Theorem rngqiprngimf 21336

Description: 𝐹 is a function from (the base set of) a non-unital ring to the product of the (base set 𝐶 of the) quotient with a two-sided ideal and the (base set 𝐼 of the) two-sided ideal (because of 2idlbas 21302, (Base‘𝐽) = 𝐼!) (Contributed by AV, 21-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
rngqiprngim.p	⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
rngqiprngim.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngimf	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(𝐶 × 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   ∼ (𝑥)   𝑅(𝑥)   · (𝑥)   1 (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rngqiprngimf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngim.g	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
2	1	ovexi 7415	. . . . . 6 ⊢ ∼ ∈ V
3	2	ecelqsi 8735	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → [𝑥] ∼ ∈ (𝐵 / ∼ ))
4	3	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ ∈ (𝐵 / ∼ ))
5		rngqiprngim.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑄 = (𝑅 /s ∼ ))
7		rng2idlring.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
9	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∼ ∈ V)
10		rng2idlring.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
11	10	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Rng)
12	6, 8, 9, 11	qusbas 17547	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 / ∼ ) = (Base‘𝑄))
13		rngqiprngim.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
14	12, 13	eqtr4di 2805	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 / ∼ ) = 𝐶)
15	4, 14	eleqtrd 2854	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ ∈ 𝐶)
16		rng2idlring.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
17		rng2idlring.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
18		eqid 2752	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
19	16, 17, 18	2idlbas 21302	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
20	16, 17, 18	2idlelbas 21303	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
21	20	simprd 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
22	19, 21	eqeltrrd 2853	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
23		rng2idlring.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
24		ringrng 20303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
26	17, 25	eqeltrrid 2857	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
27	10, 16, 26	rng2idl0 21306	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
28	10, 22, 27	3jca 1137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼))
29		rng2idlring.1	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
30	18, 29	ringidcl 20283	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
31	23, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝐽))
32	31, 19	eleqtrd 2854	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐼)
33	32	anim1ci 624	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐼))
34		eqid 2752	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
35		rng2idlring.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
36		eqid 2752	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
37	34, 7, 35, 36	rngridlmcl 21256	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐼)) → ( 1 · 𝑥) ∈ 𝐼)
38	28, 33, 37	syl2an2r 693	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) ∈ 𝐼)
39	15, 38	opelxpd 5675	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩ ∈ (𝐶 × 𝐼))
40		rngqiprngim.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)
41	39, 40	fmptd 7080	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(𝐶 × 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  Vcvv 3444  ⟨cop 4578   ↦ cmpt 5171   × cxp 5634  ⟶wf 6502  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  [cec 8660   / cqs 8661  Basecbs 17217   ↾_s cress 17238  ._rcmulr 17259  0_gc0g 17440   /_s cqus 17507   ×_s cxps 17508   ~_QG cqg 19136  Rngcrng 20170  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  opp_rcoppr 20353  LIdealclidl 21245  2Idealc2idl 21288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-tpos 8190  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-ec 8664  df-qs 8668  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-fz 13499  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-0g 17442  df-imas 17510  df-qus 17511  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-subg 19137  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20354  df-subrng 20564  df-lss 20968  df-sra 21209  df-rgmod 21210  df-lidl 21247  df-2idl 21289

This theorem is referenced by:  rngqiprngghm  21338  rngqiprngimfo  21340