base‘𝑄))
13 rngqiprngim.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑄)
1412, 13eqtr4di 2793 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐵 / ) = 𝐶)
154, 14eleqtrd 2841 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → [𝑥] 𝐶)
16 rng2idlring.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
17 rng2idlring.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
18 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
1916, 17, 182idlbas 21291 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
2016, 17, 182idlelbas 21292 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅))))
2120simprd 495 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅)))
2219, 21eqeltrrd 2840 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅)))
23 rng2idlring.u . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ Ring)
24 ringrng 20299 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Rng)
2617, 25eqeltrrid 2844 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅s 𝐼) ∈ Rng)
2710, 16, 26rng2idl0 21295 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ 𝐼)
2810, 22, 273jca 1127 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅)) ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐼))
29 rng2idlring.1 . . . . . . . 8 1 = (1r𝐽)
3018, 29ringidcl 20280 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
3123, 30syl 17 . . . . . 6 (𝜑1 ∈ (Base‘𝐽))
3231, 19eleqtrd 2841 . . . . 5 (𝜑1𝐼)
3332anim1ci 616 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐵1𝐼))
34 eqid 2735 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
35 rng2idlring.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
36 eqid 2735 . . . . 5 (LIdeal‘(oppr𝑅)) = (LIdeal‘(oppr𝑅))
3734, 7, 35, 36rngridlmcl 21245 . . . 4 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅)) ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑥𝐵1𝐼)) → ( 1 · 𝑥) ∈ 𝐼)
3828, 33, 37syl2an2r 685 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) ∈ 𝐼)
3915, 38opelxpd 5728 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → ⟨[𝑥] , ( 1 · 𝑥)⟩ ∈ (𝐶 × 𝐼))
40 rngqiprngim.f . 2 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ ⟨[𝑥] , ( 1 · 𝑥)⟩)
4139, 40fmptd 7134 1 (𝜑𝐹:𝐵⟶(𝐶 × 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cop 4637  cmpt 5231   × cxp 5687  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  [cec 8742   / cqs 8743  Basecbs 17245  s cress 17274  .rcmulr 17299  0gc0g 17486   /s cqus 17552   ×s cxps 17553   ~QG cqg 19153  Rngcrng 20170  1rcur 20199  Ringcrg 20251  opprcoppr 20350  LIdealclidl 21234  2Idealc2idl 21277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-subrng 20563  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-2idl 21278
This theorem is referenced by:  rngqiprngghm  21327  rngqiprngimfo  21329
  Copyright terms: Public domain W3C validator