Theorem quseccl0 19257

Description: Closure of the quotient map for a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) Generalization of quseccl 19259 for arbitrary sets 𝐺. (Revised by AV, 24-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
quseccl0.e	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
quseccl0.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s ∼ )
quseccl0.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐺)
quseccl0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
quseccl0	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → [𝑋] ∼ ∈ 𝐵)

Proof of Theorem quseccl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quseccl0.e	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
2	1	ovexi 7446	. . . 4 ⊢ ∼ ∈ V
3	2	ecelqsi 8768	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → [𝑋] ∼ ∈ (𝐶 / ∼ ))
4	3	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → [𝑋] ∼ ∈ (𝐶 / ∼ ))
5		quseccl0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s ∼ )
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝐻 = (𝐺 /s ∼ ))
7		quseccl0.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐺)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝐶 = (Base‘𝐺))
9	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ∼ ∈ V)
10		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝑉)
11	6, 8, 9, 10	qusbas 17600	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐶 / ∼ ) = (Base‘𝐻))
12		quseccl0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
13	11, 12	eqtr4di 2816	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐶 / ∼ ) = 𝐵)
14	4, 13	eleqtrd 2865	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → [𝑋] ∼ ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  [cec 8693   / cqs 8694  Basecbs 17270   /_s cqus 17560   ~_QG cqg 19189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-ec 8697  df-qs 8701  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-imas 17563  df-qus 17564

This theorem is referenced by:  quseccl  19259  ecqusaddcl  19265  rngqiprnglinlem3  21414  rngqiprngghm  21420  rngqiprnglin  21423