MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngqiprngimf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngqiprngimf 21169
Description: 𝐹 is a function from (the base set of) a non-unital ring to the product of the (base set 𝐢 of the) quotient with a two-sided ideal and the (base set 𝐼 of the) two-sided ideal (because of 2idlbas 21139, (Baseβ€˜π½) = 𝐼!) (Contributed by AV, 21-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rng2idlring.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
rng2idlring.j 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
rng2idlring.u (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rng2idlring.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
rng2idlring.1 1 = (1rβ€˜π½)
rngqiprngim.g ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘„)
rngqiprngim.p 𝑃 = (𝑄 Γ—s 𝐽)
rngqiprngim.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ⟨[π‘₯] ∼ , ( 1 Β· π‘₯)⟩)
Assertion
Ref Expression
rngqiprngimf (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡⟢(𝐢 Γ— 𝐼))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯)   𝑄(π‘₯)   ∼ (π‘₯)   𝑅(π‘₯)   Β· (π‘₯)   1 (π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem rngqiprngimf
StepHypRef Expression
1 rngqiprngim.g . . . . . . 7 ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
21ovexi 7448 . . . . . 6 ∼ ∈ V
32ecelqsi 8781 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ [π‘₯] ∼ ∈ (𝐡 / ∼ ))
43adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ [π‘₯] ∼ ∈ (𝐡 / ∼ ))
5 rngqiprngim.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
65a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ ))
7 rng2idlring.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
87a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
92a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ∼ ∈ V)
10 rng2idlring.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Rng)
126, 8, 9, 11qusbas 17512 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 / ∼ ) = (Baseβ€˜π‘„))
13 rngqiprngim.c . . . . 5 𝐢 = (Baseβ€˜π‘„)
1412, 13eqtr4di 2785 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 / ∼ ) = 𝐢)
154, 14eleqtrd 2830 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ [π‘₯] ∼ ∈ 𝐢)
16 rng2idlring.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
17 rng2idlring.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
18 eqid 2727 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π½) = (Baseβ€˜π½)
1916, 17, 182idlbas 21139 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π½) = 𝐼)
2016, 17, 182idlelbas 21140 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜π½) ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ (Baseβ€˜π½) ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…))))
2120simprd 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π½) ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)))
2219, 21eqeltrrd 2829 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)))
23 rng2idlring.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
24 ringrng 20203 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Ring β†’ 𝐽 ∈ Rng)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Rng)
2617, 25eqeltrrid 2833 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐼) ∈ Rng)
2710, 16, 26rng2idl0 21143 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐼)
2810, 22, 273jca 1126 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐼))
29 rng2idlring.1 . . . . . . . 8 1 = (1rβ€˜π½)
3018, 29ringidcl 20184 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π½))
3123, 30syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π½))
3231, 19eleqtrd 2830 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐼)
3332anim1ci 615 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 1 ∈ 𝐼))
34 eqid 2727 . . . . 5 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
35 rng2idlring.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
36 eqid 2727 . . . . 5 (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…))
3734, 7, 35, 36rngridlmcl 21095 . . . 4 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐼) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 1 ∈ 𝐼)) β†’ ( 1 Β· π‘₯) ∈ 𝐼)
3828, 33, 37syl2an2r 684 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· π‘₯) ∈ 𝐼)
3915, 38opelxpd 5711 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ⟨[π‘₯] ∼ , ( 1 Β· π‘₯)⟩ ∈ (𝐢 Γ— 𝐼))
40 rngqiprngim.f . 2 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ⟨[π‘₯] ∼ , ( 1 Β· π‘₯)⟩)
4139, 40fmptd 7118 1 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡⟢(𝐢 Γ— 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469  βŸ¨cop 4630   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  [cec 8714   / cqs 8715  Basecbs 17165   β†Ύs cress 17194  .rcmulr 17219  0gc0g 17406   /s cqus 17472   Γ—s cxps 17473   ~QG cqg 19061  Rngcrng 20076  1rcur 20105  Ringcrg 20157  opprcoppr 20254  LIdealclidl 21084  2Idealc2idl 21125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-ec 8718  df-qs 8722  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-0g 17408  df-imas 17475  df-qus 17476  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-subg 19062  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-oppr 20255  df-subrng 20465  df-lss 20798  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-lidl 21086  df-2idl 21126
This theorem is referenced by:  rngqiprngghm  21171  rngqiprngimfo  21173
  Copyright terms: Public domain W3C validator