MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngqiprngimf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngqiprngimf 21186
Description: 𝐹 is a function from (the base set of) a non-unital ring to the product of the (base set 𝐢 of the) quotient with a two-sided ideal and the (base set 𝐼 of the) two-sided ideal (because of 2idlbas 21156, (Baseβ€˜π½) = 𝐼!) (Contributed by AV, 21-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rng2idlring.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
rng2idlring.j 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
rng2idlring.u (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rng2idlring.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
rng2idlring.1 1 = (1rβ€˜π½)
rngqiprngim.g ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘„)
rngqiprngim.p 𝑃 = (𝑄 Γ—s 𝐽)
rngqiprngim.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ⟨[π‘₯] ∼ , ( 1 Β· π‘₯)⟩)
Assertion
Ref Expression
rngqiprngimf (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡⟢(𝐢 Γ— 𝐼))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯)   𝑄(π‘₯)   ∼ (π‘₯)   𝑅(π‘₯)   Β· (π‘₯)   1 (π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem rngqiprngimf
StepHypRef Expression
1 rngqiprngim.g . . . . . . 7 ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
21ovexi 7447 . . . . . 6 ∼ ∈ V
32ecelqsi 8785 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ [π‘₯] ∼ ∈ (𝐡 / ∼ ))
43adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ [π‘₯] ∼ ∈ (𝐡 / ∼ ))
5 rngqiprngim.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
65a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ ))
7 rng2idlring.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
87a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
92a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ∼ ∈ V)
10 rng2idlring.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
1110adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Rng)
126, 8, 9, 11qusbas 17521 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 / ∼ ) = (Baseβ€˜π‘„))
13 rngqiprngim.c . . . . 5 𝐢 = (Baseβ€˜π‘„)
1412, 13eqtr4di 2783 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 / ∼ ) = 𝐢)
154, 14eleqtrd 2827 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ [π‘₯] ∼ ∈ 𝐢)
16 rng2idlring.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
17 rng2idlring.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
18 eqid 2725 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π½) = (Baseβ€˜π½)
1916, 17, 182idlbas 21156 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π½) = 𝐼)
2016, 17, 182idlelbas 21157 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜π½) ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ (Baseβ€˜π½) ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…))))
2120simprd 494 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π½) ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)))
2219, 21eqeltrrd 2826 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)))
23 rng2idlring.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
24 ringrng 20220 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Ring β†’ 𝐽 ∈ Rng)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Rng)
2617, 25eqeltrrid 2830 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐼) ∈ Rng)
2710, 16, 26rng2idl0 21160 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐼)
2810, 22, 273jca 1125 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐼))
29 rng2idlring.1 . . . . . . . 8 1 = (1rβ€˜π½)
3018, 29ringidcl 20201 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π½))
3123, 30syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π½))
3231, 19eleqtrd 2827 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐼)
3332anim1ci 614 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 1 ∈ 𝐼))
34 eqid 2725 . . . . 5 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
35 rng2idlring.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
36 eqid 2725 . . . . 5 (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…))
3734, 7, 35, 36rngridlmcl 21112 . . . 4 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…)) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐼) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 1 ∈ 𝐼)) β†’ ( 1 Β· π‘₯) ∈ 𝐼)
3828, 33, 37syl2an2r 683 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· π‘₯) ∈ 𝐼)
3915, 38opelxpd 5712 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ⟨[π‘₯] ∼ , ( 1 Β· π‘₯)⟩ ∈ (𝐢 Γ— 𝐼))
40 rngqiprngim.f . 2 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ⟨[π‘₯] ∼ , ( 1 Β· π‘₯)⟩)
4139, 40fmptd 7117 1 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡⟢(𝐢 Γ— 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  βŸ¨cop 4631   ↦ cmpt 5227   Γ— cxp 5671  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  [cec 8716   / cqs 8717  Basecbs 17174   β†Ύs cress 17203  .rcmulr 17228  0gc0g 17415   /s cqus 17481   Γ—s cxps 17482   ~QG cqg 19076  Rngcrng 20091  1rcur 20120  Ringcrg 20172  opprcoppr 20271  LIdealclidl 21101  2Idealc2idl 21142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-0g 17417  df-imas 17484  df-qus 17485  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-subg 19077  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-subrng 20482  df-lss 20815  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-lidl 21103  df-2idl 21143
This theorem is referenced by:  rngqiprngghm  21188  rngqiprngimfo  21190
  Copyright terms: Public domain W3C validator