Theorem quseccl0 19058

Description: Closure of the quotient map for a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) Generalization of quseccl 19060 for arbitrary sets 𝐺. (Revised by AV, 24-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
quseccl0.e	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
quseccl0.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s ∼ )
quseccl0.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐺)
quseccl0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
quseccl0	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → [𝑋] ∼ ∈ 𝐵)

Proof of Theorem quseccl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quseccl0.e	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
2	1	ovexi 7439	. . . 4 ⊢ ∼ ∈ V
3	2	ecelqsi 8763	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → [𝑋] ∼ ∈ (𝐶 / ∼ ))
4	3	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → [𝑋] ∼ ∈ (𝐶 / ∼ ))
5		quseccl0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s ∼ )
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝐻 = (𝐺 /s ∼ ))
7		quseccl0.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐺)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝐶 = (Base‘𝐺))
9	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ∼ ∈ V)
10		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝑉)
11	6, 8, 9, 10	qusbas 17487	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐶 / ∼ ) = (Base‘𝐻))
12		quseccl0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
13	11, 12	eqtr4di 2790	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐶 / ∼ ) = 𝐵)
14	4, 13	eleqtrd 2835	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → [𝑋] ∼ ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  [cec 8697   / cqs 8698  Basecbs 17140   /_s cqus 17447   ~_QG cqg 18996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-imas 17450  df-qus 17451

This theorem is referenced by:  quseccl  19060  ecqusaddcl  46750  rngqiprnglinlem3  46758  rngqiprngghm  46764  rngqiprnglin  46767