Theorem rngqiprngimf 21252

Description: 𝐹 is a function from (the base set of) a non-unital ring to the product of the (base set 𝐶 of the) quotient with a two-sided ideal and the (base set 𝐼 of the) two-sided ideal (because of 2idlbas 21218, (Base‘𝐽) = 𝐼!) (Contributed by AV, 21-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
rngqiprngim.p	⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
rngqiprngim.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngimf	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(𝐶 × 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   ∼ (𝑥)   𝑅(𝑥)   · (𝑥)   1 (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rngqiprngimf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngim.g	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
2	1	ovexi 7392	. . . . . 6 ⊢ ∼ ∈ V
3	2	ecelqsi 8707	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → [𝑥] ∼ ∈ (𝐵 / ∼ ))
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ ∈ (𝐵 / ∼ ))
5		rngqiprngim.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑄 = (𝑅 /s ∼ ))
7		rng2idlring.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
9	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∼ ∈ V)
10		rng2idlring.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Rng)
12	6, 8, 9, 11	qusbas 17466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 / ∼ ) = (Base‘𝑄))
13		rngqiprngim.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
14	12, 13	eqtr4di 2789	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 / ∼ ) = 𝐶)
15	4, 14	eleqtrd 2838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ ∈ 𝐶)
16		rng2idlring.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
17		rng2idlring.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
18		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
19	16, 17, 18	2idlbas 21218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
20	16, 17, 18	2idlelbas 21219	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
21	20	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
22	19, 21	eqeltrrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
23		rng2idlring.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
24		ringrng 20220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
26	17, 25	eqeltrrid 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
27	10, 16, 26	rng2idl0 21222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
28	10, 22, 27	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼))
29		rng2idlring.1	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
30	18, 29	ringidcl 20200	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
31	23, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝐽))
32	31, 19	eleqtrd 2838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐼)
33	32	anim1ci 616	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐼))
34		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
35		rng2idlring.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
36		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
37	34, 7, 35, 36	rngridlmcl 21172	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐼)) → ( 1 · 𝑥) ∈ 𝐼)
38	28, 33, 37	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) ∈ 𝐼)
39	15, 38	opelxpd 5663	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩ ∈ (𝐶 × 𝐼))
40		rngqiprngim.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)
41	39, 40	fmptd 7059	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(𝐶 × 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ⟨cop 4586   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  [cec 8633   / cqs 8634  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359   /_s cqus 17426   ×_s cxps 17427   ~_QG cqg 19052  Rngcrng 20087  1_rcur 20116  Ringcrg 20168  opp_rcoppr 20272  LIdealclidl 21161  2Idealc2idl 21204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-ec 8637  df-qs 8641  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-0g 17361  df-imas 17429  df-qus 17430  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19053  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-subrng 20479  df-lss 20883  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-lidl 21163  df-2idl 21205

This theorem is referenced by:  rngqiprngghm  21254  rngqiprngimfo  21256