Theorem rngqiprngimf 21330

Description: 𝐹 is a function from (the base set of) a non-unital ring to the product of the (base set 𝐶 of the) quotient with a two-sided ideal and the (base set 𝐼 of the) two-sided ideal (because of 2idlbas 21296, (Base‘𝐽) = 𝐼!) (Contributed by AV, 21-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
rngqiprngim.p	⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
rngqiprngim.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngimf	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(𝐶 × 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   ∼ (𝑥)   𝑅(𝑥)   · (𝑥)   1 (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rngqiprngimf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngim.g	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
2	1	ovexi 7482	. . . . . 6 ⊢ ∼ ∈ V
3	2	ecelqsi 8831	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → [𝑥] ∼ ∈ (𝐵 / ∼ ))
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ ∈ (𝐵 / ∼ ))
5		rngqiprngim.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑄 = (𝑅 /s ∼ ))
7		rng2idlring.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
9	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∼ ∈ V)
10		rng2idlring.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Rng)
12	6, 8, 9, 11	qusbas 17605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 / ∼ ) = (Base‘𝑄))
13		rngqiprngim.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
14	12, 13	eqtr4di 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 / ∼ ) = 𝐶)
15	4, 14	eleqtrd 2846	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ ∈ 𝐶)
16		rng2idlring.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
17		rng2idlring.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
18		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
19	16, 17, 18	2idlbas 21296	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
20	16, 17, 18	2idlelbas 21297	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
21	20	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
22	19, 21	eqeltrrd 2845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
23		rng2idlring.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
24		ringrng 20308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
26	17, 25	eqeltrrid 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
27	10, 16, 26	rng2idl0 21300	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
28	10, 22, 27	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼))
29		rng2idlring.1	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
30	18, 29	ringidcl 20289	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
31	23, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝐽))
32	31, 19	eleqtrd 2846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐼)
33	32	anim1ci 615	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐼))
34		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
35		rng2idlring.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
36		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
37	34, 7, 35, 36	rngridlmcl 21250	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐼)) → ( 1 · 𝑥) ∈ 𝐼)
38	28, 33, 37	syl2an2r 684	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) ∈ 𝐼)
39	15, 38	opelxpd 5739	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩ ∈ (𝐶 × 𝐼))
40		rngqiprngim.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)
41	39, 40	fmptd 7148	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(𝐶 × 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ⟨cop 4654   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  [cec 8761   / cqs 8762  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499   /_s cqus 17565   ×_s cxps 17566   ~_QG cqg 19162  Rngcrng 20179  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  opp_rcoppr 20359  LIdealclidl 21239  2Idealc2idl 21282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-0g 17501  df-imas 17568  df-qus 17569  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-subg 19163  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-subrng 20572  df-lss 20953  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-2idl 21283

This theorem is referenced by:  rngqiprngghm  21332  rngqiprngimfo  21334