Theorem rngqiprngimf 21290

Description: 𝐹 is a function from (the base set of) a non-unital ring to the product of the (base set 𝐶 of the) quotient with a two-sided ideal and the (base set 𝐼 of the) two-sided ideal (because of 2idlbas 21256, (Base‘𝐽) = 𝐼!) (Contributed by AV, 21-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
rngqiprngim.p	⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
rngqiprngim.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngimf	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(𝐶 × 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥)   ∼ (𝑥)   𝑅(𝑥)   · (𝑥)   1 (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rngqiprngimf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngim.g	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
2	1	ovexi 7390	. . . . . 6 ⊢ ∼ ∈ V
3	2	ecelqsi 8706	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → [𝑥] ∼ ∈ (𝐵 / ∼ ))
4	3	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ ∈ (𝐵 / ∼ ))
5		rngqiprngim.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑄 = (𝑅 /s ∼ ))
7		rng2idlring.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
9	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∼ ∈ V)
10		rng2idlring.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
11	10	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Rng)
12	6, 8, 9, 11	qusbas 17500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 / ∼ ) = (Base‘𝑄))
13		rngqiprngim.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
14	12, 13	eqtr4di 2792	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 / ∼ ) = 𝐶)
15	4, 14	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ ∈ 𝐶)
16		rng2idlring.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
17		rng2idlring.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
18		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
19	16, 17, 18	2idlbas 21256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
20	16, 17, 18	2idlelbas 21257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
21	20	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
22	19, 21	eqeltrrd 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
23		rng2idlring.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
24		ringrng 20257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
26	17, 25	eqeltrrid 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
27	10, 16, 26	rng2idl0 21260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
28	10, 22, 27	3jca 1134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼))
29		rng2idlring.1	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
30	18, 29	ringidcl 20237	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
31	23, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝐽))
32	31, 19	eleqtrd 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐼)
33	32	anim1ci 622	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐼))
34		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
35		rng2idlring.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
36		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
37	34, 7, 35, 36	rngridlmcl 21210	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐼)) → ( 1 · 𝑥) ∈ 𝐼)
38	28, 33, 37	syl2an2r 691	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) ∈ 𝐼)
39	15, 38	opelxpd 5657	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩ ∈ (𝐶 × 𝐼))
40		rngqiprngim.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)
41	39, 40	fmptd 7055	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(𝐶 × 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  ⟨cop 4561   ↦ cmpt 5153   × cxp 5616  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  [cec 8631   / cqs 8632  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393   /_s cqus 17460   ×_s cxps 17461   ~_QG cqg 19089  Rngcrng 20124  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  opp_rcoppr 20307  LIdealclidl 21199  2Idealc2idl 21242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-0g 17395  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-subg 19090  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-subrng 20518  df-lss 20922  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-lidl 21201  df-2idl 21243

This theorem is referenced by:  rngqiprngghm  21292  rngqiprngimfo  21294